2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷2.1 整式 各課時(shí)精講精練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷2.1整式各課時(shí)精講精練(含答案)2.1整式第1課時(shí)單項(xiàng)式【要點(diǎn)歸納】1.由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.2.單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。3.一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).【題型歸類】類型一、單項(xiàng)式的概念在式子－x3y2，－1，，a，－x2－y，－（a2b－1），中單項(xiàng)式是____－x3y2，－1，a____.「分析」單項(xiàng)式是指數(shù)與字母或字母與字母的積的形式，式子中沒有加減運(yùn)算且分母不含字母.類型二、單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)例2.下列說法中正確的是（D）．A．單項(xiàng)式的系數(shù)是－2，次數(shù)是2B．單項(xiàng)式a的系數(shù)是0，次數(shù)也是0C．單項(xiàng)式的系數(shù)是1，次數(shù)是10D．單項(xiàng)式πr2h的系數(shù)是π，次數(shù)是3「分析」單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)是它的系數(shù)，包括前面的正負(fù)號(hào)；當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或－1時(shí)，“1”通常省略不寫；單項(xiàng)式次數(shù)只與字母指數(shù)有關(guān)；圓周率π是常數(shù)而不是字母.類型三、列代數(shù)式例3.用代數(shù)式表示：（1）a的2倍與b的一半之和的平方，減去a,b兩數(shù)平方和的2倍；（2）與x的積與3除y的商的和；（3）甲為x,乙為y，求甲、乙兩數(shù)積與乙數(shù)倒數(shù)的差.「分析」注意和、差、倍、和的平方、平方和這些關(guān)聯(lián)詞表達(dá)的意思.解：（1）(2)(3)xy－【易錯(cuò)點(diǎn)示】例4.單項(xiàng)式－πbc的系數(shù)是_______；次數(shù)是___.【錯(cuò)解】系數(shù)是—；次數(shù)是5.【錯(cuò)因分析】單項(xiàng)式的系數(shù)是單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，π不是一個(gè)字母，而是一個(gè)常數(shù).單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和【正解】單項(xiàng)式－πbc的系數(shù)是－π，次數(shù)是4.【分層作業(yè)】A組1．在式子20a，4t2，50，3.5x，vt＋1，－m中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是(C)．A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)2．單項(xiàng)式―xyz的系數(shù)、次數(shù)分別是（C）A．0，2B.0，4C.―1，5D.1，43．下列說法正確的是(B)．A.23x5的系數(shù)是1，次數(shù)是8 B.若x2＋mx是單項(xiàng)式，則m＝0C.若的次數(shù)是5，則m＝5 D.0不是單項(xiàng)式4．下列式子書寫規(guī)范的是(C)．A. B.a×b÷c C. D.cb×35．單項(xiàng)式(－1)mabm的(D)．A.系數(shù)是－1，次數(shù)是m B.系數(shù)是1，次數(shù)是m＋1C.系數(shù)是－1，次數(shù)是2m＋1 D.系數(shù)是(－1)m，次數(shù)是m＋16．單項(xiàng)式的系數(shù)是_______，次數(shù)是_6____．7．小明今年a歲，比小軍大2歲，小軍今年___(a－2)___歲．8.火車行駛的速度是220千米/時(shí)，t小時(shí)行駛的路程是_220t__千米.9．長為a，寬為b，高為c的長方體的表面積為_2(ab＋bc＋ca)__．10.每件a元的上衣,降價(jià)20%后的售價(jià)是___（1－20%）a___元.11．填寫下表：單項(xiàng)式6a2mn3－4a2b27πx4系數(shù)62－47π次數(shù)1443412．列式表示：(1)a的(2)x的一半與y的平方的差解：解：(3)比數(shù)x的3倍小2的數(shù)．解：3x－2(4)已知一個(gè)長方形的周長是40厘米，一邊長是a厘米，這個(gè)長方形的面積是多少平方厘米．解：a(20－a)平方厘米13．如果單項(xiàng)式3ab的次數(shù)與單項(xiàng)式xyz的次數(shù)相同，試求m的值。解：m=314．請(qǐng)寫出同時(shí)含有字母a、b、c，且系數(shù)為－1的所有五次單項(xiàng)式？解：－ab3c，－ab2c2，－abc3，－a2b2c，－a2bc2，－a3bc．B組15．如圖2－2，求圖中的陰影部分的面積．圖2－2解：第2課時(shí)多項(xiàng)式【要點(diǎn)歸納】1.幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。2.在多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。3.單項(xiàng)式、多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式?！