2025屆上海市東昌中學高考壓軸卷數學試卷含解析

2025屆上海市東昌中學高考壓軸卷數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．2．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．3．已知數列是公比為的等比數列，且，，成等差數列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或4．已知函數的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．5．設復數滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．7．公比為2的等比數列中存在兩項，，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．8．我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，用現代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．9．函數的大致圖象是（）A． B．C． D．10．在我國傳統文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.811．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．12．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足：，，若對任意的正整數均有，則實數的最大值是_____.14．從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_______．15．定義在R上的函數滿足：①對任意的，都有；②當時，，則函數的解析式可以是______________.16．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數為______.（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，，（單位：百米）.（1）分別求，關于x的函數關系式；（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.（1）證明：：（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.19．（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數據如表所示:試銷價格(元)產品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系，現有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.（1）試判斷誰的計算結果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與檢測數據的誤差不超過，則稱該檢測數據是“理想數據”，現從檢測數據中隨機抽取個，求“理想數據”的個數為的概率.20．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.22．（10分）某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數.該單位調查了這三種型號的設備各60臺，調査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數，并得到統計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數678型號A30300頻數型號B203010型號C04515將調查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．2、C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.3、D【解析】

由成等差數列得，利用等比數列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點睛】本題考查等差等比數列的綜合，利用等差數列的性質建立方程求q是解題的關鍵，對于等比數列的通項公式也要熟練．4、D【解析】

根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點；利用導數研究的單調性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數形結合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調遞減；在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設，，則，解得：設，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數確定參數范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數形結合的方式來進行求解.5、B【解析】

利用復數的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復數的四則運算，需掌握復數的運算法則，屬于基礎題.6、D【解析】

根據三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現.7、D【解析】

根據已知條件和等比數列的通項公式，求出關系，即可求解.【詳解】，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數列通項公式，注意為正整數，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.8、A【解析】

根據，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當時，，，所以，故可排除B，C；當時，，故可排除D．故選：A．【點睛】本題考查了函數圖象，屬基礎題．10、B【解析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.11、B【解析】

直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標，利用求得參數m，再用計算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量數量積的應用，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想.12、A【解析】

根據三角函數的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據三角函數的定義，可得，則，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據三角函數的定義和正弦的倍角公式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據遞推公式可考慮分析,再累加求出關于關于參數的關系,根據表達式的取值分析出,再用數學歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當時,,不滿足對任意的正整數均有.所以.當時,證明：對任意的正整數都有.當時,成立.假設當時結論成立,即,則,即結論對也成立.由數學歸納法可知,對任意的正整數都有.綜上可知,所求實數的最大值是2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了根據數列的遞推公式求解參數最值的問題,需要根據遞推公式累加求解,同時注意結合參數的范圍問題進行分析.屬于難題.14、【解析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數，再求出滿足的事件數，根據古典概型公式求出結果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數為9個，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個，故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數.15、（或，答案不唯一）【解析】

由可得是奇函數，再由時，可得到滿足條件的奇函數非常多，屬于開放性試題.【詳解】在中，令，得；令，則，故是奇函數，由時，，知或等，答案不唯一.故答案為：（或，答案不唯一）.【點睛】本題考查抽象函數的性質，涉及到由表達式確定函數奇偶性，是一道開放性的題，難度不大.16、1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設甲參加，乙不參加，②設乙參加，甲不參加，③設甲，乙都不參加，可得不同的選法種數為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，②設乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，③設甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為5，綜合①②③得：不同的選法種數為9+9+5＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準確分類及計算是關鍵，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.，.（2）當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關于x的函數關系式；在和中，利用余弦定理，可得關于x的函數關系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計算即得.【詳解】解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道長度關于x的函數關系式為，.在和中，由余弦定理，得①②因為M為的中點，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道長度關于x的函數關系式為，.法2：因為在中，，所以.所以，直道長度關于x的函數關系式為，.在中，因為M為的中點，所以.所以.所以，直道長度關于x的函數關系式為，.（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為（當且僅當即時取“”）.故當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關系進行求解，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）根據題意以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并表示出，由空間向量數量積運算即可證明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；（3）由點在棱上，設，再由，結合，由空間向量垂直的坐標關系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值，再根據二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵底面，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，，點為棱的中點．∴，，，，，，.（2）,設平面的法向量為.則，代入可得，令解得，即，設直線與平面所成角為，由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.（3），由點在棱上，設，故，由，得，解得，即，設平面的法向量為，由，得，令，則取平面的法向量，則二面角的平面角滿足，由圖可知，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了空間向量的綜合應用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計算量較大，屬于中檔題.19、（1）乙同學正確；（2）.【解析】

（1）根據變量且有線性負相關關系判斷甲不正確.根據回歸直線方程過樣本中心點，判斷出乙正確.（2）由線性回歸方程得到的估計數據，計算出誤差，求得“理想數據”的個數，由此利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.【詳解】（1）已知變量具有線性負相關關系，故甲不正確，，代入兩個回歸方程，驗證乙同學正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數據如下表：021212由上表可知，“理想數據”的個數為.用列舉法可知，從個不同數據里抽出個不同數據的方法有種.從符合條件的個不同數據中抽出個，還要在不符合條件的個不同數據中抽出個的方法有種.故所求概率為【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的判斷，考查古典概型概率計算，考查數據處理能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接交于點，連接，由于平面，得出，根據線線位置關系得出，利用線面垂直的判定和性質得出，結合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面平面；（Ⅱ）根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和平面的法向量，利用空間向量線面角公式，即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解：（Ⅰ）證明：連接交于點，連接，則平面平面，平面，，為的中點，為的中點，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，設則，，，，，設平面的法向量為，則，取得，設直線與平面所成角為，直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據已知證明四邊形為矩形，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點