廣東省深圳市龍華區(qū)新園學校2022-2023學年九年級上學期數(shù)學核心素養(yǎng)（五）（解析版）

北師大版九年級上冊期末復習核心素養(yǎng)（五）一、選擇題1.如圖所示為某幾何體的示意圖，則該幾何體的主視圖應為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖的定義解題即可.【詳解】幾何體的主視圖就是從正面看所得到的圖形，從正面看可得到圖形是A．故選A．【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖．屬于比較基礎的題型.2.當時，函數(shù)的圖象在（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質即可得出答案．【詳解】∵k=-5＜0∴函數(shù)的圖象的兩支分別在第二、四象限又∴函數(shù)的圖象在第二象限故選C．考點：反比例函數(shù)的圖象性質3.如果，那么下列等式中不一定成立的是（）A. B. C. D.ad=bc【答案】B【解析】【詳解】試題分析：A、∵＝，∴＋1＝＋1，∴＝，故此選項正確；B、當b＋d＝0時此選項錯誤；C、∵＝，∴()2＝()2，∴＝，故此選項正確；D、∵＝，∴ad＝bc，故此選項正確．故選B．4.如圖，是的中位線，表示的面積，表示四邊形的面積,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得，再證明，根據(jù)相似三角形的性質求解即可．【詳解】是的中位線，，，∴它們的面積比是1：4，∴，故選B．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質：相似三角形面積的比等于相似比的平方．5.小明和小華玩“石頭、剪子、布”游戲．若隨機出手一次，則小華獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與小華獲勝的情況數(shù)，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結果，小華獲勝的情況數(shù)是3種，

∴小華獲勝的概率是：=．

故選：A．【點睛】此題主要考查了列表法和樹狀圖法求概率知識，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6.下列說法正確的是A.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.任意兩個等腰三角形相似C.一元二次方程，無論a取何值，一定有兩個不相等的實數(shù)根D.關于反比例函數(shù)，y的值隨x值的增大而減小【答案】C【解析】【分析】利用正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函數(shù)的性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A、兩條對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故錯誤；B、等腰三角形的對應角不一定相等，故錯誤；C、方程x2﹣ax﹣2＝0中△＝a2+8＞0，一定有兩個不相等的實數(shù)根，故正確；D、關于反比例函數(shù)y＝，在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小，故錯誤，故選C．【點睛】本題考查了正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函數(shù)的性質，知識點比較多，較復雜．7.如圖，小穎身高為160cm，在陽光下影長AB=240cm，當她走到距離墻角（點D）150cm處時，她的部分影子投射到墻上，則投射在墻上的影子DE的長度為（）A.50 B.60 C.70 D.80【答案】B【解析】【分析】過E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墻上的影子DE長度即可．【詳解】過E作EF⊥CG于F，設投射在墻上的影子DE長度為x,由題意得：△GFE∽△HAB，∴AB:FE=AH:(GC?x)，則240:150=160:(160?x)，解得：x=60.故選B.【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，解題突破口是過E作EF⊥CG于F.8.某商品原價為100元，第一次漲價，第二次在第一次的基礎上又漲價，設平均每次增長的百分數(shù)為x，那么x應滿足的方程是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設平均每次增長的百分數(shù)為x，根據(jù)“某商品原價為100元，第一次漲價，第二次在第一次的基礎上又漲價”，得到商品現(xiàn)在的價格，根據(jù)“某商品原價為100元，經(jīng)過兩次漲價，平均每次增長的百分數(shù)為x”，得到商品現(xiàn)在關于x的價格，整理后即可得到答案．【詳解】解：設平均每次增長的百分數(shù)為x，∵某商品原價為100元，第一次漲價，第二次在第一次的基礎上又漲價，∴商品現(xiàn)在的價格為：，∵某商品原價為100元，經(jīng)過兩次漲價，平均每次增長的百分數(shù)為x，∴商品現(xiàn)在的價格為：，∴，整理得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，正確找出等量關系，列出一元二次方程是解題的關鍵．9.一次函數(shù)y＝ax＋a(a為常數(shù)，a≠0)與反比例函數(shù)y＝(a為常數(shù)，a≠0)在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖像大致為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】【分析】分兩種情況分析：當a>0時，或當a<0時.【詳解】當a>0時，一次函數(shù)y＝ax＋a圖象經(jīng)過第一、二、三象限；反比例函數(shù)y＝圖象在第一、三象限；當a<0時，一次函數(shù)y＝ax＋a圖象經(jīng)過第二、三、四象限；反比例函數(shù)y＝圖象在第二、四象限.所以，只有選項C符合條件.故選C【點睛】本題考核知識點：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象.解題關鍵點：熟記一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質.10.如圖，矩形ABCD，，，點M，N分別為邊AD和邊BC上的兩點，且，點E是點A關于MN所在的直線的對稱點，取CD的中點F，連接EF，NF，分別將沿著EF所在的直線折疊，將沿著NF所在的直線折疊，點D和點C恰好重合于EN上的點以下結論中：；；∽；四邊形MNCD是正方形；其中正確的結論是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由折疊的性質得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根據(jù)平角的定義得到EF⊥NF；故①正確；連接AN，根據(jù)軸對稱的性質得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②錯誤；根據(jù)余角的性質得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF錯誤，故③錯誤；設DE＝x，根據(jù)相似三角形的性質得到CN＝8，推出四邊形MNCD是正方形；故④正確；根據(jù)線段的和差得到AM＝6，故⑤錯誤．【詳解】∵由折疊的性質得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，∴∠GFN+∠CFN＝90°，∴∠NFE＝90°，∴EF⊥NF；故①正確；連接AN，∵點E是點A關于MN所在的直線的對稱點，∴∠ANM＝∠ENM，∴∠ANB＝∠CNE，而四邊形ABNM不是正方形，∴∠ANB≠∠ANM，∴∠MNE≠∠CNE；故②錯誤；∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，∴∠DFE≠∠NEM，∴△MNE∽△DEF錯誤，故③錯誤；設DE＝x，∴BN＝AM＝，∴CN＝14﹣BN＝，∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠CFN，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DEF∽△CFN，∴，∵F是CD的在中點，∴CF＝DF＝4，∴，∴x＝2，x＝﹣16（不合題意舍去），∴DE＝2，CN＝8，∴CD＝CN，∴四邊形MNCD是正方形；故④正確；∵CN＝DM＝8，∴AM＝6，故⑤錯誤，故選B．【點睛】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，正方形的判定，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．二、填空題11.若x=2是方程x2-x-c=0的一個根，則c=________．【答案】2【解析】【分析】將x＝2代入方程得到c即可．【詳解】∵x＝2是方程x2－x?c＝0的一個根，∴4－2?c＝0，解得：c＝2，故答案為2.【點睛】本題考查的是一元二次方程求解，熟練掌握一元二次方程是解題的關鍵.12.如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α=________°．【答案】56【解析】【分析】先根據(jù)矩形的性質得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EAF的度數(shù)，再由EF是線段AC的垂直平分線得出∠AEF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AFE的度數(shù)，進而可得出結論．【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=68°．

∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，

∴∠EAF=∠DAC=34°．

∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°-34°=56°，

∴∠α=56°．

故答案為：56．13.如圖，在A時測得一棵大樹的影長為4米，B時又測得該樹的影長為6米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，進而可得=；即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，作△EFC；樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=4，F(xiàn)D=9；易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，∴=即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得DC2=36，DC=6；故答案為：6．【點睛】本題通過投影的知識結合三角形的相似，求樹高的大?。皇瞧叫型队靶再|在實際生活中的應用．14.如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）和反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象相交于點A（﹣2，1）和點B，則不等式kx＜的解集是_____．【答案】﹣2＜x＜0或x＞2．【解析】【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征求得B（2，-1），然后根據(jù)函數(shù)的圖象的交點坐標即可得到結論．【詳解】∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）和反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象相交于點A（﹣2，1），和點B，∴B（2，﹣1），∴不等式kx＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞2，故答案為﹣2＜x＜0或x＞2．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，關鍵是注意掌握數(shù)形結合思想的應用．15.如圖，等邊的邊與軸交于點，點是反比例函數(shù)圖像上的一點，且，則等邊的邊長為______.【答案】【解析】【分析】設等邊三角形的邊長為b，過點A作x軸的平行線交y軸于點M，設AM=a

過點B作y軸的平行線交AM的延長線于點E，過點O作ON⊥AB與點N，AN=AB=b，ON=b，AN=b，AC=b，則CN=AN-AC=b，CM∥BE，則，則，則AE=3a，可證△ONC∽△AEB，，即，解得：BE=，AB2=AE2+BE2，則b2=a2+9a2=a2，點A（a，），則AB2=a2+，即可求解．【詳解】設等邊三角形的邊長為b，過點A作x軸的平行線交y軸于點M，設AM=a