绢}型歸類】類型一、整式、單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的識(shí)別例1.下列代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？ab+c,a+bx+c,0,x,,.「分析」單項(xiàng)式不含加減運(yùn)算，多項(xiàng)式必含加減運(yùn)算.多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都是整式，整式中的分母一定不含字母.解：單項(xiàng)式有：0,x.多項(xiàng)式有：ab+c,a+bx+c，.整式有：ab+c,a+bx+c,0,x,.類型二、多項(xiàng)式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)例2.指出下列多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式.（1）3xy－1;(2)2（－3x+1）;(3)4y－5x+2y+1;（4）「分析」多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù).一個(gè)多項(xiàng)式由幾個(gè)單項(xiàng)式組成，項(xiàng)數(shù)就是幾項(xiàng).解：（1）二次二項(xiàng)式；（2）二次三項(xiàng)式；（3）四次四項(xiàng)式；（4）一次二項(xiàng)式.類型三、列代數(shù)式探究規(guī)律⑴⑴1+8=?1+8+16=?⑵⑶1+8+16+24=?……A．B．C．D．「分析」先從已知的幾個(gè)特殊結(jié)果，歸納出一般結(jié)論.【易錯(cuò)點(diǎn)示】例4.多項(xiàng)式－3xy+－5x的項(xiàng)分別是－3xy,,－5x..【錯(cuò)解】3xy,,5x【錯(cuò)因分析】多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，特別注意當(dāng)項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)號(hào)時(shí)，一定不要漏掉該項(xiàng)的負(fù)號(hào).【分層作業(yè)】A組1．在y+1，+1，―xy，－1，―8z，0中，整式的個(gè)數(shù)是（C）A.6B.3C.4D.52．下列說法正確的是（C）A.8―是多項(xiàng)式B.―xyz是三次單項(xiàng)式，系數(shù)為0C.x―3xy+2xy―1是五次多項(xiàng)式D.是單項(xiàng)式3．如果一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是5，那么這個(gè)多項(xiàng)式的任何一項(xiàng)的次數(shù)（D）A．都小于5B.都等于5C.都不小于5D.都不大于54．式子m＋n2表示(A)．(A)m與n的平方的和 (B)m與n和的平方(C)m與n的平方 (D)m、n兩數(shù)的平方和5．一個(gè)三位數(shù)，其百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個(gè)位上的數(shù)字是c，則這個(gè)三位數(shù)是(C)．(A)abc (B)a＋b＋c(C)100a＋10b＋c (D)100c＋10b＋a（第6題）6．（D）．（第6題）A．3n－2 B．3n－1C．4n＋1 D．4n－37．在以下數(shù)學(xué)式子a2－3a＋2，xy2，，，中，單項(xiàng)式有＿3＿＿個(gè)，多項(xiàng)式有___2____個(gè)．8．2a4－a3b2－5ab3＋a2－1是_五__次_五__項(xiàng)式．它的最高次項(xiàng)是__－a3b2__,常數(shù)項(xiàng)是_－1__.把它按a的升冪排列是_－1－5ab3_＋a2_－a3b2_+2a4____．9．為鼓勵(lì)節(jié)約用電，某地對(duì)居民用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每戶每月用電如果不超過100度，那么每度電價(jià)按a元收費(fèi)；如果超過100度，那么超過部分每度電價(jià)按b元收費(fèi)。某戶居民在一個(gè)月內(nèi)用電160度，他這個(gè)月應(yīng)繳納電費(fèi)是（100a+60b）元.（用含a、b的代數(shù)式表示）10.如果多項(xiàng)式3x―（n―1）x+1是關(guān)于x的二次二項(xiàng)式，則m=___2__，n=__1__.11．下列多項(xiàng)式各有幾項(xiàng)，每項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)分別是什么？是幾次幾項(xiàng)式？（1）5―xy+xy解：共三項(xiàng)，系數(shù)分別為5，―1，1；次數(shù)分別是0，7，4；是七次三項(xiàng)式.（2）xy―7x+6y－.解：共四項(xiàng)，系數(shù)分別為，―7，6，―，次數(shù)分別為3，2，1，0；是三次四項(xiàng)式.12．已知多項(xiàng)式是六次四項(xiàng)式，單項(xiàng)式2x2ny5－m與該多項(xiàng)式的次數(shù)相同，求m、n的值．解：m=3,n=213．根據(jù)題意列出整式（1）鋼筆每支a元，圓珠筆每支b元，買2支圓珠筆，3支鋼筆共用多少元？用一張100面值的人民幣購買，應(yīng)找回多少元？解：(3a+2b)元，100―(3a+2b)元.（2）三個(gè)植樹隊(duì)，第一小隊(duì)種樹x棵，第二小隊(duì)種的樹比第一小隊(duì)種的樹的3倍多8棵，第三小隊(duì)種的樹比第一小隊(duì)的一半多6棵，三個(gè)隊(duì)一共種了多少棵？