高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 導數(shù) 3.1.1 函數(shù)的平均變化率教學實錄 新人教B版選修1-1

高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.1導數(shù)3.1.1函數(shù)的平均變化率教學實錄新人教B版選修1-1一、課程基本信息

1.課程名稱：高中數(shù)學

2.教學年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2023年5月15日

4.教學時數(shù)：1課時

本節(jié)課教學內(nèi)容為新人教B版選修1-1第三章導數(shù)及其應用3.1導數(shù)3.1.1函數(shù)的平均變化率。課程內(nèi)容主要包括函數(shù)平均變化率的定義、計算方法以及在實際問題中的應用。通過本節(jié)課的學習，使學生理解函數(shù)平均變化率的概念，掌握其計算方法，并能運用到實際問題中。二、學情分析與內(nèi)容規(guī)劃

1.學情分析：學生已經(jīng)學習了函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，對函數(shù)圖像有一定的認識，但對導數(shù)的概念和幾何意義較為陌生，缺乏將導數(shù)應用于解決實際問題的經(jīng)驗。

2.內(nèi)容規(guī)劃：本節(jié)課將從函數(shù)圖像的變化趨勢引入導數(shù)的概念，通過具體的函數(shù)例子，讓學生理解函數(shù)平均變化率的含義，并引導學生探索如何通過平均變化率來近似表達曲線在某一點的切線斜率。教學內(nèi)容將包括以下幾個部分：

-導入：通過復習函數(shù)圖像，引導學生觀察函數(shù)在不同區(qū)間的變化趨勢。

-定義：介紹函數(shù)平均變化率的定義，并通過公式表達。

-計算：通過例題，演示如何計算函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的平均變化率。

-應用：討論函數(shù)平均變化率在實際問題中的意義，如速度、加速度等。

-練習：布置相關的練習題，鞏固學生對平均變化率的理解和應用。三、學習者分析

1.學生已經(jīng)掌握了函數(shù)的基本概念，包括函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像以及一次函數(shù)、二次函數(shù)等基礎函數(shù)的圖像和性質(zhì)。他們對極限的概念有初步的了解，但還未深入接觸導數(shù)的相關知識。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格各不相同。部分學生對數(shù)學有較高的興趣，喜歡通過邏輯推理來解決問題，傾向于抽象思維；而另一些學生可能對數(shù)學的興趣不太濃厚，更傾向于具象思維和直觀理解。在能力上，學生的數(shù)學基礎參差不齊，有的學生能夠迅速掌握新概念，有的則需要更多的練習和指導。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：

-對導數(shù)概念的理解：導數(shù)是一個較為抽象的概念，學生可能難以理解其本質(zhì)和幾何意義。

-平均變化率的計算：學生可能會在計算過程中混淆公式，或在處理復雜函數(shù)時遇到困難。

-應用問題：將導數(shù)應用于實際問題時，學生可能難以建立數(shù)學模型，或者不知道如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來求解。

-練習不足：由于本節(jié)課內(nèi)容是導數(shù)的基礎，需要大量的練習來鞏固理解，學生可能因為練習量不足而難以熟練掌握。四、教學方法與策略

本節(jié)課將采用講授與討論相結合的方法，通過具體的例題引導學生發(fā)現(xiàn)和總結導數(shù)的概念。首先，我會通過講授的方式介紹函數(shù)平均變化率的定義和計算方法，確保學生理解基本概念。接著，通過小組討論，讓學生在合作中解決實際問題，加深對平均變化率的理解。此外，將設計一些簡單的數(shù)學實驗，如通過幾何軟件動態(tài)展示函數(shù)圖像和切線的變化，幫助學生直觀感知導數(shù)的幾何意義。在教學媒體方面，將使用多媒體課件來展示函數(shù)圖像和變化過程，以及利用在線平臺進行課堂練習和即時反饋，以提高學生的參與度和學習效率。五、教學過程

1.導入環(huán)節(jié)（約5分鐘）

內(nèi)容：以日常生活中的速度問題作為導入，提出“物體在某一時刻的瞬時速度如何定義？”的問題，引導學生回顧初中階段學習的速度概念，并思考瞬時速度與平均速度的區(qū)別。通過這個問題激發(fā)學生的好奇心，為引入導數(shù)的概念做好鋪墊。

2.新知學習（約25分鐘）

內(nèi)容：

-首先，介紹函數(shù)平均變化率的定義，即函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的增量與自變量增量之比。

