勾股定理練習(xí)題及答案

勾股定理課時(shí)練（1）.在直角三角形ABC中，斜邊AB=1,貝UAB2+5C2+AC2的值是（ ）.如圖18-2-4所示，有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD,AD#BC,斜腰DC的長(zhǎng)為10cm,ZD=120°,則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是cm（結(jié)果不取近似值）..直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則它斜邊上的高為..一根旗桿于離地面12加處斷裂，猶如裝有皎鏈那樣倒向地面，旗桿頂落于離旗桿地步16加,旗桿在斷裂之前高多少加？.如圖，如下圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是 米.第2題圖第5題圖.飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩子頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米,求飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米?.如圖所示，無(wú)蓋玻璃容器，高18c加，底面周長(zhǎng)為60cm,在外側(cè)距下底1C加的點(diǎn)c處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的容器的上口外側(cè)距開口1。加的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長(zhǎng)度.第7題圖.一個(gè)零件的形狀如圖所示，已知AC=3C加，AB=4cm,BD=12。加。求CD的長(zhǎng).第8題圖.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的長(zhǎng).第9題圖.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？11如圖，某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m,長(zhǎng)13m,寬2m的樓道上鋪地毯，已知地毯平方米18元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元錢？ 17^13m5m第n題12.甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，沒有了水，需要尋找水源.為了不致于走散，他們用兩部對(duì)話機(jī)聯(lián)系，已知對(duì)話機(jī)的有效距離為15千米.早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn)，上午10：00,甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎？第一課時(shí)答案:，提示：根據(jù)勾股定理得BO?+A02=1,所以ab2+602+A02=1+1=2；，提示：由勾股定理可得斜邊的長(zhǎng)為5機(jī)，而3+4-5=2機(jī)，所以他們少走了4步.. ,提示：設(shè)斜邊的高為了,根據(jù)勾股定理求斜邊為J122452=4W=131, _60利用面積法得，—x5xl2--xl3xx,x--.乙 乙 JLJ.解：依題意，AB=16m,AC=12m,在直角三角形ABC中，由勾股定理,BC?-AB2+AC2=I62+122=202所以BC=20機(jī),20+12=32(m),故旗桿在斷裂之前有32加高..解:如圖，由題意得,AC=4000米，NC=90°,AB=5000米，由勾股定理得BC=<50002-40002:3000（米），3所以飛機(jī)飛行的速度為』一=540（千米/小時(shí)）3600.解：將曲線沿AB展開，如圖所示，過點(diǎn)C作CELAB于E.在“ACEF,/CEF=90。,ef=18--1=16(。加),

ce二工二3。(5),由勾股定理，得cf=4C^2+石尸2=Y302+162=34(on)?解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得O.BC?-AC2+AB2=32+42=25在直角三角形CBD中，根據(jù)勾股定理，得CD產(chǎn)BQ+BD?=25+12?=169,所以CD=13..解：延長(zhǎng)BC、AD交于點(diǎn)E.(如圖所示)VZB=90°,ZA=60°,AZE=30°又?.?CD=3,ACE=6,ABE=8,8設(shè)AB=%,則AE=2%,由勾股定理。得(2x)2—12=82,%=w.如圖，作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)屋，連接〃B交MN于點(diǎn)P,RtAAzDB中，由勾股定理求得A'B=17kmn.解：根據(jù)勾股定理求得水平長(zhǎng)為4132-52=12m,地毯的總長(zhǎng)為12+5=17(m),地毯的面積為17X2=34(m2),鋪完這個(gè)樓道至少需要花為：34X18=612(元).解：如圖，甲從上午8：00到上午10：00一共走了2小時(shí)，走了12千米，即0A=12.乙從上午9：00到上午10：00一共走了1小時(shí)，走了5千米，即0B=5.在RS0AB中，AB?=12?十5?=169,.*.AB=13,因此，上午10：00時(shí)，甲、乙兩人相距13千米．?.T5〉13, ...甲、乙兩人還能保持聯(lián)系.勾股定理的逆定理（2）一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1.下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（ ）,12,15B.$3 ，， ，41,9二14,’4.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三個(gè)內(nèi)角比為1：2：1 B.三邊之比為1：2：C.三邊之比為J3：2：J50.三個(gè)內(nèi)角比為1：2：3.已知三角形兩邊長(zhǎng)為2和6,要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為（ ）A.42B.2J10 C.46或2K正D.以上都不對(duì).五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）A B C D二、填空題.AABC的三邊分別是7、24、25,則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是..三邊為9、12、15的三角形，其面積為..已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)為。，4C滿足 .C=8,則此三角形為 三角形.a+b=1U,ab=lo.在三角形ABC中，AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,則BC邊上的高為AD=cm.三、解答題.如圖，已知四邊形ABCD中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積.