解：x+(3x+8)+(x+6)棵.B組14．按下面圖2－1所示的程序計(jì)算，若開始輸入的值為x＝3，則最后輸出的結(jié)果是多少？試寫出計(jì)算過程．圖2－1解：當(dāng)x＝3時(shí)，；當(dāng)x＝6時(shí)，；當(dāng)x＝21時(shí)，所以最后輸出的結(jié)果是231.2.1整式1．用字母表示數(shù)(1)用字母表示數(shù)的意義用字母表示數(shù)，字母和數(shù)一樣可以參與運(yùn)算，可以用式子把數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來．用字母表示數(shù)為敘述和研究問題帶來很大方便，用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一大進(jìn)步．①用字母表示數(shù)可以簡明地表達(dá)數(shù)學(xué)運(yùn)算律．用字母簡明地表示加法交換律、乘法交換律、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等．②用字母表示數(shù)可以簡明地表達(dá)公式、法則．用字母表示三角形面積公式、正方形、長方形、圓及梯形的周長、面積等公式，分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則等．③用字母表示數(shù)可以簡明地表達(dá)問題中的數(shù)量關(guān)系．例如，有兩個(gè)數(shù)，其中第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)小4.如果用字母a表示第一個(gè)數(shù)，則第二個(gè)數(shù)為a－4.④用字母表示數(shù)可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)一些數(shù)學(xué)概念．如用a與b表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，則a＋b＝0；若a＋b＝0，則a與b互為相反數(shù)．(2)用字母表示數(shù)應(yīng)注意的問題①字母的確定性：在同一個(gè)問題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量要用不同的字母來表示；如長方形的長和寬要分別用a，b兩個(gè)字母表示，面積用S表示，則有S＝ab.②字母的限制性：用字母表示實(shí)際問題的某一數(shù)量時(shí)，字母的取值須使實(shí)際問題有意義；并且符合實(shí)際．③字母具有一般性：用字母可以表示我們已經(jīng)學(xué)過的和今后要學(xué)的任何一個(gè)數(shù)．④字母的不確定性：同一個(gè)式子可以表示多種實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系．⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些問題的結(jié)果可能就是一個(gè)用字母表示的式子．(3)用字母表示數(shù)的書寫規(guī)定①含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號(hào)，通常將乘號(hào)寫成“·”或省略不寫．字母與字母相乘時(shí)“×”省略，按字母表順序書寫，如m×n寫成mn；相同字母寫成冪的形式，如a×a寫成a2，(a＋b)×(a＋b)寫成(a＋b)2.數(shù)字與字母相乘時(shí)省略“×”，但數(shù)字要寫在字母的前面，數(shù)字是帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)；如4×n寫成4n,1eq\f(1,2)×a要寫成eq\f(3,2)a.數(shù)字與數(shù)字相乘時(shí)乘號(hào)不能省略，也不能寫成“·”，仍用“×”．②含有字母的式子中如果出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫，即除號(hào)不用，改用分?jǐn)?shù)線．如s÷t寫成eq\f(s,t)，x÷2一般寫成eq\f(x,2)或eq\f(1,2)x.③式子后面有單位時(shí)，單位名稱寫在最后，若是和差形式的式子，要在單位前把式子括起來．如t℃升高2℃后是(t＋2)℃，不能寫成t＋2℃.【例1－1】列式子表示下列關(guān)系：①全校學(xué)生總數(shù)是x，其中女生占總數(shù)的48%，則女生人數(shù)是__________，男生人數(shù)是__________；②一輛長途汽車從楊柳村出發(fā)，3小時(shí)后到達(dá)相距s千米的溪河鎮(zhèn)，這輛長途汽車的平均速度是__________；③產(chǎn)量由m千克增長10%，就達(dá)到了__________千克；④若三角形一邊長為a，并且這邊上的高為h，則這個(gè)三角形的面積為__________；⑤有這樣一組數(shù)字：3,6,9,12，…，則第n個(gè)數(shù)可表示為__________．解析：列式子，可以將這個(gè)字母看作一個(gè)具體數(shù)，只不過它不具體．④三角形面積等于二分之一底乘以高；⑤關(guān)鍵在于找到序號(hào)1,2,3，…n與數(shù)字之間的關(guān)系，此題成3倍關(guān)系．答案：①48%x(1－48%)x②eq\f(s,3)千米/時(shí)③(1＋10%)m④eq\f(1,2)ah⑤3n【例1－2】式子2a＋b表示的實(shí)際意義是________________________________．解析：同一個(gè)式子在不同問題中意義不同，因此本題答案不唯一，只要將a，b賦予實(shí)際意義即可．答案：①工人甲每小時(shí)加工a個(gè)零件，工人乙每小時(shí)加工b個(gè)零件，甲加工兩小時(shí)，乙加工1小時(shí)共加工(2a＋b)個(gè)零件；②筆記本每本a元，鋼筆每支b元，兩本筆記本、一支鋼筆共(2a＋b)元；…….2．