2024年中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型一線三等角及“K”模型（解析版）

中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí):

相似模型一一線三等角及“K”模型

一、單選題

1.如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AB上,NA0E=6O。，若BD=4DC,￡>￡=2.4,

則的長為（）

BD(

A.1.8B.2.4C.3I).3.2

【答案】C

4

【分析】證明根據(jù)題意得出4O=18C,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???一/RC為等邊三角形，

???ZB=ZC=60°,

?：ZADB=ZADE+/BDE=NC+/DAC,ZA￡)E=60°,

:./BDE=4DAC,

：.4ADCSADEB

.ADAC

''~DE~~BD

???BD=4DC,

4

:.BD=-BC,

,ADAC=-^-=-

..麗=茄4

,:DE=2.4

:.AD=-xDE=3,

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.

2.矩形ABC。中，AB=5,AO=2,點(diǎn)夕是CO上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NAP3=90。時(shí)，。。的長是（).

A.1B.3C.1或3D.1或4

【答案】D

PCRC5-DP

【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)，證明BPC-pw）,即可得.二黑，進(jìn)而可得—L=g2,問題隨之得解.

AL）Ui2Di

【詳解】???矩形A5CD中，A8=5,AD=2,

/.ZD=ZC=90°,AB=5=CD,AD=2=BC,

:.PC=CD-DP=5-DP,

???ZAPB=90°,

/DPA+/BPC=180°-ZAP^=90°,

???在R1一A0P中,ZDPA+NDAP=90。,

???ABPC=/DAP,

又?：ZD=ZC=90°,

:.BPCsPAD,

.PCBC

，，~AD~~DP，

.5-DP2

..-----=---,

2DP

整理：QP2-5QP+4=O,

解得：DP=4,或者OP=1,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，證明

,BPCs./A。是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在一ABC中，AB=AC=6,BC=8,點(diǎn)〃是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡在AC上，點(diǎn)〃在運(yùn)動(dòng)過

程中始終保持N1=N8.當(dāng)E4=ED時(shí)，則BO的長為（）

A

77

A.2B.-C.3i）.-

32

【答案】D

【分析】證明△C4OS4CBA,得出要二挈，即於平，求出6=3,得出BO=BC—CO=L

CBCA8622

【詳解】解：???石4=瓦），

/./EAD=/I,

,:N1=N8,

/.ZE4D=ZB,

?：ZC=ZC,

???^CAD^CBA,

.CA_CD

??而一~CA"

?6_CD

**8-6'

9

：.CD=-

2t

7

:.BD=BC-CD=-,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法.

4.如圖，在矩形43C。中，A8=6,將點(diǎn)3折疊到CD邊上點(diǎn)E處，折痕為人尸，連接AE,EF,若點(diǎn)E是

。。中點(diǎn)，則C/長為（）

D

A.45B.1C.2I）.3

【答案】A

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到A。，DE,CE的長；再根據(jù)利用對(duì)應(yīng)邊

成比例即可得CF的長.

【詳解】解：,?矩形A8CD中，A8=6,

:.CD=6，

又，.E是。。的中點(diǎn)，

DE=CE=3,

RtZVlOE中，4D=V62-32=3^?

由題可得，ZD=ZC=Z4EF=90°,

/.ZAED+^CEF=90°=4EFC+乙CEF，

;.ZAED=NEFC,

；..ADES：,EFC,

CFCEtinCF_3

DEDA33>/3

解得CF=75,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，翻折變

換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

5.如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)。,E分別在邊8cAe上，NA0E=6O。，若AO=4,券=],則。月的長度

CE2

為()

A

33

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】解：為等邊三角形，

.\ZB=ZC=60o.

，+=180°—=120°.

.ZADE=60°,

：.ZADB+ZEDC=\^r-ZADE=\2(r,

：.ZADB+/BAD=ZADB+NEDC,

:.NBAD=/EDC,

:.△BAD^ACDE,

.BDAD

..----=-----,

CEDE

43

??---=一，

DE2

:.DE=-.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的判定與性質(zhì).

二、填空題

6.如圖，在邊長為女m的菱形ABCD中，Z4BC=120°,將菱形沿左翻折，使點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在對(duì)角

線B￡＞上.若尸O=lcm,則凡；的長為cm,的長為cm.