過點B作y軸的平行線交AM的延長線于點E，過點O作ON⊥AB與點N，

則AN=AB=b，ON=b，AC=b，則CN=AN-AC=b，∵CM∥BE，∴，即，∴AE=3a，∵∠OCN=∠ACM=∠ABE，

∴△ONC∽△AEB，

∴，即，

解得：BE=

∵AB2=AE2+BE2，即b2=a2+9a2=a2，

∵點A（a，），

則AB2=a2+解得：a2=3，則b=2，

故答案為2【點睛】本題為反比例函數(shù)綜合運用，涉及到三角形相似、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質等，綜合性很強，難度很大．三、解答題16.解方程：．【答案】，．【解析】【分析】利用公式法求解即可．【詳解】解：，，，，，∴，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．17.計算：【答案】【解析】【分析】首先計算二次根式、負指數(shù)、零指數(shù)冪，絕對值，再進行加減運算求出算式的值即可．詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式、負指數(shù)、零指數(shù)冪、絕對值等知識，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18.深圳國際馬拉松賽事設有A“全程馬拉松”，B“半程馬拉松”，C“嘉年華馬拉松”三個項目，小智和小慧參加了該賽事的志愿者服務工作，組委會將志愿者隨機分配到三個項目組．（1）小智被分配到A“全程馬拉松”項目組的概率為．（2）用樹狀圖或列表法求小智和小慧被分到同一個項目組進行志愿服務的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，可得共有9種等可能性的情況，其中小智和小慧被分到同一個項目組進行志愿服務的情況有3種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：小智被分配到A“全程馬拉松”項目組的概率為，故答案為；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知共有9種等可能性的情況，其中小智和小慧被分到同一個項目組進行志愿服務的情況有3種，∴小智和小慧被分到同一個項目組進行志愿服務的概率為．【點睛】本題考查是列表法與樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，解題的關鍵是熟練掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19.如圖，在菱形ABCD中，E為對角線BD上一點，且AE＝DE，連接CE．（1）求證：CE＝DE．（2）當BE＝2，CE＝1時，求菱形的邊長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）證△ABE≌△CBE（SAS），即可得出結論；（2）連接AC交BD于H，先由菱形的性質可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的長，由勾股定理求出AH的長，再由勾股定理求出AB的長，即可得出結果．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）如圖，連接AC交BD于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的邊長為．【點睛】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定和勾股定理是解題的關鍵．20.如圖，已知Rt△ABO，點B在軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OA的中點C，交AB于點D.（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求△OCD的面積；（3）點P是軸上的一個動點，請直接寫出使△OCP為直角三角形的點P坐標.【答案】（1）；（2）面積為；（3）P（2，0）或（4，0）【解析】【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理和三角形中位線的性質求得C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）補形法，求出各點坐標，S△OCD=S△AOB-S△ACD-S△OBD；（3）分兩種情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，∴AB=OB=2，作CE⊥OB于E，

∵∠ABO=90°，

∴CE∥AB，

∴OC=AC，

∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，∴C（，1），∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C，∴1=，∴k=，∴反比例函數(shù)的關系式為；（2）∵OB=，∴D的橫坐標為，代入得，y=，∴D（，），∴BD=，∵AB=，∴AD=，∴S△OCD=S△AOB-S△ACD-S△OBD=OB?AB-AD?BE-BD?OB=（3）當∠OPC=90°時，點P的橫坐標與點C的橫坐標相等，C（2，2），

∴P（2，0）．

當∠OCP=90°時．

∵C（2，2），

∴∠COB=45°．

∴△OCP為等腰直角三角形．

∴P（4，0）．

綜上所述，點P的坐標為（2，0）或（4，0）．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合應用，列出關于k、n的方程組是解答問題（2）的關鍵，分類討論是解答問題（3）的關鍵．21.某商店準備銷售一種多功能旅行背包，計劃從廠家以每個30元的價格進貨，經(jīng)過市場發(fā)現(xiàn)當每個背包的售價為40元時，月均銷量為280個，售價每增長2元，月均銷量就相應減少20個．（1）若使這種背包的月均銷量不低于130個，每個背包售價應不高于多少元？（2）在（1）的條件下，當該種書包銷售單價為多少元時，銷售利潤是3120元？（3）這種書包銷售利潤有可能達到3700元嗎？若能，請求出此時的銷售單價；若不能，請說明理由．【答案】（1）每個背包售價應不高于55元（2）當該這種書包銷售單價為42元時，銷售利潤是3120元（3）這種書包的銷售利潤不能達到3700元【解析】【分析】（1）設每個背包的售價為元，根據(jù)題意，列出一元一次不等式進行求解即可；（2）利用總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出一元二次方程，進行求解即可；（3）利用總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出一元二次方程，進行求解即可；【小問1詳解】解：設每個背包的售價為元，則月均銷量為個，依題意，得：，解得：；∴每個背包售價應不高于55元；【小問2詳解】解：依題意，得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：當該種書包銷售單價為42元時，銷售利潤是3120元．【小問3詳解】依題意，得：，整理，得：．，該方程無解，這種書包的銷售利潤不能達到3700元．【點睛】本題考查一元一次不等式的應用和一元二次方程的應用。根據(jù)題意，正確的列出不等式和一元二次方程，是解題的關鍵.22.問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請直接寫出DE的長．【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE【解析】【分析】（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG，由旋轉的性質可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根據(jù)∠EAF=∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可證明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，進而可得EF=BE+FD；（2）將△ABE繞點A逆時針旋轉α得到△ADH，由旋轉的性質可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根據(jù)∠BAD＝α，∠EAFα可得∠BAE+∠FADα，進而可證明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可證明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）將△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△AE′B，連接DE′，由旋轉的性質可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根據(jù)