2024-2025學(xué)年四川省攀枝花市高三上學(xué)期第四次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省攀枝花市高三上學(xué)期第四次診斷性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．36 B．48 C．52 D．663．已知向量，，若，（

）A．2B． C．1 D．04．已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C．(?1,0)∪(1,+∞) D．5.2024年10月1日是我國(guó)國(guó)慶75周年，全國(guó)人民以各種各樣的形式共同慶祝。我校以文藝演出的形式慶祝，原本準(zhǔn)備了4個(gè)舞蹈，2個(gè)獨(dú)唱，2個(gè)朗誦節(jié)目（順序已定），現(xiàn)節(jié)目組臨時(shí)決定加入一個(gè)學(xué)生紅歌合唱與一個(gè)教師紅歌合唱，則節(jié)目的不同排發(fā)一共有（

）種72B.36C.45D.90函數(shù)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（） 2B.3C.1D.07.已知非零實(shí)數(shù)，集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集。命題P；，命題q:A=B,則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（）A．2B．1 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿(mǎn)分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知、是夾角為的單位向量，已知，．下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C． D．在方向上的投影數(shù)量為10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為2B．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)分別相切于點(diǎn)，與直線(xiàn)分別相切于點(diǎn)，且相交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。設(shè)，集合，則13.已知函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.14.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為解答題:本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）。15.（13分）在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若三角形ABC為銳角三角形，求的取值范圍.16.（15分）設(shè)函數(shù)(1)分析的單調(diào)性和極值；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；17.(15分）我國(guó)自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研發(fā)，不斷地對(duì)該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平，并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專(zhuān)利；(1)在研發(fā)過(guò)程中，對(duì)研發(fā)時(shí)間上x(chóng)(月)和該產(chǎn)品的厚度y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中1～7月的數(shù)據(jù)資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類(lèi)型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計(jì)該產(chǎn)品的最小厚度約為多少？(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線(xiàn)，迫于競(jìng)爭(zhēng)壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線(xiàn).現(xiàn)有以下兩種售賣(mài)方案可供選擇：方案一：直接售賣(mài)，則每條生產(chǎn)線(xiàn)可賣(mài)6萬(wàn)元；方案二：先花22萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)技術(shù)專(zhuān)利并對(duì)老舊生產(chǎn)線(xiàn)進(jìn)行改造，使其達(dá)到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣(mài).已知在改造過(guò)程中，每條生產(chǎn)線(xiàn)改造成功的概率均為，且相互獨(dú)立.若改造成功，則每條生產(chǎn)線(xiàn)可賣(mài)20萬(wàn)元；若改造失敗，則賣(mài)價(jià)為0萬(wàn)元.①設(shè)3條老舊生產(chǎn)線(xiàn)中改造成功的生產(chǎn)線(xiàn)條數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②請(qǐng)判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣(mài)方案可能更為有利？并說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，.；參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線(xiàn)的斜率和縱截距的最小二乘法估計(jì)的計(jì)算公式為，．18.（17分）已知正項(xiàng)數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．19.（17分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求異面直線(xiàn)和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2024-2025學(xué)年四川省攀枝花市高三上學(xué)期第四次診斷性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上?；卮疬x擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算【分析】先將化簡(jiǎn)，最后寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由，得，則z的共軛復(fù)數(shù)是．m故選：C2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．36 B．48 C．52 D．66【正確答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由，得，得.故選：D3．已知向量，，若，（

）A．2B． C．1 D．0答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、由向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齊次化法將所求式子化成含有的式子即可運(yùn)算求解.【詳解】由于，.故C.4．已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C．(?1,0)∪(1,+∞) D．【正確答案】A【詳解】當(dāng)a>0時(shí)，-a<0,于是0<a<1,當(dāng)a<0時(shí)，-a>0,于是-1<a<0.故選A5.2024年10月1日是我國(guó)國(guó)慶75周年，全國(guó)人民以各種各樣的形式共同慶祝。我校以文藝演出的形式慶祝，原本準(zhǔn)備了4個(gè)舞蹈，2個(gè)獨(dú)唱，2個(gè)朗誦節(jié)目（順序已定），現(xiàn)節(jié)目組臨時(shí)決定加入一個(gè)學(xué)生紅歌合唱與一個(gè)教師紅歌合唱，則節(jié)目的不同排發(fā)一共有（