-接著，通過幾個具體的函數(shù)例子，如線性函數(shù)和二次函數(shù)，演示如何計算函數(shù)的平均變化率。

-然后，引導學生觀察函數(shù)圖像，討論平均變化率與函數(shù)圖像的切線斜率之間的關系。

-在此基礎上，引入導數(shù)的概念，解釋導數(shù)是平均變化率在自變量增量趨近于零時的極限。

-通過數(shù)學軟件或板書，展示導數(shù)的幾何意義，即函數(shù)圖像上某點切線的斜率。

-最后，布置一些練習題，讓學生獨立計算函數(shù)的導數(shù)，并討論結果。

3.實踐應用（約10分鐘）

內(nèi)容：

-將學生分成小組，每組選擇一個實際問題，如物體運動、溫度變化等，要求學生應用剛剛學到的導數(shù)知識，計算實際問題中的平均變化率。

-學生需要在紙上繪制出函數(shù)圖像，并標出相關的點和區(qū)間。

-每個小組討論并計算所選擇問題的平均變化率，并嘗試解釋其物理意義或?qū)嶋H含義。

4.總結與提升（約5分鐘）

內(nèi)容：

-對本節(jié)課的主要內(nèi)容進行總結，強調(diào)導數(shù)的概念、計算方法以及其幾何意義。

-回顧導入環(huán)節(jié)提出的問題，解釋瞬時速度可以通過導數(shù)來定義。

-鼓勵學生思考導數(shù)在生活中的應用，并探討如何將導數(shù)應用于解決其他實際問題。

-最后，布置家庭作業(yè)，要求學生復習本節(jié)課的內(nèi)容，并完成一些相關的練習題，以鞏固對導數(shù)的理解。六、教學反思

這節(jié)課在導入部分，學生對于速度問題的反應較為積極，能夠很好地聯(lián)系到之前的知識。在新知學習環(huán)節(jié)，通過具體的例子和圖像演示，學生們對導數(shù)的概念有了初步的理解，但在導數(shù)計算方面，個別學生仍顯得有些吃力。實踐應用環(huán)節(jié)中，小組合作的效果不錯，學生們能夠在互動中加深對導數(shù)的認識，但我也發(fā)現(xiàn)有些學生對于如何將實際問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)問題還不夠熟練?？偟膩碚f，這節(jié)課達到了預期的教學目標，但在今后的教學中，我需要更多地關注學生的個別差異，提供更多的個性化指導，尤其是對于那些在計算和理解上存在困難的學生。七、教學資源與支持

1.多媒體資源

-視頻資源：收集與導數(shù)概念相關的教學視頻，如物體運動的速度與加速度變化的視頻，用以直觀展示導數(shù)在物理學中的應用，增強學生對導數(shù)概念的理解。

-圖片資源：準備函數(shù)圖像的動態(tài)變化圖，如一次函數(shù)、二次函數(shù)和三次函數(shù)的圖像，以及它們的切線變化，幫助學生理解導數(shù)的幾何意義。

-音頻資源：錄制導數(shù)定義和計算的講解音頻，供學生在課后復習時使用，加強記憶。

2.閱讀材料

-精選數(shù)學論文或文章：選取包含導數(shù)及其應用的實際案例的英文短文，如物理學中的運動規(guī)律、經(jīng)濟學中的邊際分析等，讓學生在閱讀中深化對導數(shù)的理解。

-數(shù)學故事書：挑選介紹導數(shù)發(fā)展歷史的數(shù)學故事書籍，增加學生對數(shù)學文化的了解，激發(fā)學習興趣。

3.在線工具

-在線繪圖工具：使用可以繪制函數(shù)圖像的在線軟件，如Desmos，讓學生通過調(diào)整參數(shù)觀察函數(shù)圖像和導數(shù)變化，直觀感受導數(shù)對函數(shù)形態(tài)的影響。

-在線練習平臺：利用如KhanAcademy等在線平臺提供的導數(shù)相關練習題，為學生提供自我檢測和鞏固知識的機會。

-數(shù)學論壇和社區(qū)：推薦學生參與數(shù)學論壇和社區(qū)，如StackExchange的數(shù)學板塊，鼓勵學生在遇到難題時尋求幫助和交流經(jīng)驗。

4.軟件和應用程序

-函數(shù)計算軟件：使用如WolframAlpha等軟件，學生可以輸入函數(shù)表達式，軟件會自動計算導數(shù)，并展示圖像，幫助學生驗證自己的計算結果。

-數(shù)學游戲應用：引入一些數(shù)學游戲應用，如“數(shù)學星球”等，通過游戲形式讓學生在娛樂中學習導數(shù)知識。

5.參考書籍

-數(shù)學教科書：推薦學生使用《高中數(shù)學導數(shù)及其應用》等教科書，作為課堂學習的補充材料，提供更多例題和練習。

-數(shù)學雜志和