單項(xiàng)式(1)定義：數(shù)或字母的積構(gòu)成的式子，叫做單項(xiàng)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．(2)理解：除單獨(dú)的一個(gè)數(shù)以外，所有的單項(xiàng)式都可以分為兩部分，一部分是數(shù)字因數(shù)，另一部分是字母因數(shù)(可以含有乘方運(yùn)算)，如：n可以看作1×n，－eq\f(3ab,5)可以看作－eq\f(3,5)×ab等．解技巧判斷單項(xiàng)式判斷是否是單項(xiàng)式主要抓住兩點(diǎn)：①不能含有加減運(yùn)算；②單項(xiàng)式中可以含有分母，但分母中一定不含有字母．【例2】判斷下列各式哪些是單項(xiàng)式．(1)eq\f(x＋1,2)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y；(6)eq\f(2,5)x2y；(7)－5；(8)eq\f(1,x).分析：由單項(xiàng)式概念可知(2)～(7)都是，(1)字母x與1之間是和的運(yùn)算，(8)中字母在分母上．解：(2)(3)(4)(5)(6)(7)是單項(xiàng)式，(1)和(8)不是．3．單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)(1)系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．注意點(diǎn)：①當(dāng)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或－1時(shí)，“1”通常省略不寫；②圓周率π是常數(shù)；③當(dāng)單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須寫成假分?jǐn)?shù)；④單項(xiàng)式的系數(shù)應(yīng)包括它前面的符號(hào)．(2)次數(shù)：在一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．注意點(diǎn)：①單項(xiàng)式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)的和，且僅指字母的指數(shù)．注意：單項(xiàng)式52x3y2的次數(shù)是5次的，52是系數(shù)，52的指數(shù)2不是字母的指數(shù)，所以不算．②當(dāng)字母因數(shù)是單個(gè)的字母時(shí)，指數(shù)是1而不是0，切不可弄錯(cuò)．如5ab2中a的指數(shù)是1，單項(xiàng)式次數(shù)是3不是2.【例3】判斷下列各式是否是單項(xiàng)式，如果不是，請(qǐng)說明理由；如果是，請(qǐng)指出它的系數(shù)和次數(shù)．①x＋1；②eq\f(2,y)；③πr2；④－eq\f(3,2)a2b.分析：①②不是單項(xiàng)式，是和、商，不是數(shù)字與字母的積，③④是，其中π，－eq\f(3,2)是單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，是系數(shù)．解：①不是，因?yàn)樵街谐霈F(xiàn)了加法運(yùn)算；②不是，因?yàn)樵绞?與y的商；③是，它的系數(shù)是π，次數(shù)是2；④是，它的系數(shù)是－eq\f(3,2)，次數(shù)是3.4.多項(xiàng)式(1)定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．(2)多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；①名稱：一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如：多項(xiàng)式3n4－2n2＋1有3n4，－2n2，＋1三項(xiàng)，稱作三項(xiàng)式．②注意：多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都帶有符號(hào)，不論移動(dòng)還是將來運(yùn)算都要帶著符號(hào)；(3)次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是多項(xiàng)式的次數(shù)．①多項(xiàng)式的所有項(xiàng)中，哪項(xiàng)的次數(shù)最高，這項(xiàng)的次數(shù)就是(代表了)整個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．②要知道多項(xiàng)式的次數(shù)，前提是必須了解每一項(xiàng)的次數(shù)；當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式中的各項(xiàng)的次數(shù)都相同(不存在哪一項(xiàng)的次數(shù)最高)，或次數(shù)最高的項(xiàng)有多個(gè)時(shí)，任取某一項(xiàng)的次數(shù)作為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．如多項(xiàng)式a2＋2ab＋b2的次數(shù)是2.③在多項(xiàng)式中，一個(gè)項(xiàng)的次數(shù)是幾，就稱它為幾次項(xiàng)．如：多項(xiàng)式3n4－2n2＋1中3n4稱為四次項(xiàng)，－2n2稱為二次項(xiàng)，＋1為常數(shù)項(xiàng)．