D

【答案】2713-2/-2+>/13

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及4450=60。，可以得到△A8O為等邊三角形，根據(jù)三角形內(nèi)

角和和平角的意義，得出MEGDGF,對(duì)應(yīng)邊成比例三=工，設(shè)A￡=x,EG=x,EB=3—x,由比

DFGF

例式列出方程，再根據(jù)AEvAB,解出x=5-拒，即可解答.

【詳解】由折疊的性質(zhì)可知EG=K4,FA=FG,

:.FA=FG=AD-DF=2,

???四邊形A8CO是菱形，

:.A￡>=AB=3,^ABD=Z.CBD=^ADB=-ZA8C=60°,

2

???△A6D為等邊三角形，

AD=AB=3,N/G￡=ZA=60。，

???ADGF+4EGB=180°-匕FGE=120°,

乂ZABD=60。,

Z.^EGB+^BEG=180°-ZABD=120°,

:.乙BEG=/DGF,

■:/FDG=ZABD=60°,

:.BEGDGF,

,BGEG

''~6F=~GF'

設(shè)AE=x,EG=x,EB=3—x,

.BGx

??--=—,

12

即BG=-,

2

-BGEG

又而=而‘

3-xx

即2x-2，

2

解得工=5±y/\31

???AE<AB,

即x<3,

Ax=5-V13,

S￡=3-x=3-（5->/i3）=^-2.

故答案為：2；>/?3—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的意義，

相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例式列方程.

7.如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,ZC=90u,AB=1,CD=2,BC=3,點(diǎn)P為BC邊上-一動(dòng)點(diǎn)，若APJ_DP,

則BP的長為.

【分析】設(shè)BP二x,則PC=3-x,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB=90°,根據(jù)同角的余角相等可得NCDP二NAPB,

即可證明△CDPS/^BPA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案.

【詳解】設(shè)BP=x,則PC=3-x,

???AB〃CD,ZC=90°,

???NB=1800-ZC=90°,

???NB=NC,

VAPIDP,

AZAPB+ZDPC=90°,

VZCDP+ZDPC=90°,

???NCDP:NAPB,

???ACDP^ABPA,

ABPB

??=9

PCCD

VAB=1,CD=2,BC=3,

.I_x

**3-x-2,

解得：x)=l,X2=2,

???EP的長為1或2,

故答案為：1或2

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在邊長為6的等邊△/1函中，〃是邊比上一點(diǎn)，將△/3沿用折疊使點(diǎn)力與點(diǎn)〃重合，若如：游2:

3,則CF=.

【答案】2.4

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/幽佇/4DQAF,再由等邊三角形的性質(zhì)可得N600,NBDEOCD出

/BDE+/BED=120°,從而得到NCO4N8劭,進(jìn)而得到△加應(yīng)叨，再由協(xié)：廬2:3,可得到

臉書4即￡?=即可求解?

DFDE36-CF3

【詳解】解：根據(jù)題意得：NEDF=NA,D2AF,

???△力比是等邊三角形，

白60°,

:?4ED六600,

:ZBDE+/CDE8G0-/ED產(chǎn)120°,

???/年60°,

:?/BDE+NBED=\8y-Z^=120°,

:./BDE+4CDF=4BD*乙BED,

:?CCDF=4BED,

:NDEs^CFD,

.BDDECFBD2

??,kn|nJ=9

CFDFDFDE3

???等邊△力比1的邊長為6,

CF

A-5—=2-，解得：b=2.4.

0—Cr3

故答案為：2.4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角

形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，點(diǎn)〃是等邊二ABC邊BC上一點(diǎn)，將等邊二A3。折疊，使點(diǎn)力與點(diǎn)〃重合，折痕為EF(點(diǎn)￡在邊

上).(1)當(dāng)H)_L8C時(shí)，AE:EB=；(2)當(dāng)8O=2DC時(shí)，AE:EB=.

【答案】瓜17:5

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)得到NA=N8=60。，由折疊的性質(zhì)得到A￡=OE,ZEDF=ZA=60°,

再由㈤_L8C推出N8瓦)=90。，可得==由此即可得到答案；

(2),用攵表示。C和8。，然后證明，班”.?！辏臼?，利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相

似比，即可求出座，然后用攵表示AE即可得到結(jié)果.

