2024-2025學年上海市寶山區(qū)高三上學期教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（附答案）

2024-2025學年上海市寶山區(qū)高三上學期教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3．在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分）．1.集合，則.2.函數(shù)的最小正周期為.3.設(shè)為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實數(shù).4.在的展開式中的系數(shù)為.5.已知為實數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，則.6.某運動員在某次男子米氣手槍射擊比賽中的得分數(shù)據(jù)（單位：環(huán)）為：，，，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.7.已知關(guān)于正整數(shù)的方程，則該方程的解為.8.若，且，則.9.過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為.延長切線交雙曲線的右支于點，為坐標原點，點為線段的中點，則.10.將棱長為的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為.某物流公司為了擴大業(yè)務(wù)量，計劃改造一間高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的倉庫.因倉庫的背面靠墻，無須建造費用，設(shè)倉庫前面墻體的長為米（）.現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊參加競標，甲隊的報價方案為：倉庫前面新建墻體每平方米元，左右兩面新建墻體每平方米元，屋頂和地面以及其他共計元；乙隊給出的整體報價為元（）.不考慮其他因素，若乙隊要確保競標成功，則實數(shù)的取值范圍是.12.已知平面向量滿足：，，且對任意的單位向量滿足，則的最大值為.（用含的式子表示）二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分，每題都給出四個結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得相應(yīng)滿分，否則一律得零分）.13．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件14.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)且存在零點的是（）A． B． C． D．15.如圖，正四棱柱的底面邊長為，為上任意一點，為中點，若棱上至少存在一點使得，則棱長的最大值為（）A. B． C． D．16．設(shè)的三邊長分別為，面積為．若，其中，，，，則（）A.為嚴格減數(shù)列B.為嚴格增數(shù)列C.為嚴格增數(shù)列，為嚴格減數(shù)列D.為嚴格減數(shù)列，為嚴格增數(shù)列解答題（本大題共有5題，滿分78分，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟）．17.（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，，且該四棱錐的體積為.證明：平面；求異面直線和所成角的余弦值.18．（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）在中，已知.若且，求的面積；若求的取值范圍.19.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）甲乙兩人輪流擲質(zhì)地均勻的骰子，每人每次擲兩顆．甲擲一次，求兩顆骰子點數(shù)不同的概率；甲乙各擲一次，求甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大的概率；若第一次擲出點數(shù)之和大于的人為勝者，同時比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到比賽結(jié)束.例如，甲乙先后輪流擲出的點數(shù)之和為：、、、，此時乙為勝者.設(shè)甲先投擲，求甲最終獲勝的概率.20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分）已知橢圓:，直線經(jīng)過橢圓的右頂點且與橢圓交于另一點，設(shè)線段的中點為.求橢圓的焦距和離心率；若，求直線的方程；過點再作一條直線與橢圓交于點，線段的中點為.若，則直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，求出定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.已知都是定義在實數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù).對于正整數(shù)，當分別是和的駐點時，記，若，則稱和滿足性質(zhì)；當，且時，記，若，則稱和滿足性質(zhì).(1)若，，判斷和是否滿足性質(zhì)，并說明理由；(2)若，，且和滿足性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；(3)若的最小正周期為4，且，.當時，的駐點與其兩側(cè)區(qū)間的部分數(shù)據(jù)如下表所示：1300極小值極大值1極小值已知和滿足性質(zhì)，請寫出的充要條件，并說明理由.答案1.2.3.4.5.6.7.或8.9.10.11.12.二、（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）14.15.16.17.（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）（1）證明：設(shè)該四棱錐的高為，則體積......1分從而...............................................................2分等腰中，設(shè)邊的中點為，易知在中，,所以......................................................4分所以該四棱錐的高為即為.........................................5分即，又所以面..................................................7分因為，所以即為異面直線和所成的角或其補角；.......................9分由（1）知平面，且矩形中，，所以，從而..............10分中，，所以...............................11分同理可得.......................................................12分中，由余弦定理可得..............13分所以異面直線和所成角的余弦值為...........................14分另解：（空間向量法）以的中點為為原點，、為軸建立空間坐標系，則所以........................................9分......13分（公式2分，數(shù)值2分）所以異面直線和所成角d余弦值為.............................14分18.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）解：(1)由正弦定理得，又，從而.......................2分由得，........................4分從而.................................................................5分所以的面積......................8分(公式2分，結(jié)果1分）（2）................................9分由平均值不等式，當且僅當時取等號.................11分從而，所以..............................................12分又因為中，，從而.......................................13分所以的范圍是........................................................14分19.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）解：（1）甲擲一次，兩顆骰子點數(shù)相等的概率為.....................2分所以兩顆骰子點數(shù)不同的概率為；..................................4分（2）解：甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大點的情形如下表：甲的點數(shù)乙的點數(shù)甲的點數(shù)和乙的點數(shù)和、、、92、、、103、、、114、、、125.......8分所以；..................................10分另解：設(shè)擲一次兩顆骰子的點數(shù)和為，則則.................................................8分所以甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大7點的概率為...............................10分（3）由（2）可知擲兩顆骰子點數(shù)和大于的概率為..........................12分若甲第一輪獲勝，概率為若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的點數(shù)和都不大于，概率為；若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的點數(shù)和都不大于，概率為......由以上可得，若甲第輪獲勝，即前輪投擲后兩人的點數(shù)和都不大于，概率為..................................14分于是，組成一個以為首項，為公比的無窮等比數(shù)列.所以甲最終獲勝的總概率為...........16分（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分）解：（1）由得........................2分所以焦距，.............................................3分離心率...............................................4分，設(shè)直線的方程與橢圓:聯(lián)立得...........................5分因為點與點不重合，所以可得點......................6分于是由得...........................................7分直線的方程............................................8分①當直線斜率存在時，設(shè)方程為：，與橢圓:聯(lián)立得：...........................................9分設(shè)由韋達定理得............................................10分且，化簡得又，從而由可得，從而將代換，整理得：韋達定理代入化簡得.，所以.............................12分當時，直線經(jīng)過點，舍；................................13分當時，此時成立，直線經(jīng)過定點......14分②當直線斜率不存在時，設(shè)，則代入得與聯(lián)立得解得此時直線也經(jīng)過點.........................................16分綜上，直線經(jīng)過定點.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.解：（1）.......................2分所以和是滿足性質(zhì)........................................4分（2）由可知，駐點...................................5分又當時，不存在駐點；當時，的駐點..........................................7分由題意可知，................................................8分解得.................................................10分（3）的充要條件是......................................11分首先證明必要性：當時，由題意可知不是常函數(shù)，所以因為和滿足性質(zhì)，所以，所以，又是正整數(shù)，故...........................................12分其次證明充分性：由題意可知，，，且當()時，可知.否則，若存在，有因為，所以與已知矛盾.同理，....................................................14分故所以，即同理，，得所以.......................................................16分②當()時，任意，有，又由①可知，若存在有，則，所以由已知，其中于是有，矛盾，所以所以，得因為，所以，從而，即.③當()時，任意，有，同理可得所以，得因為，所以，從而，即.綜上，.....................................................18