7.5　正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)【新教材 新思維高中數(shù)學(xué)】-2021-2022學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)同步教學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第三冊）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育《7.5正態(tài)分布》教學(xué)設(shè)計(jì)-------葛愛菊（一）教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正態(tài)分布（二）教材分析1.教材來源本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》的最后一節(jié).2.地位與作用《正態(tài)分布》這節(jié)課的內(nèi)容是通過研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線，引出擬合的函數(shù)式，進(jìn)而得到正態(tài)分布的概念，然后，分析正態(tài)曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)，最后研究了它的應(yīng)用——隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間的概率。正態(tài)分布是描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種最常見的分布，在現(xiàn)實(shí)生活中有非常廣泛的應(yīng)用。（三）學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量，二項(xiàng)分布和超幾何分布的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量.2.認(rèn)知障礙：離散型隨機(jī)變量的取值是可列的，連續(xù)型隨機(jī)變量是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可取任何值.（四）教學(xué)目標(biāo)1.知識目標(biāo)：①通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；②通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；③了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；④了解3σ原則,會求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.2.能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生有目的的觀察、歸納、類比、猜想等，提高學(xué)習(xí)能力3.素養(yǎng)目標(biāo)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模，（五）教學(xué)重難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：認(rèn)識分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.了解3σ原則.2.難點(diǎn)：會求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率（六）教學(xué)思路與方法教學(xué)過程分為問題自學(xué)展示提煉要點(diǎn)、探索鞏固、應(yīng)用知識階段課前準(zhǔn)備多媒體導(dǎo)學(xué)案（八）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)：新課引入教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計(jì)意圖在生產(chǎn)中，正常生產(chǎn)條件下某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、降雨量等，水文中的水位；在生物學(xué)中，同一群體的某一特征……經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．那么，什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？帶著這些問題讓我們開始今天的學(xué)習(xí)吧！情景導(dǎo)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣教學(xué)環(huán)節(jié)：自學(xué)新教材，提煉知識要點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計(jì)意圖一、知識要點(diǎn)1．正態(tài)分布f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e，x∈R.其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱．若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從．2．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線x軸．3．正態(tài)曲線的圖象(1)在參數(shù)σ取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示．(2)μ取定值，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較，如圖乙所示．4．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈.上述結(jié)果，如圖所示．5．3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．二、知識點(diǎn)的精準(zhǔn)理解和深化現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量，不是離散的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量，下面我們看一個(gè)具體問題.探究1:自動流水線包裝的食鹽,每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差,則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中,隨機(jī)抽取了100袋食鹽,獲得誤差X(單位:g)的觀測值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2).如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形，誤差觀測值有正有負(fù),并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大,讓分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.問題1：由函數(shù)知識可知，圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)，那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布的定義正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位,它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布例如,某些物理量的測量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量自動流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等探究2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？μμx其中μ∈R，σ＞0為參數(shù).由X的密度函數(shù)及圖像可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ2π(（4）當(dāng)|X|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.（5）X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.探究3：觀察正態(tài)曲線、相應(yīng)的密度函數(shù)及概率的性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？（1）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度。提問學(xué)生自學(xué)看教材的知識要點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解的薄弱點(diǎn)學(xué)生回答并分析，教師PPT展示補(bǔ)充完善：

引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解，教師PPT展示完善，深化對正態(tài)分布的理解PPT顯示，學(xué)生讀題并回答【小例子】把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。答案：D因材施教，根據(jù)學(xué)生預(yù)習(xí)的結(jié)果，引導(dǎo)下一步教學(xué)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，暴露學(xué)生思維，教師精準(zhǔn)指導(dǎo)從而建立正態(tài)分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。加深學(xué)生對正態(tài)分布理解與運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素教學(xué)環(huán)節(jié)：例題剖析教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計(jì)意圖例1：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí)34min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X,Y的分布中的參數(shù);(2）根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車.例2.假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.解：設(shè)該學(xué)生的身高為X，由題意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因?yàn)榫禐?70，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正態(tài)曲線的對稱性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.【跟蹤訓(xùn)練】某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于大于.（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率約為多少;（2）檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.師生共同分析后學(xué)生計(jì)算，教師展示解答，糾正學(xué)生中不規(guī)范的問題，總結(jié)一般方法:例1分析:對于第(1)問,正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì).對于第(3)問,這是一個(gè)概率決策問題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷方法總結(jié)：正態(tài)分布的3σ原則[???3??,??+3??]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3??原則.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗(yàn)中,??的取值幾乎總落在區(qū)間[???3??,??+3??]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.方法總結(jié)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=1-找學(xué)生去黑板上寫，其余學(xué)生獨(dú)立解答在練習(xí)本上，教師評價(jià)后PPT展示，標(biāo)準(zhǔn)解答解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為，由題意可知．(1)由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“原則”可知(2)檢測員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（1）可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于的概率約為，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測員的判斷是合理的.通過典例剖析，讓學(xué)生體會什么是正態(tài)分布，感受正態(tài)分布的特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)環(huán)節(jié)：課堂檢測1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是()A.f(x)=12πσe(x-μ)B.f(x)=2πC.f(x)=1D.f(x)=12.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為()A.0.8 B.0.4 C.0.2D.0.13.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為.

4.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個(gè)尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的.

5.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).發(fā)一張小卷子，當(dāng)堂10分鐘測驗(yàn)，交上來批改，其中1-4必做，5和6根據(jù)具體學(xué)生接受情況和課堂時(shí)間選做1.解析:對照正態(tài)分布密度函數(shù):f(x)=12πσ·e-(x-μ)22σ答案:B2.解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.解析:因?yàn)樵率杖敕恼龖B(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)