【詳解】解：(1)???三角形./BC是等邊三角形，

AZA=ZB=60°,

由折置的性質(zhì)可得4石=OEZ￡DF=ZA=60°,

???FD工BC,

???ZFDB=90°,

:./EDB=30。,

???/BED=90。,

:.AE=DE=6BE,

???AE：EB=GI，

故答案為：\/3：1

設(shè)CD=k,BD=2k,

???AB=AC=3k,

???“WC為等邊三角形，

，ZA=ZB=60°,

由折番的性質(zhì)可得/即/=/4=60。，AF=DF,AE=DE,

CR.-n=BE+DE+BD=BE+AE+BD=5k,CcnF=CD+DF+CF=AF+CF+CD=4k,

ZEDB+ZFDC=ZBED+ZEDB=120°,

/BED=NFDC

ZB=ZC=60°,

BED^..CDF，

BE二CBED

DCCCDF

BE5k

=,

k4k

5s7

BE=-k,AE=3k--k=-k

444f

AE:BE=7:5；

故答案為：7:5.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形與折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

10.如圖，已知48。是等邊三角形，AB=6,點(diǎn)D,E,尸分別在ABICAC上，BD:BE=2:3,OE同時(shí)

平分和「，則竺二

Z5EFZZ?D，/切的長是

FD

A

【答案】Q7

【分析】根據(jù)。石同時(shí)平分4所和血尸得到N8E￡>=NfW，/BDE=/FDE,再由OE=￡D,證明

△BDEMFDE,由三角形全等性質(zhì)。F=8Q,EF=BE,再根據(jù)已知條件80:8E=2:3即可■得到結(jié)論，根

據(jù)△BOEw△打把和A8c是等邊三角形，證明ADF?CFE,設(shè)CE=x,利用三角形相似比構(gòu)建方程求解

即可.

（詳解】DE同時(shí)平分ZBEF和ZBDF得到ZBED=ZFED,

「?立BDE=NFDE,

/BED=NFED

NBDE=4FDE,

DE=ED

BDE@FDE^ASA）,

DF=BD,EF=BE,

XBD:BE=2:3,

?EF—BE—3

一而一茄一5

故答案為：y

△BDE三AFDE

./WC是等邊三角形，

:?DBE?DFE?A?C60?,

?.?AOF?AFD?CFE?AFD120?,

A1ADF?CFE,

ZAFD=4CEF,

ADF~,CFE,

?_E_FFCEC3

'~DF~~AD~~AF~2,

設(shè)8Z)=力產(chǎn)=2t,BE=EF=3x,

AB=6

?*-AD=6-2x?EC=6-3x,

,6-2x—2x—AT7

FC3x6-3x*

FC=9-3x,AF=4-2x,

/.9-3x+(4-2x)=6,

5

14

故答案為：g.

J

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形

的性質(zhì)，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等與三角形對(duì)應(yīng)邊的比是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，將菱形ABCD繞點(diǎn)、A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形ABCD的位置，使點(diǎn)夕落在BC上,BC與。。交于點(diǎn)E,

若AB=5,BB'=3,則CE的長為.

【分析】過。作交B'C于E根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得.AHA'SABNC,ABB's”BTC,可得

CF和的長，再由CFEjDCE求得CE和DE的比即可解答：

【詳解】解：如圖，過。作b〃CZ>'交8。'于凡

AHC,。'是菱形，則A9〃C。，

,

；?CF//ABt

?"BFC=ZAB'F,NB'CF=ZA8fB,

V?AZJit?8,

:./B'FC=/B,

:.ABBjBFC,

：.A&:B'C=BB':FC,

/W'=5,BB'=3,則3'C=2,

:.FC=|,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得NBA力=2DAB，

'/AB=A^=AD=AD',

:.一ABHWADU,

:.BB'=DU=3,

ADC=2,

*：CF//Ciy,

：.CFE^DCE,

???CF:DC=CE:DE=^:2=3:5,

315

ACE=DCx-=—；

88

故答案為:.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；掌握相似三角形的判定

和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.在等邊48c中，尸為3c上一點(diǎn)，。為4C上一點(diǎn)，且N4P￡>=60。，BP=4,8=2,則A8C的邊