.如圖，E、F第別題圉方形ABCD中BC和CD邊上的點(diǎn)，且AB=4,CE=BC,F為CD的中點(diǎn)，連接AF、AE,問AAEF是什么三角形？請(qǐng)說明理由..如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC,滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B,再由B跑到C,已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m,求樹高AB..如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼繟C,量出NA=40°ZB=50°,AB=5公里，BC=4公里，若每天鑿隧道公里，問幾天才能把隧道AB鑿?fù)?勾股定理的逆定理答案：一、；；，提示：當(dāng)已經(jīng)給出的兩邊分別為直角邊時(shí)，第三邊為斜邊=J2工=當(dāng)6為斜邊時(shí)，第三邊為直角邊=462—22=435；4.c；二、。提示：根據(jù)勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的內(nèi)角為90° 提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面積為：x9xl2=54.7.直角，提示：(a+Z?)2=100,得a2+Z?2+2ab-100,a2+Z?2=100-2x18=64=82=c2；608. ,提示：先根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形，再利用面積法求得—xl2x5=—xl3xAD.2 2 '三、9.解：連接AC,在Rt^ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=25, AC=5.在AACD中，AC2+Ca=25+122=169,而AB2=132=169,AG+CD2=AR,ZACD=90°.1111故S=S+S=-AB?BC+—AC?CD=—X3X4+—X5X12=6+30=36.四邊形ABCDAABCAACD2 2 2 2.解：由勾股定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20,*.*AE2=EF2+AE,...△aef是直角三角形.設(shè)AD=x米，則AB為(10+x)米，AC為(15-x)米，BC為5米，(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2,.*.10+x=12(米).解：第七組，^=2x7+1=15,Z?=2x7x(7+l)=112,c=112+1=113.第〃組，a=2n+l,b=2n(n+l),c=2n(n+1)+1圖圖18-2-7勾股定理的逆定理（3）一、基礎(chǔ)-鞏固.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三內(nèi)角之比為1：2：3 B.三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3C.三邊長(zhǎng)之比為3：4：5 D.三內(nèi)角之比為3：4：5.如圖18-2-4所示，有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD,AD〃BC,斜腰DC的長(zhǎng)為10cm,ZD=120°,則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是cm（結(jié)果不取近似值）.圖18 圖18-2-5 圖18-2-6.如圖18-2-5,以RtAABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S、S、S,且S=4,S=8,1 2 3 1 2則AB的長(zhǎng)為..如圖18—2—6,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=』AD,4試判斷AEFC的形狀..一個(gè)零件的形狀如圖18—2—7,按規(guī)定這個(gè)零件中NA與NBDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,這個(gè)零件符合要求嗎？.已知AABC的三邊分別為k2—1,2k,k2+l(k>l),求證：AABC是直角三角形.二、綜合-應(yīng)用.已知a、b、c是RtAABC的三邊長(zhǎng)，AABC的三邊長(zhǎng)分別是2a、2b、2c,那么AABC是直111111角三角形嗎？為什么？.已知：如圖18—2—8,在△ABC中，CD是AB邊上的高，且O=AD?BD.求證：AABC是直角三角形.圖18-2-8.如圖18—2—9所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(3,1),B(2,4),AOAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.圖18-2-9.已知：在△ABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷AABC的形狀.12.已知：如圖18—2—10,四邊形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖18-2-10參考答案一、基礎(chǔ)-鞏固.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三內(nèi)角之比為1：2：3 B.三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3C.三邊長(zhǎng)之比為3：4：5 D.三內(nèi)角之比為3：4：5思路分析：判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一個(gè)角是直角或兩銳角互余；②兩邊的平方和等于第三邊的平方；③一邊的中線等于這條邊的一半由A得有一個(gè)角是直角；B、C滿足勾股定理的逆定理，所以應(yīng)選D.答案：D.如圖18-2-4所示，有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD,AD#BC,斜腰DC的長(zhǎng)為10cm,ZD=120°,則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是cm（結(jié)果不取近似值）.