談重點(diǎn)多項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)①系數(shù)：多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式構(gòu)成的，因此對(duì)于多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，都有次數(shù)和系數(shù)(常數(shù)項(xiàng)除外)，但多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)概念；②次數(shù)：對(duì)于多項(xiàng)式，多項(xiàng)式中的項(xiàng)，單項(xiàng)式都有次數(shù)，它們之間既有區(qū)別也有聯(lián)系；③方法：合為多項(xiàng)式，分為單項(xiàng)式，判斷一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)的構(gòu)成，一般類比數(shù)的運(yùn)算：看作省略括號(hào)和加號(hào)的形式去判斷，只看作是性質(zhì)符號(hào)，不看作運(yùn)算符號(hào)．【例4－1】指出下列多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)：(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2.分析：注意兩點(diǎn)：①構(gòu)成多項(xiàng)式的每一個(gè)單項(xiàng)式就是多項(xiàng)式的項(xiàng)，注意要帶著符號(hào)；②次數(shù)最高那項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．解：(1)有3x，－1，＋3x2三項(xiàng)，其中＋3x2這項(xiàng)的次數(shù)是2次的，最高，所以這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是2.(2)有4x3，＋2x，－2y2三項(xiàng)，其中4x3的次數(shù)最高，是3次，所以這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是3.【例4－2】指出下列多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式，并分別指出其中的二次項(xiàng)．(1)x3－2x2＋5x－1；(2)x3－2x2y2＋3y2.分析：①多項(xiàng)式中由幾項(xiàng)構(gòu)成就稱為幾項(xiàng)式，次數(shù)是幾就是幾次式；二次項(xiàng)是指構(gòu)成多項(xiàng)式的項(xiàng)中，次數(shù)為2的單項(xiàng)式，并且有幾個(gè)寫幾個(gè)．解：(1)x3－2x2＋5x－1有x3，－2x2，＋5x，－1四項(xiàng)，且次數(shù)是3，所以是三次四項(xiàng)式；二次項(xiàng)是－2x2.(2)x3－2x2y2＋3y2是四次三項(xiàng)式；二次項(xiàng)是3y2.幾次幾項(xiàng)式中的數(shù)字要大寫，不能用阿拉伯?dāng)?shù)字哦！5．整式(1)定義：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式．(2)理解：①整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式兩類，類似于整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)一樣．②是整式不一定是單項(xiàng)式(多項(xiàng)式)，但是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式一定是整式．【例5】下列式子中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？x2＋5，－1，x2－3x＋2，π，eq\f(5,x)，x2＋eq\f(1,x＋1)，eq\f(xy,3).分析：根據(jù)概念：－1，π，eq\f(xy,3)是單項(xiàng)式，x2＋5，x2－3x＋2是多項(xiàng)式，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都是整式，因eq\f(5,x)，x2＋eq\f(1,x＋1)中含有數(shù)字(字母)除以字母，所以不是單項(xiàng)式也不是多項(xiàng)式，也就不是整式．解：單項(xiàng)式有：－1，π，eq\f(xy,3)；多項(xiàng)式有：x2＋5，x2－3x＋2；整式有：－1，π，eq\f(xy,3)，x2＋5，x2－3x＋2.6．單項(xiàng)式系數(shù)情況匯總單項(xiàng)式中的系數(shù)一般包括下面幾種情況：(1)省略系數(shù)情況：當(dāng)系數(shù)是1或－1時(shí)，省略了系數(shù)1或－1，但不能說沒系數(shù)．如：ab的系數(shù)是1，－ab的系數(shù)是－1.(2)分?jǐn)?shù)系數(shù)：當(dāng)寫作eq\f(7,3)xy3形式時(shí)，比較容易確定，當(dāng)寫作－eq\f(2xy,5)這種形式時(shí)，它的實(shí)質(zhì)是－eq\f(2,5)·xy，應(yīng)注意區(qū)別．(3)用科學(xué)記數(shù)法表示的系數(shù)：如：3×105a2b，它的系數(shù)是3×105，其中指數(shù)5不是單項(xiàng)式中的次數(shù)．(4)π作系數(shù)：因?yàn)棣惺且粋€(gè)常數(shù)，所以π是系數(shù)，不是字母；(5)整數(shù)或小數(shù)系數(shù)(或百分?jǐn)?shù))：一般較好辨認(rèn)，其中的數(shù)字部分就是系數(shù)．【例6－1】指出下列單項(xiàng)式的系數(shù)．