廣東省深圳第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年廣東省深圳第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本部分共10小題，每小題3分，共30分）1.下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A.﹣2 B.0 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式解集的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的數(shù)，∴3是不等式的解．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解是解答此題的關(guān)鍵．2.使分式有意義的條件是（）A.x＝0 B.x≠1 C.x≠﹣1 D.x≠±1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得，1-x≠0，解得x≠1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查使分式有意義的條件即分母不能為0，對(duì)此進(jìn)行列式計(jì)算即可，難度較小．3.下列標(biāo)志中不是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．解：A、是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)正確；D、是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．4.如圖，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝2cm，則平移的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，可直接求得結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)圖形可得：線段BE的長(zhǎng)度即是平移的距離，∴平移的距離為2cm，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解平移的方向，由圖形判斷平移的方向和距離．注意結(jié)合圖形解題的思想．5.若a﹣b＝2，ab＝3，則a2b﹣ab2的值為（）A.6 B.5 C.﹣6 D.﹣5【答案】A【解析】【分析】直接將原式提取公因式ab，進(jìn)而分解因式將已知代入求出答案．【詳解】解：∵a-b=2，ab=3，∴a2b-ab2=ab（a-b）=3×2=6．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式解題關(guān)鍵．6.如圖，在平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交AD于F，再分別以B、F為圓心，大于BF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G，若BF=6，AB=5，則AE的長(zhǎng)為（）A.11 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】連接EF，根據(jù)題意得出AE垂直平分BF，AF=AB=5，得出OB=OF=3，∠BAE=∠FAE，由勾股定理求出OA，再證出BE=AB=AF，得出四邊形ABEF是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OE=AE，即可得出AE=2OA=8．【詳解】解：連接EF，有作圖可知AE平分∠BAD，AB=AF=5，∴OB=OF=BF=3，AE⊥BF，在Rt△AOB中，AO==4，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∵AB=AF，∴AF=BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴AE=2AO=8．故選C．7.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD＝60°，AD＝1，則AB的長(zhǎng)是（）A.1 B.2 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得OA=OB=OD，然后判斷出△AOD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OD=AD，然后求出BD，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：在矩形ABCD中，OA=OB=OD，∵∠AOD=60°，∴△AOD是等邊三角形，∴OD=AD=1，∴BD=1+1=2，由勾股定理得，AB=，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并判斷出△AOD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8.如圖，已知一次函數(shù)y＝k1x+b1與一次函數(shù)y＝k2x+b2的圖象相交于點(diǎn)（2，1），則不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是（）A.x＞3 B.x＞2 C.x＜2 D.x＜0【答案】C【解析】【分析】看兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)左邊的圖象所對(duì)應(yīng)的自變量的取值即可．【詳解】解：一次函數(shù)y=k1x+b1與一次函數(shù)y=k2x+b2的圖象相交于點(diǎn)（2，1），所以不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是x＜2．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)和一元一次不等式，本題是借助一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式，兩個(gè)圖象的“交點(diǎn)”是兩個(gè)函數(shù)值大小關(guān)系的“分界點(diǎn)”，在“分界點(diǎn)”處函數(shù)值的大小發(fā)生了改變．9.如圖，在坐標(biāo)系中，滿足將O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣O所圍成的面積平分的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.無數(shù)條【答案】C【解析】【分析】把圖形利用割補(bǔ)法得到矩形，然后作矩形的對(duì)角線找出中心，然后作出直線即可得解．【詳解】解：如圖：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱，矩形的性質(zhì)，利用割補(bǔ)法把圖形分成矩形是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE=AD；②∠AED=∠CED；③BH=HF；④，其中正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】A【解析】【分析】設(shè)AB=a，則AD=a，用a表示出AE長(zhǎng)度可判斷①；證明DH=DC即可說明②；證明△DHF≌EBH，可判斷③；用含a是式子表示BC-CF與2HE比較即可判斷④．【詳解】解：①設(shè)AB=a，則AD=a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴BA=BE．∴在Rt△ABE中，AE=a，∴AE=AD．①正確；②∵DH⊥AH，∠DAE=45°，AD=a，∴DH=AH=a．∴DH=DC．根據(jù)到角兩邊距離相等點(diǎn)在角的平分線上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED=∠CED正確；③∵AH=AB=a，∴∠ABH=∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB=180°．又∠AHB+∠BHE=180°，∴∠BHE=∠HFD．∠HEB=∠FDH=45°，又BE=DH=a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH=HF，③正確；⑤BC=a，CF=2a-a，HE=a?a，∴BC-CF=2HE，∴④正確；綜上所述，正確的是①②③④共4個(gè)．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì).二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.分解因式：______________．【答案】4x（x+1）（x-1）【解析】【詳解】4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).故答案為4x(x+1)(x-1).12.若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是30°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于____度．【答案】1800【解析】【詳解】多邊形的外角和等于360°，則正多邊形的邊數(shù)是360°÷30°=12，所以正多邊形的內(nèi)角和為.13.等腰三角形的周長(zhǎng)為14，其一邊長(zhǎng)為4，那么，它的底邊為__________________.【答案】4或6##6或4【解析】【分析】此題應(yīng)分兩種情況討論，4可能為底邊，也可能為腰長(zhǎng)，且兩種情況都成立.【詳解】解：當(dāng)腰是4時(shí)，則另兩邊是4，6，且4+4＞6，6-4＜4，滿足三邊關(guān)系定理，當(dāng)?shù)走吺?