長為

A

【答案】8

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得A8=8C=AC,ZB=ZC=60°,得N8A尸=NOPC,從而得出AAP與

△PCD相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：?,?..48。是等邊三角形，

:.AB=BC=AC,NZ?=NC=60°,

二.ZBAP+Z4PB=180°-60°=120°,

?ZAPD=60°,

「?/^￡?+/￡>^6=1800-60°=120°

;.ZBAP="PC,

NB=NC,ZBAP=NDPC,

.?._A8PsPCD；

ABBP

?■=

PCCD9

B尸=4,6=2,

?A3_4

"AB-4-2,

A8=8,

."ABC的邊長為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.綜合利用題目

中條件證明出兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，等邊AA8c中，D、￡分別在邊AC,8c上，4B=6,CD=-CEtACDE沿直線OE折疊，使

點(diǎn)C落在/W邊上的夕處，則CE=

A

21

【答案】Y

J

【分析】證明.AQEs-由相似三角形的性質(zhì)得出翳=專=器，設(shè)CE=x,則屬=x,BE=6-x，

?PBx

CD=-x,得出二一一了一，解得m=9-x,可得出關(guān)于x的方程，解方程即可得出答案.

3o—x—x

33

【詳解】解：?.A4BC是等邊三角形，

,\AB=BC=AC=6,ZA=ZB=ZC=60°,

沿直線OE折疊，使點(diǎn)。落在A3邊上的尸處，

：.CE=PEfCD=PD,NC=NEPD=&)。,

:.ZAPD+ZBPE=\2(f,

Z4PD+Z4DP=120°,

:.ZBPE=ZADP,

:_BPES_ADP,

.PBBEPE

"而一而一方’

2

設(shè)CE=x,則P￡=x,BE=6-x,CD=-x

3t

2

/.AD=6——x,

3

PBx

:.PB=9-xt

AP=6-(9-x)=x-3.

6-x_x-3

?4?9-x2

3

21

解得x=1■或x=9(不合題意，舍去).

:.CE=—,

5

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在YA8CO中，入3=3,BC=4,/3=60。，點(diǎn)是邊A3上一點(diǎn)，連接過點(diǎn)少作

交于點(diǎn)E且NEED=60。，AEDF=度，的的長為.

【答案】30-

4

【分析】延長8C至加使8=。"，連接用。，證明M戶D即可求出8E的長.

【詳解】?；EF上DE,ZEFD=a)°

；?ZEDF=30°,

:.DF=2EF

延KBC至“使CZ)=CM,連接MO,

AAB=CD=CM=398c=4,NB=/DCM=&F,

**?4DCM是等邊三角形

ADA/=3,Z^=ZM=ZEFD=60°,

???2BFE=ZFDM=120°-4DFM，

，工BEFJVfFD,

.BEBFEF

一FM-DM-DF'

,?FM=BM-BF=BC+CM—BF=7-BF,

.BEBF1

??==,

7-BF32

311

解得：BF=；,BE,,

故答案為：30,H.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一線三等角模型

構(gòu)造輔助線.

15.如圖，在等邊中，將AMN沿MN翻折，點(diǎn)“恰好落在AC邊的點(diǎn)￡處，且AE:CE=1:3,則

BM:BN=

【答案】5:7

【分析】如圖，作￡/_L4C,EKLBA,垂足為J,K,利用勾股定理和含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及

等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的線段，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：連接踮交MN于點(diǎn)0,作E7J.BC,EK工BA,垂足為J,K,如圖，

設(shè)EC=3a,

??,等邊ABC,

AB=3C=AC=4a,ZA=N3=/C=60。，

???NAEK=NCE/=30°,

/BON=NBJE,ZOBN=/JBE,

：.BONs.BJE,

岳

.SOBN叩〒"BN

??—=—,UJT—=.—,

BJBE5a岳a

2

13

解得瓶='。，

同理可得BMO^BEK,

x/13

；.歿=也,即阜二警，

BKBElQ屈°

2

13

解得

則BM:BN=5:7.