圖18-2-4解：過D點(diǎn)作DE〃AB交BC于E,則是直角三角形.四邊形ABED是矩形，.\AB=DE.VZD=120°,AZCDE=30°.又?.?在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，，CE=5cm.根據(jù)勾股定理的逆定理得，DE=<102—52=5^3cm.，AB=Jl02—52=5J3cm..如圖18-2-5,以RtAABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S、S、S,且S=4,S=8,1 2 3 1 2則AB的長(zhǎng)為.圖18-2-5 圖18-2-6思路分析：因?yàn)椤鰽BC是口△,所以BQ+AOAB?,即S+S=S,所以S=L2,因?yàn)镾=AB?,所以1 2 3 3 3AB=q可=6=2"工答案：2百1.如圖18—2—6,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AFm^AD，試判斷△EFC的形狀.思路分析：分別計(jì)算EF、CE、CF的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷即可.解：TE為AB中點(diǎn)，，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得，EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=3z+42=25.CE2+EF2=CF2,...AEFC是以ZCEF為直角的直角三角形..一個(gè)零件的形狀如圖18—2—7,按規(guī)定這個(gè)零件中NA與NBDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,這個(gè)零件符合要求嗎？圖18-2-7思路分析：要檢驗(yàn)這個(gè)零件是否符合要求，只要判斷AADB和△DBC是否為直角三角形即可,這樣勾股定理的逆定理就可派上用場(chǎng)了.解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以△ABD為直角三角形，ZA=90°.在△BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以△BDC是直角三角形，ZCDB=90°.因此這個(gè)零件符合要求..已知AABC的三邊分別為k2—1,2k,k2+l(k>l),求證：AABC是直角三角形.思路分析：根據(jù)題意，只要判斷三邊之間的關(guān)系符合勾股定理的逆定理即可.證明：Vk2+l>k2-l,k2+l-2k=(k-l)2>0,即k2+l>2k,Aks+l是最長(zhǎng)邊.*.*(k2—1)2+(2k)2=k4—2k2+l+4k2=k4+2k2+l=(le+l)2,「.△ABC是直角三角形.二、綜合-應(yīng)用.已知a、b、c是RtAABC的三邊長(zhǎng)，AABC的三邊長(zhǎng)分別是2a、2b、2c,那么AABC是直111111角三角形嗎？為什么？思路分析：如果將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大一個(gè)相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形(例2已證).解：略.已知：如圖18—2—8,在△ABC中，CD是AB邊上的高，且O=AD?BD.求證：AABC是直角三角形.圖18-2-8思路分析：根據(jù)題意，只要判斷三邊符合勾股定理的逆定理即可.證明：,.*AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,.,.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD?BD+BEh=(AD+BD)2=AB2.「.△ABC是直角三角形..如圖18—2—9所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(3,1),B(2,4),AOAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.圖18-2-9思路分析：借助于網(wǎng)格，利用勾股定理分別計(jì)算OA、AB、0B的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷AOAB是否是直角三角形即可.解：*.*OA2=OA2+AA2=32+12=10,0B2=0B2+B62=22+42=20,11AB2=AC2+BC2=12+32=10,.\0A2+AB2=0B2....△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形..閱讀下列解題過程：已知a、b、c為AABC的三邊，且滿足a2c2—b2c2=a4—b4,試判斷AABC的形狀.解：*.*a2C2—b2c2=a14—b&,(A)C2(a2—b2)=(a2+b2)(a2—b?),(B) C2=a2+b2,(C).*.△ABC是直角三角形.問：①上述解題過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)1;②錯(cuò)誤的原因是;③本題的正確結(jié)論是.思路分析：做這種類型的題目，首先要認(rèn)真審題，特別是題目中隱含的條件，本題錯(cuò)在忽視了a有可能等于b這一條件，從而得出的結(jié)論不全面.答案：①(B)②沒有考慮好b這種可能，當(dāng)a=b時(shí)AABC是等腰三角形；③AABC是等腰三角形或直角三角形.H.已知：在△ABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷AABC的形狀.思路分析：(1)移項(xiàng)，配成三個(gè)完全平方；(2)三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則都為0；(3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形.解：由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,配方并化簡(jiǎn)得，(a—5”+(b—12)2+(c—13)2=0.*.*(a—5)2^0,(b—12)2^0,(c—13)2^0.a—5=0,b—12=0,c—13=0.解得a=5,b=12,c=13.X*-*a2+b2=169=C2,「.