）種72B.36C.45D.90答案：D函數(shù)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（） 2B.3C.1D.0答案：A7.已知非零實(shí)數(shù)，集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集。命題P；，命題q:A=B,則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：D8.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（）A．2B．1 C． D．答案：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿(mǎn)分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知、是夾角為的單位向量，已知，．下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C． D．在方向上的投影數(shù)量為【正確答案】AD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、向量夾角的計(jì)算、求投影向量【分析】根據(jù)向量的模計(jì)算公式求，判斷選項(xiàng)A；利用數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷選項(xiàng)B；求出，求解，判斷選項(xiàng)C；根據(jù)投影數(shù)量計(jì)算公式，判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，，是夾角為的單位向量，則，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A得，，所以，又，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影數(shù)量為，D正確．故選：AD．10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為2B．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】BC【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、三角函數(shù)綜合【分析】先將化簡(jiǎn)為，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，故最小正周期為，A錯(cuò)誤；，點(diǎn)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B正確；向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，C正確；，單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：BC.11已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)分別相切于點(diǎn)，與直線(xiàn)分別相切于點(diǎn)，且相交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【正確答案】ACD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，對(duì)其整理即可判斷AB；對(duì)于C：可知fx,gx的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得，利用基本不等式分析判斷；對(duì)于D：整理可得，且，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可判斷.【詳解】設(shè)，則，可知，即，對(duì)于選項(xiàng)A：由，整理得，若，則，不滿(mǎn)足，不合題意，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：把，代入，即，整理得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，且fx,gx的圖象關(guān)于直線(xiàn)所以點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，可得，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)就是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，可得，即，可得，因?yàn)?，且，則，由整理可得，令，可知為Fx在1,+∞內(nèi)的零點(diǎn)，且，因?yàn)?，則，可得，可知Fx在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且可知Fx在1,+∞內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且，設(shè)，則，可知?x在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D正確.故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析可知：點(diǎn)就是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，進(jìn)而可得，放縮證明即可判斷D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。設(shè)，集合，則【正確答案】0【分析】根據(jù)可知，故.【詳解】由可知，又，故.故013.已知函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.答案：14.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【分析】利用在R上單調(diào)遞增，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值得的取值范圍，再得的最小值.【詳解】令，易知在R上單調(diào)遞增，由得，即，所以，即，令，則，易得，，，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，.解答題:本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）。15.（13分）在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若三角形ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【正確答案】(1)；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求正切（型）函數(shù)的值域及最值、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】由正弦定理可得，再由銳角三角形可得的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】（1）（2）由正弦定理知：，為銳角三角形，則，得，則，所以.16.（15分）設(shè)函數(shù)(1)分析的單調(diào)性和極值；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；【正確答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.(2)【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后注意到，進(jìn)而得到，，再驗(yàn)證充分性；【詳解】（1）函數(shù)，則，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因此：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為，無(wú)極大值.（2）對(duì)任意的，都有成立，即對(duì)任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在時(shí)單調(diào)遞增，故；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；17.(15分）我國(guó)自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研發(fā)，不斷地對(duì)該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平，并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專(zhuān)利；(1)在研發(fā)過(guò)程中，對(duì)研發(fā)時(shí)間上x(chóng)(月)和該產(chǎn)品的厚度y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中1～7月的數(shù)據(jù)資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類(lèi)型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計(jì)該產(chǎn)品的最小厚度約為多少？(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線(xiàn)，迫于競(jìng)爭(zhēng)壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線(xiàn).現(xiàn)有以下兩種售賣(mài)方案可供選擇：方案一：直接售賣(mài)，則每條生產(chǎn)線(xiàn)可賣(mài)6萬(wàn)元；方案二：先花22萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)技術(shù)專(zhuān)利并對(duì)老舊生產(chǎn)線(xiàn)進(jìn)行改造，使其達(dá)到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣(mài).已知在改造過(guò)程中，每條生產(chǎn)線(xiàn)改造成功的概率均為，且相互獨(dú)立.若改造成功，則每條生產(chǎn)線(xiàn)可賣(mài)20萬(wàn)元；若改造失敗，則賣(mài)價(jià)為0萬(wàn)元.①設(shè)3條老舊生產(chǎn)線(xiàn)中改造成功的生產(chǎn)線(xiàn)條數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②請(qǐng)判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣(mài)方案可能更為有利？并說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，.；參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線(xiàn)的斜率和縱截距的最小二乘法估計(jì)的計(jì)算公式為，．【正確答案】(1)，13nm(2)①分布列見(jiàn)解析，；②方案二，理由見(jiàn)解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求回歸直線(xiàn)方程、寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列、求離散型隨機(jī)變量的均值、根據(jù)回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)【分析】（1）設(shè)，則，利用回歸直線(xiàn)公式可得，則關(guān)于的回歸方程為，可以估計(jì)該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm；（2）①由已知，可得，分別求出X取值時(shí)的概率，即可列出分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望；②分別計(jì)算兩種方案的收益，比較即得.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為，所以可以估計(jì)該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm．（2）X的取值為，因?yàn)槊織l生產(chǎn)線(xiàn)改造成功的概率均為，且相互獨(dú)立，所以，所以；；；；所以的分布列為0123所以．②當(dāng)實(shí)施方案一時(shí)，設(shè)3條生產(chǎn)線(xiàn)的賣(mài)價(jià)為萬(wàn)元，則；當(dāng)實(shí)施方案二時(shí)，設(shè)3條生產(chǎn)線(xiàn)的賣(mài)價(jià)為萬(wàn)元，則，所以的數(shù)學(xué)期望．因?yàn)?，所以該企業(yè)應(yīng)選擇方案二售賣(mài)可能更為有利．18.（17分）已知正項(xiàng)數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）由，求出，再利用與的關(guān)系即可求解數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，再比較與的大小關(guān)系即可證明.【詳解】（1）由，則在正項(xiàng)數(shù)列an中，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，符合要求，故．（2）由（1）可得，則.19.（17分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平