故答案為：5：7.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及相

似三角形的判定與性質(zhì)，通過三角形相似求出相關(guān)線段是關(guān)鍵

16.如圖，矩形A8CO中，A8=6,BC=9,〃為。。的中點(diǎn)，尸為BC上一點(diǎn),BF<FC,且4/_L莊.對(duì)

角線AC與瓦?交于點(diǎn)G,則GC的長為________.

-----------口

0bVFM。

【答案】半

【分析】過點(diǎn)。作皿『點(diǎn)〃先證明.”匕得出苗啥,根據(jù)所“。,得出八3"=6,

再證明AEBsEG”，得出器=二，證明NABCS'G”。，得出等二會(huì)■，聯(lián)立求出得出C”=：,

BFABABBC7

12

GH=-f最后在Rtz\G〃C中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)G作G〃_L6c于點(diǎn)〃

設(shè)BF=x,則CF=9—x,

?”為CD的中點(diǎn)，

.\CE=-CD=3,

2

??'AFA.FE,

???ZAFB+ZEFC=90°,

???四邊形A8CQ為矩形，

???？890?,CD=AB=6,

:.^F'AB+ZAFB=90°,

:./FAB=4EFC,

???ZB=ZECF=90°,

AFAB^EFC,

.BFABx6

..—=---,即一=-----

CECF39-x

解得：x,=3,x2=6,

VBFvFC,

:,BF=3,CF=6,

設(shè)C”=y,則/77=6_y,BH=9-y,

,:乙FAB=NEFC,NR=NGHF=9(r,

???A必sFGH,

.GH_FHmGH_6-y

BFAB36

■:AGCH=ZACB,/GHC=ZB,

??ZABCs二GHC,

???絲=”即里

ABBC6

整理得：器=1，

???尸=，，解得:18

y=

697

：.GH2xJ,解得:GH12

~7

~~9

6x/13

在RtZ\G，C中，根據(jù)勾股定理可得：CG=yjGH2+CH2=

7

故答案為：巫

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角

形的判定方法，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.

17.如圖，在△/1比中，月片力占10,點(diǎn)〃是邊比、上一動(dòng)點(diǎn)（不與從C重合），/ADE=4I=a,DE交AC

4

于點(diǎn)￡,且cos/。=1，下列結(jié)論：①△月龍s△水刀：②當(dāng)做=6時(shí)，劭與△腔'全等；③△〃四為直

?5-

角三角形時(shí)，切為8或于；④0V6FW6.4.其中正確的結(jié)論是.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填

O

上）

【答案】①②④

【分析】①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD=6,則DC=10,然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)

角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據(jù)相

似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得.

【詳解】解:①???AB=AC,

/.ZB=ZC,

又???/ADE=NB,

AZADE=ZC,

AAADE^AACD,故①正確:

②作AG±BC于G,

4

VAB=AC=10,NADE=NB=a,cosa=y,

.*.BG=ABcosB,

4

EC=2BG=2ABcosB=2X10X—=16,

VED=6,

/.CC=10,

?；AB=DC,

NBAD=NCDE

在aABD與ADCE中NB=NC,

AB=DC

/.△ABD^ADCE(ASA),故②正確；

③當(dāng)NAED=90°時(shí)，由①可知：△ADES/XACD,

AZADC=ZAED,

VZAED=90°,

/.ZADC=90°,BPAD1BC,

VAB=AC,

/.ED=CD,

4

；?NADE=NB=a且cosa=1,AB=10,BD=8,

當(dāng)NCDE=90°時(shí)，易△CDESZ\BAD,

VZCDE=90°,

???NBAD=90°,

4

NB=a且cosa=二，AB=10,

?n月84

??cosB----------,

BD5

23

.-.ED=y,故③錯(cuò)誤；

④易證得△CDES^BAD,由②可知BC=16,

設(shè)BD=y,CE=x,

.ABBD

..----=-----,

DCCE

..-y

**16-yx，

整理得:y2-16y4-64=64-1Ox,

即(y-8)2=64-10X,

???0VxW6.4,故④正確；

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角

形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，等邊“A8C的邊長為10,點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊48c沿過點(diǎn)M的直線折疊，該直線

與直線AC交于點(diǎn)N,使點(diǎn)A落在直線BC上的點(diǎn)。處，且BD：。。=1：4,折痕為MN、則AN的長為.

I答案】7或？?

