江蘇省南通市如東縣2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇省南通市如東縣2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則=（）A． B．C． D．3．若sin(α+3π2A．-12 B．-134．已知△ABC中，．點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B． C． D．5．已知直線(xiàn)：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線(xiàn)：①，②，③，④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④6．的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．407．若圓錐軸截面面積為，母線(xiàn)與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-29．直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)（）與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，若△是等邊三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率（）A． B． C． D．10．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．12．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滿(mǎn)足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是.14．已知關(guān)于空間兩條不同直線(xiàn)m、n，兩個(gè)不同平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.15．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_________．16．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年，是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際，學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率；（2）若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題，用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值.20．（12分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．21．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．22．（10分）某職稱(chēng)晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專(zhuān)業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失?。畷x級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)（1）求圖中的值；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點(diǎn)為與，，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、D【解析】

求出圓心到直線(xiàn)的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線(xiàn)的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離可知，①②④滿(mǎn)足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.6、A【解析】

化簡(jiǎn)得到，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計(jì)算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.8、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類(lèi)問(wèn)題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來(lái)求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.9、D【解析】

根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)得到坐標(biāo)為，再將點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形，設(shè)直線(xiàn)OA為，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)得到故答案為：D.【點(diǎn)睛】求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).10、B【解析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】，∴，選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

可行域是如圖的菱形ABCD，代入計(jì)算，知為最小.14、③④【解析】

由直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線(xiàn)面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；②若且，則或者，②錯(cuò)；③若，設(shè)過(guò)的平面與交于直線(xiàn)，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線(xiàn)面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線(xiàn)面垂直的定義，考查空間線(xiàn)面間的位置關(guān)系，掌握空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)．15、【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式，再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.16、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【詳解】由，得，．且，則，即．?dāng)?shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為．【解析】

（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件：一個(gè)抽到2道B類(lèi)題，一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題，計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件，則抽到2道類(lèi)題有種取法，抽到3道類(lèi)題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式．18、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）在不等式兩邊平方化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結(jié)果；（2）利用絕對(duì)值三角不等式可證得成立.【詳解】（1），，由得，不等式兩邊平方得，即，解得或.因此，不等式的解集為；（2），，由絕對(duì)值三角不等式可得.因此，.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）證明后可得平面，從而得，結(jié)合已知得線(xiàn)面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又，，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面.（2）由已知及（1）可知，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，令，則；設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以.故銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線(xiàn)面垂直，解題時(shí)注意線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的相互轉(zhuǎn)化．考查求二面角，求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法易得結(jié)論．20、（Ⅰ）極小值，極大值；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得.再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，即得極值，（Ⅱ）先分離變量，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿(mǎn)足條件的的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)，得，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立，所以.此時(shí)，則.由，解得.當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以有極小值，有極大值.（Ⅱ）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線(xiàn)與曲線(xiàn)，有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得.由，解得，.當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，，，所以?dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)，有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.21、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明，即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接．是的中點(diǎn)，，又，四邊形是平行四邊形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平