(1)4x；(2)－eq\f(m2n,3)；(3)－3.2×103x2y；(4)－eq\f(5ab3,8)；(5)－4.3x2y；(6)－3a2bc；(7)xy2；(8)－20%a；(9)2×103a；(10)2πR2.解：系數(shù)分別是：(1)4；(2)－eq\f(1,3)；(3)－3.2×103；(4)－eq\f(5,8)；(5)－4.3；(6)－3；(7)1；(8)－20%；(9)2×103；(10)2π.【例6－2】下列說法正確的是()．A．5y＋1是單項(xiàng)式B．單項(xiàng)式eq\f(2ab,3)的系數(shù)是2C．單項(xiàng)式eq\f(2ab,3)的系數(shù)是eq\f(2,3)D．單項(xiàng)式4xy2是二次單項(xiàng)式答案：C【例6－3】寫出一個(gè)系數(shù)為eq\f(7,2)，關(guān)于x，y的四次單項(xiàng)式．解：答案不唯一，只要符合要求即可，如：eq\f(7,2)xy3，eq\f(7,2)x2y2，….7.多項(xiàng)式應(yīng)用方法歸類多項(xiàng)式的應(yīng)用和單項(xiàng)式的應(yīng)用一樣，重點(diǎn)在于概念的把握，它的應(yīng)用主要分為兩類，一是基礎(chǔ)應(yīng)用：考查多項(xiàng)式的識(shí)別，或在已知一個(gè)多項(xiàng)式的前提下，認(rèn)定多項(xiàng)式的次數(shù)、項(xiàng)、是幾次幾項(xiàng)式、認(rèn)定各項(xiàng)系數(shù)、次數(shù)等；二是變化應(yīng)用，根據(jù)要求寫出符合條件的多項(xiàng)式，或已知多項(xiàng)式具備某些特征，通過具備的特征，判斷多項(xiàng)式中未知數(shù)的系數(shù)，未知的指數(shù)應(yīng)具備的特點(diǎn)，從而通過列式求未知數(shù)的值，這些題目，一般具有靈活性特點(diǎn)，要綜合分析判斷，很多時(shí)候具有開放性．解技巧列多項(xiàng)式緊緊抓住定義和要求，寫出符合題意的式子，或根據(jù)題意列出關(guān)系式，從而判斷字母的取值情況．【例7－1】多項(xiàng)式－3xy＋5x3y－2x2y3＋5是__________次__________項(xiàng)式，最高次項(xiàng)的系數(shù)是__________，二次項(xiàng)是__________，常數(shù)項(xiàng)是__________．解析：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就代表了多項(xiàng)式的次數(shù)，有幾項(xiàng)就是幾項(xiàng)式，在所有項(xiàng)中次數(shù)最高的是5次，有4項(xiàng)，所以是五次四項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是－2x2y3，所以系數(shù)就是－2，次數(shù)是2的項(xiàng)是－3xy,5是常數(shù)項(xiàng)．答案：五四－2－3xy5【例7－2】寫出一個(gè)多項(xiàng)式，使它的項(xiàng)數(shù)是3，次數(shù)是4.分析：根據(jù)定義，寫出符合要求的式子，字母不限，也可以有兩個(gè)或三個(gè)4次項(xiàng)．解：答案不唯一，如：2x4－3x2＋1,3x2y2－4xy＋1，….【例7－3】已知n是自然數(shù)，多項(xiàng)式y(tǒng)n＋1＋3x3－2x是三次三項(xiàng)式，那么n可以是哪些數(shù)？分析：已知多項(xiàng)式是三次三項(xiàng)式，由題目可知，yn＋1項(xiàng)的次數(shù)不能超過3，即n＋1的值不能超過3，n又是自然數(shù)，所以n＝0或1或2.解：n可以是0,1,2.8．多項(xiàng)式的排列當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)較多時(shí)，為了容易識(shí)別，我們一般將多項(xiàng)式按某一字母的次數(shù)由高到低或由低到高進(jìn)行排列，由低到高排列叫做升冪排列，由高到低排列叫做降冪排列；(1)根據(jù)加法交換律交換項(xiàng)的位置，所以排列后的多項(xiàng)式的值不變，注意：在排列過程中交換加數(shù)(即項(xiàng))的位置時(shí)一定要連同項(xiàng)的符號(hào)一起交換；(2)不論升冪排列還是降冪排列都是按其中某一個(gè)字母的次數(shù)的高低排列，而不是按項(xiàng)的次數(shù)的高低，當(dāng)只有一個(gè)字母時(shí)，因字母的次數(shù)就是項(xiàng)的次數(shù)，所以按次數(shù)排列和按字母次數(shù)排列一樣．【例8－1】將下列各式按x的升冪排列．(1)x3＋4x－7－2x4；(2)6x4－2xy3＋3x3y－4x2y2＋5y4.分析：按x的升冪排列就是按x的次數(shù)從低到高排列，不用考慮y的次數(shù)，(2)題5y4項(xiàng)中不含x，所以這項(xiàng)中的x的次數(shù)最低．解：(1)－7＋4x＋x3－2x4；(2)5y4－2xy3－4x2y2＋3x3y＋6x4.【例8－2】將多項(xiàng)式－x3－xy2＋2yx2＋3y3按y的降冪排列正確的是()．A．－3y3－xy2＋2yx2＋x3B．－x3＋2yx2－xy2＋3y3C．3y3－xy2＋2yx2－x3D．3y3－x3－xy2＋2yx2解析：是按字母y的指數(shù)從高到低排列，并且在排列過程中一定要帶著項(xiàng)的符號(hào)移動(dòng)項(xiàng)的位置，A符號(hào)錯(cuò)，B按x的降冪排列，D順序錯(cuò)亂，只有C符合要求．答案：C9.順?biāo)⒛嫠旭倖栴}輪船在河流中行駛，由于水流本身的速度，實(shí)際速度要受到水流速度的影響，因此輪船在水流中的行駛就分三種情況：順?biāo)旭偂⒛嫠旭?