△ABC是直角三角形.12.已知：如圖18—2—10,四邊形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖18-2-10思路分析：(1)作DE〃AB,連結(jié)BD,則可以證明△ABD四(ASA)；(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3；(3)在△!)￡(：中，3、4、5為勾股數(shù)，△!)￡(：為直角三角形,DEXBC；(4)利用梯形面積公式，或利用三角形的面積可解.解：作DE〃AB,連結(jié)BD,則可以證明△ABD四(ASA),.*.DE=AB=4,BE=AD=3.VBC=6,.*.EC=EB=3.VDE2+CE2=32+42=25=CD2,「.△DEC為直角三角形.又?.?EC=EB=3,...△DBC為等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,，ABDA是直角三角形.11X6X4=12.它們的面積分別為SABDA=-X3X4=6:SADB=-X6X4=12.AS=S+S=6+12=18.四邊形ABCDABDAADBC勾股定理的應(yīng)用（4）1.三個(gè)半圓的面積分別為S=JI,S=8Ji,S=JI,把三個(gè)半圓拼成如圖所示的圖形，則4ABC1 2 3一定是直角三角形嗎？說明理由。2.求知中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如下圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量NA=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？3..（12分）如圖所示，折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的長(zhǎng)。4.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的最短路程是多少？———————六I、一一一一———■■■■■■■ ■■牧《 舉東b 5.（8分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32=4+5,52=12+13,72=24+25 92=40+41……這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊(yùn)涵其中呢？（1）填空：132=+（2）請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識(shí)，說明你的結(jié)論的正確性。.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,BC=6,AC=8,求AB、CD的長(zhǎng).在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）.已知如圖，四邊形ABCD中，ZB=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求這個(gè)四邊形的面積.如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1.求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積。勾股定理復(fù)習(xí)題（5）一、填空、選擇題題：3.有一個(gè)邊長(zhǎng)為5米的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少為」 k米。4、一旗桿離地面6米處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，則旗桿折斷之前的高度是 L米。6、在△ABC中，ZC=90°,AB=10o（1）若NA=30°,則BC=,AC=。（2）若NA=45°,貝ljBC=,AC=o8、在△ABC中，ZC=90°,AC=,BC=.則斜邊上的高CD=mn、三角形的三邊abc,滿足（”+〃）2—C2=2”〃，則此三角形是 三角形。12、小明向東走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三個(gè)方向走100米回到原地。小明向東走80米后又向方向走的。13、AABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm則AC的長(zhǎng)為cm14、兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向東直行，5秒鐘后他們相距米.15、寫出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？TOC\o"1-5"\h\z⑴兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。( )⑵如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等。 ()⑶若"2=Z?2,則a=b( )⑷全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。( )⑸角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。 ()16、下列各組線段組成的三角形不是直角三角形的是( )(A)a=15 b=8 c=17 (B)a:b:c=l: :26 8(C)a=2 b=-c=- (D)a=13 b=14c=1517、若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為6,8,x,則使此三角形是直角三角形的x的值是().C.V28或停18、下列各命題的逆命題不成立的是()A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B.若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等,則這兩個(gè)數(shù)相等C.對(duì)頂角相等 D.如果a=b或a+b=O,那么="2二、解答題：19、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？20、一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端