【分析】分情況討論：方法一：當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，證明△BMDs/XCDN,得到空=器=空,

CNDNCD

根據(jù)BO:ZX?=1:4,設(shè)AN=a，求出AN；方法二：當(dāng)A在CB的延長線上時(shí)，如圖2,同樣方法求出AN.

【詳解】方法一：當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，

AAC8是等邊三角形,

:.ZA=NB=NC=NMDN=6。,

.NMDC=NB+4BMD,=/MDN,

/.NBMD=4NDC,

/.ABMD&CDN,

.但BDDMBM

?*"，號(hào)==,

CNDNCD

DN=AN、

,BDDNBM

??彳號(hào)9

CNANCD

.Z?D:DC=l:4,BC=10,

:.DB=2,CD=8,

設(shè)AN=a,

則CN=10—x,

2DMBM

2x16

DM=,BM=

10—x10-x

.BM+DM=10,

-^-+-^-=10,

10-r10-r

解得x=7,

.-./W=7；

方法二：當(dāng)A在CB的延長線上時(shí)，如圖2,

與①同理可得ABM。ACD/V.

勿B(yǎng)DDMBM

.?.得——=----=——.

CNDNCD

8D:DC=1:4,BC=IO,

設(shè)AN=x.

貝lJCN=x-10,

10

7DMBM,

JV-10x-行

3(x-10)9(x7())'

BM+DM=10,

IOx400

?'■10,

3(x-10)9(10)

65

解得:x=—,

3

65

...AN：于

故答案為：7或竽.

【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中注意題中的條件“點(diǎn)

A落在直線BC上的點(diǎn)。處”故點(diǎn)A可在線段BC上，也可在延長線上，應(yīng)分類討論避免漏解.

19.如圖，在矩形4O8C中，05=4,04=3,分別以08、0A所在直線為“軸和＞軸，建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，尸是邊4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），過尸點(diǎn)的反比例函數(shù)），=&也＞0）的圖象與

X

AC邊交于點(diǎn)E，將△CE/沿E尸對(duì)折后，。點(diǎn)恰好落在。8上的點(diǎn)。處，則k的值為.

91

【答案】y

【分析】過點(diǎn)E作EM_Lx軸于點(diǎn)M,根據(jù)翻折的性質(zhì)得到N￡Z>=NC=90。，進(jìn)而證明△METSABOF,

FMFD4

再根據(jù)相似的性質(zhì)得到素■==;;=;，通過矩形創(chuàng)"的性質(zhì)得到/粗的長度，進(jìn)而得到〃/，的長度，最后

DBDF3

在Rt.06/中應(yīng)用勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M,

???四邊形月版'為矩形，階3,循4,

???陷阱3,A僅映4,ZC=90°,ZOBC=90°.

/.A(0,3),50,0),8(4,0),C(4,3).

???點(diǎn)尸在邊房上，點(diǎn)￡在邊力C上，

/?%=4,yE=3.

k,

又1?點(diǎn)/“尸在反比例函數(shù)y=￡(女＞0)的圖象上,

x

kkkk

????=—=：,4=一二二.

與4yE3

AAE=~,BF=-.

34

kk

：,EC=AC-AE=4一一,CF=BC-BF=3一一.

34

???acM沿用對(duì)折后得到.D印.

???NEDF=NC=90。，ED=EC=4--DF=CF=3--.

3t4

AZMDE+ZFD/?=90°.

???EMJ.x軸,

???^EMD=90°

???"DE+/MED=90。,/EMD=/OBC=900.

/MED=〃BDF.

???^MED^/\BDF.

/k12-k

EMED_3_3_4

~DB~~DF~k~\2-k~3

44

???四邊形/次是矩形,

???AEAO=ZAOM=90°.

又：EM_Lx軸,

?\/EMO=90°.

???四邊形￡7〃必是矩形,

???EM=OA=3.

-T4

3

在Rt/中，滿足D尸=082+8產(chǎn),

即"勺=f-T+[-L解得

I4)⑷⑷8

21

故答案為：—.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與長度之間的關(guān)系以及勾

股定理，作出合適的輔助線，熟練應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

20.將邊長為15的等邊三角形紙片A8C進(jìn)行折疊，使點(diǎn)力落在對(duì)邊BC上的點(diǎn)〃處，折痕石尸交/W于點(diǎn)E,

交AC于點(diǎn)尸，且滿足8D:DC=1:4,則AF的長為.

