江蘇省南通市海安中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

江蘇省南通市海安中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．2．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．4．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－5．已知方程表示的曲線為的圖象，對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則由方程所確定；則正確命題序號(hào)為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④6．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．8．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．（）A． B． C． D．10．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．12．中國(guó)古典樂器一般按“八音”分類．這是我國(guó)最早按樂器的制造材料來對(duì)樂器進(jìn)行分類的方法，最先見于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器．現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)__________．14．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為__________．15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過作直線與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．16．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項(xiàng)和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實(shí)數(shù)滿足.證明：.18．（12分）已知函數(shù)（1）若，求證：（2）若，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．20．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），設(shè)，求的取值范圍．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）把曲線向下平移個(gè)單位，然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標(biāo)不變），設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.22．（10分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，，，由，得．如圖：設(shè)三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．2、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.3、D【解析】

對(duì)于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.4、C【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對(duì)稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

分四類情況進(jìn)行討論，然后畫出相對(duì)應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在圖象；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分；（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分；（4）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的一部分；畫出的圖象，由圖象可得：對(duì)于①，在上單調(diào)遞減，所以①正確；對(duì)于②，函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，即沒有零點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知③錯(cuò)誤；對(duì)于④，函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.6、B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，在上單調(diào)遞減，，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，在上單調(diào)遞增，，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.9、D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11、D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理，得到，而結(jié)合，可得，，代入上式子中，得到，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選D．【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難．12、B【解析】

分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由于直線過拋物線的焦點(diǎn)，因此過，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得，從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率．注意對(duì)稱性，問題應(yīng)該有兩解．【詳解】直線過拋物線的焦點(diǎn)，，過，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義知，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，從而．設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，，同理，則，解得，，由對(duì)稱性還有滿足題意．，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵．14、【解析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當(dāng)平行線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取到最小值，由可得，此時(shí)，所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識(shí)，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解題方法.15、【解析】

作出準(zhǔn)線，過作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線的斜率．【詳解】設(shè)是準(zhǔn)線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，用平面幾何方法求解．16、0【解析】

利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因?yàn)椋?，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，利用零點(diǎn)分段法解不等式，或作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；（2）由（1）作出的函數(shù)圖像求出的最小值為，可知，代入中，然后給等式兩邊同乘以，再將寫成后，化簡(jiǎn)變形，再用均值不等式可證明.【詳解】（1）解法一：1°時(shí)，，即，解得；2°時(shí)，，即，解得；3°時(shí)，，即，解得.綜上可得，不等式的解集為或.解法二：由作出圖象如下：由圖象可得不等式的解集為或.（2）由所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，正實(shí)數(shù)滿足，則，即，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）故，得證.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求x＜0時(shí)，f（x）的極大值為，即證（2）等價(jià)于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數(shù)g(x)的最小值得解.【詳解】（1）∵函數(shù)f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）內(nèi)遞增，在（﹣，0）內(nèi)遞減，在（0，+∞）內(nèi)遞增，∴f（x）的極大值為，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，則g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且x→0+時(shí)，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h(yuǎn)（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，0]．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用證明不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）a＝1；（2）見解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類討論去掉絕對(duì)值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．【詳解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），當(dāng)x≥a時(shí)，x﹣a≥4x，解得x，這與x≥a＞0矛盾，故不成立，當(dāng)x＜a時(shí)，a﹣x≥4x，解得x，又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝1．（2）證明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，∴|a|＝a22，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)，故f（x）．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，基本不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可；（2）在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:（1）在中,,所以,所以（2）由（1）可知,所以,在中,因?yàn)?所以