河北省雞澤縣第一中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

河北省雞澤縣第一中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．2．若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程可以為()A． B． C． D．3．過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程是（）．A． B． C． D．4．已知函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．5．已知集合,，則A． B．C． D．6．在直角中，，，，若，則（）A． B． C． D．7．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．8．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．310．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A．-40 B．-20 C．20 D．4011．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)12．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于____________．15．記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，若，則的取值范圍是.16．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為，求的面積．18．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．求的值；設(shè)的平分線與邊交于點(diǎn)，已知，，求的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若上存在兩動(dòng)點(diǎn)（A，B在軸異側(cè)）滿足，且的周長(zhǎng)為，求的值.20．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）若對(duì)于恒成立，求的最大值．21．（12分）己知等差數(shù)列的公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求使不等式成立的最大自然數(shù)n；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以的周期?，故，故的虛部為2，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由點(diǎn)求得的值，化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.3、A【解析】過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為，故選．4、C【解析】

由題意可知，代入函數(shù)表達(dá)式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

因?yàn)?,所以,,故選D．6、C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值．【詳解】在直角中，，，，，

，

若，則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．7、D【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價(jià)于，作直線，向上平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．8、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋遥?，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時(shí)乘以，得故選：A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法，是基礎(chǔ)題.10、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項(xiàng)，由5-2r=1得r=2,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80，由5-2r=-1得r=3,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40，故所求的常數(shù)項(xiàng)為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘，若第1個(gè)括號(hào)提出x,從余下的5個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提出x，選3個(gè)提出；若第1個(gè)括號(hào)提出，從余下的括號(hào)中選2個(gè)提出，選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=4011、D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對(duì)于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對(duì)于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對(duì)于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準(zhǔn)線方程，求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.15、【解析】試題分析：顯然，又，①當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而②當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是．考點(diǎn)：不等式、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.16、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.（2）將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得兩個(gè)曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為．所以的極坐標(biāo)方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當(dāng)（）時(shí)，，當(dāng)（）時(shí)，．所以和的交點(diǎn)極坐標(biāo)為：,.所以．故的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，利用極坐標(biāo)求三角形面積，屬于中檔題.18、；.【解析】

利用正弦定理化簡(jiǎn)求值即可；利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡(jiǎn)公式，結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，為三角形內(nèi)角，故，，則，故，；（2）平分，設(shè)，則,,，，則，，又，則在中，由正弦定理：，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡(jiǎn)公式，二倍角公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)，則由題設(shè)條件可得，化簡(jiǎn)后可得軌跡的方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)并求得，結(jié)合焦半徑公式及弦長(zhǎng)公式可求的值及的長(zhǎng).【詳解】（1）設(shè)，則圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切，所以，化簡(jiǎn)得的方程為.(2)由題意，設(shè)直線，聯(lián)立得，設(shè)（其中）所以，，且，因?yàn)?，所以，，所以，故或（舍），直線，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為所以.即，因?yàn)?又，所以，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長(zhǎng)計(jì)算，還涉及到向量的數(shù)量積.一般地，拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把已知等式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個(gè)變量的方程.本題屬于中檔題.20、（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導(dǎo)可得，所以在上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進(jìn)而可證；（Ⅲ）條件等價(jià)于對(duì)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），，利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，則，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，不妨令，因?yàn)椋?，所以的解為，則當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以的最小值為，則，不妨令（a），，則（a），解得，所以當(dāng)時(shí)，（a），（a）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（a），（a）為減函數(shù)，所以（a）的最大值為，則的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解法，意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題．21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，有，結(jié)合公差，，求得通項(xiàng)，再解不等式.（2）根據(jù)（1），用裂項(xiàng)相消法求和，然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題意，可知，即，∴.又，，∴，∴.∴，∴，故滿足題意的最大自然數(shù)為.（2），∴...從而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以，由，知不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算和裂項(xiàng)相消法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22、（1）；（2）極小值為，遞減區(qū)間為：，遞增區(qū)間為.【解