F

BD(

21

【答案】y

【分析】設(shè)=由等邊三角形的性質(zhì)得出3C=AC=A8=15,N4=NC=NA=60。，求出30=3,8=12,

由折疊的性質(zhì)得：AE=DE,AF=DF=x,/￡葉=44=60。=4,由三角形的外角性質(zhì)得出,

證明△BDEs^CF。，得出8E=3-,OE=J^-,由AE+旌=AA=15得出方程，解方程即可.

15-x15-x

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，設(shè)AF=x,

?.?..ABC是等邊三角形，

..BC=AC=AB=\5,ZB=ZC=Z4=60°,

BD.DC=\:4,

.?.80=3,8=12,

由折疊的性質(zhì)得：AE=DE,Af=DF=x,=NA=600=,

ZEDC=NCDF+4EDF=/BED+NB,

“BED=/CDF,

...BDEsCFD,

..處=匹="即工=三=空

CFDFCD15-x.V12

363x

解得:BE,DE=

15-x15-x

AE=DE=-^3t—

15-x

AE+BE=AB=\5,

3x36

---------F=15,

15-x15-x

解律％=§21，

乙

21

即AF=y,

21

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知

識(shí)；熟練掌握折疊變換和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.課題學(xué)習(xí):

圖1圖2圖3

（1）如圖1,在四邊形A8c。中，點(diǎn)。為A8上一點(diǎn)，ZDPC=ZA=ZB=90°,求證：ADBC=API3P.

【思考探究】

（2）如圖2,在四邊形ABCZ）中，點(diǎn)〃為A5上一點(diǎn)，當(dāng)NOPC=N4=N8=/7時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？

說明理由.

【拓展延伸】

（3）請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：

如圖3,在中，AB=2g，/B=45。,以點(diǎn)力為直角頂點(diǎn)作等腰RtZXAOE.點(diǎn)。在8C上，點(diǎn)后在AC

上，點(diǎn)尸在8c上，且ZE/T>=45。，若CE=5求。。的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）結(jié)論成立，證明見解析；（3）5；

【分析】（1）如圖1,由/DPC=NA=N8=900可得NAOP=4PC,即可證到.ADf.8PC,然后運(yùn)用

相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（2）如圖2,由NOQC=4=NB=〃可得NADP=/BPC,即可證到，AD~_BPC,然后運(yùn)用相似三角

形的性質(zhì)即可解決問題.

（3）證明△A6ZK?！鳌Ｊ珽,求出次=4,再證△EFCsADEC,可求尸C=l,進(jìn)而解答即可.

【詳解】解：（1）如圖1,VZDPC=ZA=ZB=90°,

:.ZADP+ZAPD=90°=NBPC+公PD,

ZADP=ZBPC,

：,4OPsBPC,

.ADAP

?.=,

BPBC

??ADBC=APBP；

(2)成立，理由如下：

,/Z.BPD=ZDPC+ZLBPC,ZBPD=ZA+ZADP,

:.ZDPC+/BPC=ZA+ZADP,

4DPC=NA=/B=0,

???4PC=ZADP,

:.ADP^UPC,

.ADAP

*'~BP~~BCy

：.ADBC=APBP.

(3)VZEFD=45°=Z^,等腰RtZXAOE,

AZB=ZADE=45°,

■:ZADF=ZADE+/EDF=/BAD,

:.4AD=/EDF,

:.AABD^ADFE,

,AB=AD

**DF~DE'

???V4)E是等腰直角三角形，

.ABAD1

**OF-V?*

*.*AB=2五,

：,DF=4,

???VAOE是等腰直角三角形，

:.乙4￡。=45。，

丁ZEFD=45。,

???^DEC=Z.EFC=1800-45n=135n,

又1?ZC=ZC,

:.DECs,.EFC,

BpEC2=FCDC=FC(4+FC),

(S*/*

?/CE=6

???FC2+4FC-5=0,

FC=1,（負(fù)根舍去）

:.CD=DF+CF=5.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理的

應(yīng)用，能夠通過45。角將問題轉(zhuǎn)化為?線三等角是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在矩形A8CO中，E為。C邊上一點(diǎn)，把VAOE沿AE翻折，使點(diǎn)。恰好落在8C邊上的點(diǎn)”處.