、靜水行駛，因此速度也就有四種速度：靜水速度(v靜)、逆水速度(v逆)、順?biāo)俣?v順)，水流速度(v水)，并且四個(gè)速度之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系：①v順＝v靜＋v水；②v逆＝v靜－v水；③v水＝v順－v靜＝v靜－v逆＝eq\f(1,2)(v順－v逆)．【例9－1】飛機(jī)無風(fēng)時(shí)的飛行速度為a千米/時(shí)，風(fēng)速為20千米/時(shí)．(1)飛機(jī)順風(fēng)飛行的速度是__________千米/時(shí)；飛機(jī)逆風(fēng)飛行的速度是__________千米/時(shí)；(2)飛機(jī)順風(fēng)飛行4小時(shí)的行程是__________千米；飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)的行程是__________千米．答案：(1)(a＋20)(a－20)(2)4(a＋20)3(a－20)【例9－2】已知某輪船順?biāo)叫械乃俣仁?0千米/時(shí)，逆水航行的速度是36千米/時(shí)，你能求出水流速度嗎？若不能，請(qǐng)說明理由，若能，是多少？分析：由v水＝eq\f(1,2)(v順－v逆)可知，水流速度＝(順?biāo)俣龋嫠俣?÷2＝(40－36)÷2＝2(千米/時(shí))，所以能求出水流速度．解：能，水流速度＝(40－36)÷2＝2(千米/時(shí))．10.用單項(xiàng)式、多項(xiàng)式概念的判定作用求未知數(shù)的值數(shù)學(xué)中的概念是通過事物的特征下的定義，因此還具有判定特征的作用，即，在知道是某種事物的前提下，我們又可以知道這種事物必備的特點(diǎn)，因此在整式的應(yīng)用中，我們可以通過概念規(guī)定的條件，在知道是某種式子的前提下，推理認(rèn)識(shí)它所具備的性質(zhì)，從而通過列式，求出某些未知數(shù)的值．如：由單項(xiàng)式－2x4可知它的系數(shù)是－2，次數(shù)是4，反過來若知道－axm的系數(shù)是－2、次數(shù)是4，就可以知道－a＝－2，m＝4，從而求出a＝2，多項(xiàng)式的運(yùn)用也是如此．【例10－1】如果－5xym－1為4次單項(xiàng)式，則m＝__________.解析：因?yàn)椋?xym－1是4次單項(xiàng)式，所以x，y的指數(shù)和應(yīng)是4，x的指數(shù)是1，y的指數(shù)就是3，所以m－1＝3，所以m＝4.答案：4【例10－2】已知多項(xiàng)式5xmy2－(m－2)xy－3x，如果它的次數(shù)為4次，則m應(yīng)為多少？如果多項(xiàng)式只有兩項(xiàng)，則m為多少？分析：①次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)是多項(xiàng)式的次數(shù)，在已知的多項(xiàng)式中只有5xmy2次數(shù)能成為多項(xiàng)式的次數(shù)，所以m＋2應(yīng)該等于4，因此，m＝2時(shí)，多項(xiàng)式的次數(shù)就是4次；②如果多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，只有－(m－2)xy這項(xiàng)不存在才可以，所以這項(xiàng)的系數(shù)只能是0，即－(m－2)＝0，因此當(dāng)m＝2時(shí)，這項(xiàng)的系數(shù)是0，所以m＝2.解：如果多項(xiàng)式的次數(shù)為4次，則m應(yīng)是2；如果多項(xiàng)式只有兩項(xiàng)，則m也是2.2.1整式一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.單項(xiàng)式2xy2的系數(shù)是__________，次數(shù)是__________.2.多項(xiàng)式3x2y2－2x3－4y的項(xiàng)分別是__________，它們的次數(shù)分別是__________，所以這個(gè)多項(xiàng)式是__________次__________項(xiàng)式.3.一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)的系數(shù)是1，一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都是－1，則這個(gè)多項(xiàng)式是__________.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列式子中，哪些是整式？哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？xy+z2，0，.2.說出下列各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).(1)－;(2)－4ab;(3)πr3;(4)－23a3b5;(5)－x.3.已知(x－3)a|x|b3是關(guān)于a、b的6次單項(xiàng)式，試求x的值.4.已知多項(xiàng)式6m5n－8m2x+3n+3mn3－8，若這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)8次多項(xiàng)式，求x的值并寫出它的各項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù).三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.下列說法正確的是()A.x不是單項(xiàng)式B.是單項(xiàng)式C.0不是單項(xiàng)式D.1是單項(xiàng)式2.多項(xiàng)式2x|m|y2－3x2y－8是一個(gè)五次多項(xiàng)式，則m的值是()A.3B.±3C.5D.±53.