四年級(jí)(上)奧數(shù)知識(shí)講座：幾何中的計(jì)數(shù)問題(三)

第八講幾何中的計(jì)數(shù)問題（三）例6如下圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個(gè)數(shù).分析這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條基本線段的最小三角形開始.I.以一條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：W①上=1+2+3+4=10（個(gè)）.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6（個(gè)）.II.以兩條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6（個(gè)）.②尖朝下的三角形只有一個(gè)，記為W②下=1（個(gè)）.III.以三條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3（個(gè)）.②尖朝下的三角形零個(gè)，記為W③下=0（個(gè)）.W.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個(gè)，記為:W④上=1（個(gè)）.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個(gè)）.我們還可以按另一種分類情況計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計(jì)算三角形個(gè)數(shù).I.尖朝上的三角形共有四種：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（個(gè)）.II.尖朝下的三角形共有二種：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0則尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（個(gè)）所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：20+7=27（個(gè)）.小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè)最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝上的第二個(gè)和，依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類推直到零為止.例7數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)三角形.解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：I.尖朝上的三角形有五種：W①上=8+7+6+5+4=30W②上=7+6+5+4=22W③上=6+5+4=15W④上=5+4=9W⑤上=4???尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80(個(gè)).II.尖朝下的三角形有四種：W①下=3+4+5+6+7=25W②下=2+3+4+5=14W③下=1+2+3=6W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(個(gè)).V.V.與△ACD相同的三角形共有5個(gè)；???所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有80+46=126（個(gè)）.四、數(shù)綜合圖形前面我們已對(duì)較基本、簡單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對(duì)于較復(fù)雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?fù)、不遺漏的原則，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來就一定能把圖形數(shù)清楚了.例8數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形.A分析圖中有若干個(gè)大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個(gè)？解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：.與△ABE相同的三角形共有5個(gè)；.與^ABP相同的三角形共有10個(gè)；.與^ABF相同的三角形共有5個(gè)；”.與^AFP相同的三角形共有5個(gè)；W.與△AGD相同的三角形共有5個(gè).所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35（個(gè)）.例9數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形？P分析這是個(gè)對(duì)稱圖形，我們可按如下三步順序來數(shù)：第一步：大矩形ABCD可分為四個(gè)相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個(gè)小矩形內(nèi)所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第二步：每兩個(gè)小矩形組合成的圖形共有四個(gè)，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第三步：每三個(gè)小矩形占據(jù)的部分圖形共有四個(gè)：如^ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.最后把每一步中每個(gè)圖形所包含三角形個(gè)數(shù)求出相加再乘以4就是整個(gè)圖形中所包含的三角形的個(gè)數(shù).解：I.在小矩形AEOH中：①由一個(gè)三角形構(gòu)成的有8個(gè).②由兩個(gè)三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).

③由三個(gè)或三個(gè)以上三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).這樣在一個(gè)小矩形內(nèi)有17個(gè)三角形..在由兩個(gè)小矩形組合成的