時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是5，5，5+4＞5，5-4＜5，滿足三邊關(guān)系定理，∴該等腰三角形的底邊為4或6，故答案為：4或6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，應(yīng)從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法，難度適中．14.已知菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩個(gè)相鄰角度數(shù)比為1：2，則較短的對(duì)角線長(zhǎng)為_____，面積為_____．【答案】①.10cm，②.50cm2【解析】【分析】根據(jù)已知可求得菱形的邊長(zhǎng)及其兩內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)勾股定理可求得其對(duì)角線的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半求得其面積．【詳解】根據(jù)已知可得，菱形的邊長(zhǎng)AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：BO=，∴BD=2BO=10（cm），則S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10=50（cm2）；故答案為10cm，50cm2．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合．菱形的面積有兩種求法（1）利用底乘以相應(yīng)底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面積=×兩條對(duì)角線的乘積．15.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，則圖中陰影部分面積為___．【答案】【解析】【分析】設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E，連接AE，利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等∠DAE=∠B′AE，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABCD的面積-四邊形ADEB′的面積，列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，在和中，，，，∵旋轉(zhuǎn)角為30°，，，，∴陰影部分的面積=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，從而求出∠DAE=30°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．三、解答題（本題共55分）16.解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】﹣3≤x＜2，畫圖見解析【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：解不等式①得，x≥﹣3，解不等式②得，x＜2，∴不等式組的解集為：﹣3≤x＜2，在數(shù)軸上表示為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，并在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次不等式的方法.17.先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【答案】，【解析】【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：===將x=-1代入，原式==．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18.解分式方程：+＝2．【答案】x=1【解析】【分析】首先方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，通過整理解整式方程即可，最后要把x的值代入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行檢驗(yàn)．【詳解】解：方程兩邊同乘以x-2得：，解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，關(guān)鍵在于求出分式方程的最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）畫出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）畫出以C1為旋轉(zhuǎn)中心，將△A1B1C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2；（3）尺規(guī)作圖：連接A1A2，在C1A2邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A1A2的距離等于PC1的長(zhǎng)（保留作圖痕跡，不寫作法）；（4）請(qǐng)直接寫出∠C1A1P的度數(shù)．【答案】（1）C1（0，﹣1）；圖見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）22.5°.【解析】【分析】（1）分別作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1即可；（2）分別作出A1、B1、C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2即可；（3）作∠C1A1A2的角平分線交C1A2于P即可；（4）根據(jù)角平分線的定義即可解決問題；【詳解】解：（1）△A1B1C1如圖所示，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)（0，﹣1）；（2）△A2B2C2如圖所示；（3）點(diǎn)P如圖所示；（4）請(qǐng)直接寫出∠C1A1P的度數(shù)為22.5°；【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、軸對(duì)稱變換、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．20.深圳文博會(huì)期間，某展商展出了A、B兩種商品，已知用120元可購(gòu)得的A種商品比B種商品多2件，B種商品的單價(jià)是A種商品的1.5倍．（1）求A、B兩種商品的單價(jià)各是多少元？（2）小亮用不超過260元購(gòu)買A、B兩種商品共10件，并且A種商品的數(shù)量不超過B種商品數(shù)量的2倍，那么他有哪幾種購(gòu)買方案？并說明哪種是最優(yōu)方案．【答案】（1）A種商品的單價(jià)為20元，B種商品的單價(jià)為30元；（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)A種商品的單價(jià)為x元，根據(jù)用120元可購(gòu)得的A種商品比B種商品多2件，列出方程，解之檢驗(yàn)可得；（2）設(shè)購(gòu)買A種商品a件，根據(jù)A種商品的數(shù)量不超過B種商品數(shù)量的2倍，總費(fèi)用不超過260元列出不等式組，解之得到整數(shù)解，從而得到方案，分別計(jì)算出每種方案所需費(fèi)用可得結(jié)果．【詳解】解：（1）設(shè)A種商品的單價(jià)為x元，由題意可得：，解得：x=20，經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原方程的解，∴1.5x=30，∴A種商品的單價(jià)為20元，B種商品的單價(jià)為30元；（2）設(shè)購(gòu)買A種商品a件，則B種商品10-a件，，解得：4≤a≤，∴a可以取的整數(shù)為4，5，6，∴共有3種購(gòu)買方案：方案一：購(gòu)買A種商品4件，則B種商品6件，所需費(fèi)用：20×4+30×6=260元；方案二：購(gòu)買A種商品5件，則B種商品5件，所需費(fèi)用：20×5+30×5=250元；方案三：購(gòu)買A種商品6件，則B種商品4件，所需費(fèi)用：20×6+30×4=240元；∴方案三是最優(yōu)方案．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程和不等式組．21.如圖，在四邊形ABCD中，，AB=AD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．連接OE．（1）求證：四邊形ABCD菱形；（2）若AB=，OE=2，求線段CE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得證；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后利用勾股定理可得，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得．詳解】（1）∵，∴，∵AC為的平分線，∴，∴，∴，，，又∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，，，∴，在和中，，∴，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．22.如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）在圖1中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．【答案】（1）EF=BE+DF．證明見解析；（2）AM=AB；（3）AM=AB．證明見解析【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．（2）根據(jù)△EAQ≌△EAF，EF=BQ，得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；（3）延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)折疊和已知得出AD=AB，∠D