火車站和機(jī)場都為旅客提供打包服務(wù)，如果長、寬、高分別為x、y、z的箱子按圖15－1－1的方式打包，則打包的長至少為()圖15－1－1A.4x+4y+10zB.x+2y+3zC.2x+4y+6zD.6x+8y+6z4.多項(xiàng)式x4y2－7xy+6x+3x5y3按x的降冪排列為；按x的升冪排列為________________.5.如果3m3n4－2m4n5+11m2n3+7是_________次_________項(xiàng)式，若按m的降冪排列應(yīng)為_________.6.如果(a－2)x2y|a|+1是關(guān)于x、y的五次單項(xiàng)式，那么a＝_________.7.多項(xiàng)式x5－5xmy+4y5是五次三項(xiàng)式，則自然數(shù)m可以取_______.8.把下列代數(shù)式分別填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：－x，a2－，，，－7，9，.單項(xiàng)式：{…}，多項(xiàng)式：{…}，整式：{…}.9.為了美化校園，學(xué)校修建了一塊綠地供同學(xué)們和老師休息，綠地是長為a米，寬為b米的一個(gè)長方形，且中央修建了一個(gè)直徑為d米的噴泉，則需要鋪設(shè)草地面積是多少平方米？10.觀察下列單項(xiàng)式：－x，2x2，－3x3，4x4，…，－19x19，20x20，…，你能寫出第n個(gè)單項(xiàng)式嗎？并寫出第2007個(gè)單項(xiàng)式.參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.單項(xiàng)式2xy2的系數(shù)是__________，次數(shù)是__________.答案：232.多項(xiàng)式3x2y2－2x3－4y的項(xiàng)分別是__________，它們的次數(shù)分別是__________，所以這個(gè)多項(xiàng)式是__________次__________項(xiàng)式.答案：3x2y2，－2x3，－4y4,3，1四三3.一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)的系數(shù)是1，一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都是－1，則這個(gè)多項(xiàng)式是__________.答案：x2－x－1二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列式子中，哪些是整式？哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？xy+z2，0，.思路分析：判定的依據(jù)是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的定義.由于的分母含有字母，所以它不是整式；由于x－也可以看作，所以它是一個(gè)多項(xiàng)式，而不是單項(xiàng)式；由于π是一個(gè)數(shù)，所以是單項(xiàng)式.解：整式有xy+z2，0，，；單項(xiàng)式有0，；多項(xiàng)式有xy+z2，.2.說出下列各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).(1)－;(2)－4ab;(3)πr3;(4)－23a3b5;(5)－x.思路分析：確定單項(xiàng)式的系數(shù)要注意符號(hào)，字母π也是系數(shù)，“1”通常省略不寫；確定次數(shù)時(shí)注意字母指數(shù)為“1”的情況，次數(shù)跟系數(shù)的指數(shù)無關(guān)，非零數(shù)的次數(shù)為0.解：(1)－的系數(shù)是－，次數(shù)是6.(2)－4ab的系數(shù)是－4，次數(shù)是2.(3)πr3的系數(shù)是π，次數(shù)是3.(4)－23a3b5的系數(shù)是－23，即－8，次數(shù)是8.(5)－x的系數(shù)是－1，次數(shù)是1.3.已知(x－3)a|x|b3是關(guān)于a、b的6次單項(xiàng)式，試求x的值.思路分析：本題考查的是單項(xiàng)式的概念，單項(xiàng)式的次數(shù)是項(xiàng)中各字母次數(shù)之和，由此可得到一個(gè)關(guān)于x的簡單方程，解出這個(gè)方程即可得到x的值，但要注意不能使系數(shù)為0，否則就不是關(guān)于a、b的6次單項(xiàng)式了.解：由題意，知|x|+3＝6，因此x＝±3，但因?yàn)閤－3≠0，即x≠3，所以x＝－3.4.已知多項(xiàng)式6m5n－8m2x+3n+3mn3－8，若這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)8次多項(xiàng)式，求x的值并寫出它的各項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù).思路分析：本題考查的是多項(xiàng)式的概念，多項(xiàng)式的次數(shù)是次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，因此對(duì)各項(xiàng)的次數(shù)分析可知，只有第二項(xiàng)才可能是8次式，由此可求出x.解：由(2x+3)+1＝8，知x＝2.它的項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù)、次數(shù)分別為：6m5n的系數(shù)是6，次數(shù)是6；－8m7n的系數(shù)是－8，次數(shù)是8；3mn3的系數(shù)是3，次數(shù)是4；－8是常數(shù)項(xiàng)，次數(shù)是0.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.下列說法正確的是()A.x不是單