⑵若A6=2石，AD=4,求CE的長.

（3）當(dāng)點(diǎn)/星線段8C的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF2=ABAE.

【答案】（1）證明見解析

⑵友

3

（3）證明見解析

【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明4AF=NEPC,再利用相似三角形的判定得結(jié)論；

（2）先利用勾股定理求出*再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可.

ARRFARAF

⑶由△AMs2\/7CE,可得k=*=y,結(jié)合尸為4c的中點(diǎn)，可得背二7，結(jié)合ZA在=4=903

CFCEEFBFEF7T

可得△ABFsAA/石，從而可得答案.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CO是矩形，

:.ZB=ZC=ZD=90°.

:VADE沿AE翻折得到AAFE,

???ZD=ZAFE=90°.

■:/BAF+ZAFB=90。=ZAFB+Z.EFC,

:.4AF=/EFC.

又?:ZB=ZC,

:.△ABFs/\FCE.

（2）???四邊形ABC。是矩形，AB=2g,AD=4,

AAB=CD=2yf3,AD=BC=4,

???VAOE沿AE翻折得到4AFE，

AAD=AF=4,DE=EF.

在Rt48尸中，BF=ylAF2-AB2=2"

設(shè)"的長為x,則O￡=E/=26-x.

??,XABFs叢FCE,

,BFAF

??--=---?

CEFE

：.CEAF=BFEF,

即4X=2（2G-X）.

.26

??X=----9

3

即EC="

3

（3）?:△ABFsBCE,

.ABBFAF

一斤一方二斤，

???廣為BC的中點(diǎn)，

???BF=CF,

.ABAF

**SF-EFf

ZAFE=Z5=90°,

???AAB"S4莊，

.ABAF

**AF*

:.AF2=ABAE.

【點(diǎn)睛】本題.主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是

直角、矩形的對(duì)邊相等”、“折置前后的兩個(gè)圖形全等”、“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”及“相似三角

形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在中，AB=AC=5cm,8c=8,點(diǎn)〃為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），過點(diǎn)/＞作

射線門以交4c于點(diǎn)M,使NAPM=N8；

(1)求證：AABPsAPCM；

(2)設(shè)=CM=yf求>與R的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

(3)當(dāng)△AFM為等腰三角形時(shí)，求/歸的長.(直接寫出答案，不寫解題過程).

【答案】(1)見解析

1Q

(2)y=--x2+-x(O<x<8)

⑶3或939

O

【分析】(1)因?yàn)锳8=AC,/40必=/7?,得到/4加=/8=/。，ZAPC=ZAPM+ZMPC=ZB+ZBAP,

得到/8AP=NMPC,即可得出&

(2)由(1)得到比例式當(dāng)=黑，代入從)'變形得至1]丁=一。/+9X(。<工<8)：

PCMC55

(3)八4加為等腰三角形有三種情況，AP=PM.AP=AM.MP=AM分別利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算即

可求解.

【詳解】(1)AB=AC,ZAPM=4B,

???ZAPM=4B=4C.

■:AAPC=ZAPM+AMPC=ZB-ZBAP,

???/BAP=/MPC,

???AABPsMCM.

(2)VI3P=x,CM=ytCP=8-x,

..MiBP

*PC~MC'

5x

??二=7

])8

:.y=--x2+-x(O<x<8).

(3)如圖，當(dāng)時(shí)

..PMPC

???PC=AB=5,

:.BP=3.

如圖，當(dāng)時(shí),

,?ZAPM=/B=/C,

???/PAM=NBAC即點(diǎn)。與點(diǎn)B重合.

?；P不與點(diǎn)8、C重合，舍去.

如圖，當(dāng)時(shí)，

:.5Ap=4MPA,

J^MAP^ABC,

.MP_AC5

.PMPCIJr18-x5

PAAB58

39

:.BP".

8

39

綜上所述，依的長為3或a.

O

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，重點(diǎn)要運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算，第三問

關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切芜M(jìn)行分類.

24.如圖，在AABC中，點(diǎn)〃、￡分別在邊BC、AC上，連接AD、DE,且N8=/4