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第一部分考點探究教材梳理第二章方程與不等式第1節(jié)一次方程(組)目錄CONTENTS010203考點梳理·教材運用重難擊破·典例剖析本節(jié)易錯題回看版本導航人教北師華師七上第三章P77-P112七下第八章P87-P112七上第五章P129-P153八上第五章P102-P134七下第六章P1-P22七下第七章P23-P48

考點1

等式及基本性質(zhì)1.等式的概念用等號“=”來表示相等關(guān)系的式子,叫做等式.

式子

b±m(xù)

不為0

bm

·?

?特別提醒·在等式變形中,以下兩個性質(zhì)也經(jīng)常用到:

1.對稱性:如果a=b,那么b=a.2.傳遞性:如果a=b,b=c,那么a=c.1.下列說法正確的是(

D

)A.如果ab=ac,那么b=cB.如果2x=2a-b,那么x=a-bC.如果a=b,那么a+2=b+3D.如果=,那么b=cD考點2

一元一次方程及其解法[6年5考,2023·T21(2)]1.方程:含有

未知數(shù)

?的等式叫做方程.2.方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解.3.一元一次方程:只含有

?個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是

1

?的

整式方程

?,叫做一元一次方程,一般形式為:ax+b=0(a≠0).未知數(shù)

1

整式方程

步驟方法依據(jù)注意去分母方程的兩邊都乘各分母的

最小公倍數(shù)?等式的性質(zhì)2(1)不要漏乘不含分母的項;(2)分子是多項式時,去分母時應整體加上括號去括號一般地,先去小括號,再去中括號,后去大括號.可根據(jù)方程的特點靈活去括號乘法分配律(1)不要漏乘括號里的每一項;(2)當括號前是負數(shù),去括號時,原括號里的每一項都要變號最小公倍數(shù)4.解一元一次方程的一般步驟步驟方法依據(jù)注意移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊,不含未知數(shù)的項移到方程的另一邊等式的性質(zhì)1(1)移項要變號;(2)不要丟項合并同類項把方程化成

ax=b

?(a≠0)的形式合并同類項法則字母及其指數(shù)不變ax=b

步驟方法依據(jù)注意系數(shù)化為1方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a(a≠0),得到方程的解

x=

?等式的性質(zhì)2分子、分母的位置不要顛倒

2(3x+1)-3(x-1)=6

6x+2-3x+3=6

3x=1

考點3

二元一次方程(組)及其解法(6年5考,2023·T12)1.二元一次方程含有

?個未知數(shù),且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是

1

?的

整式方程

?,叫做二元一次方程.2.二元一次方程組共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的方程組,叫做二元一次方程組.兩

1

整式方程

3.二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊

相等

?的兩個未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解.4.解二元一次方程組的基本思想是

消元

?,即化二元一次方程組為一元一次方程,主要方法有

代入

?消元法和

加減

?消元法.相等

消元

代入

加減

5.解題方法(1)

代入

?消元法:把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來,再代入另一個方程,實現(xiàn)消元,進而求得原二元一次方程組的解.(2)

加減

?消元法:當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)是互為相反數(shù)或相等時,把這兩個方程的兩邊分別相加或相減,消去這個未知數(shù),得到一個一元一次方程,實現(xiàn)消元,進而求得原二元一次方程組的解.代入

加減

針對考點3·?

?教材素材對點練·

2x+2y=-4

x=8

x=8

y=-10

加減消元法

請用另一種解題方法解該方程組.解:由①得y=-x-2,

考點4

一次方程(組)的實際應用(6年4考,2023·T21)1.列方程(組)解應用題的一般步驟審審題,理清題中的已知條件和未知條件,找出題中的等量關(guān)系設(shè)依據(jù)題意,恰當?shù)卦O(shè)出直接未知數(shù)或間接未知數(shù)列根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程(組)解解方程(組)驗檢驗所求的未知數(shù)的值是否符合題意答作答,注意“設(shè)”“答”要帶單位2.一次方程(組)解應用題的常見類型常見類型解題關(guān)鍵利潤問題(1)售價=標價×折扣;(2)銷售額=售價×銷量;(3)利潤=售價-成本(進價);(4)利潤率=×100%工程問題(1)工作總量=工作效率×工作時間;(2)常把工作總量看作“1”常見類型解題關(guān)鍵行程問題相遇問題:全路程=甲走的路程+乙走的路程追及問題:(1)同地不同時出發(fā):前者走的路程=追者走的路程;前者的時間-追者的時間=時間差.(2)同時不同地:追者走的路程-前者走的路程=路程差;前者走的時間=追者走的時間4.(1)(北師大七上P146習題5.7·T2改編)一件夾克按成本提高50%后標價,后因季節(jié)關(guān)系按標價的8折出售,每件以60元賣出.這批夾克每件的成本價是多少元?設(shè)夾克每件的成本價為m元,則可列方程為

(1+50%)m×0.8=60

?.(1+50%)m×0.8=60

·?

?歸納總結(jié)·解二元一次方程組時解法的選用策略1.當方程組中某一個未知數(shù)的系數(shù)是1(或-1)時,優(yōu)先考慮代入消元法;2.當兩個方程中,同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時,優(yōu)先考慮加減消元法;3.當兩個方程通過變形用含有一個未知數(shù)的式子來表示另一個未知數(shù)都比較復雜時,往往選用加減消元法.

5

命題點2

一次方程(組)的實際應用?類型一

由實際問題列二元一次方程組【例2】(2018·河南T6)《九章算術(shù)》中記載:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,問人數(shù)、羊價各幾何?”其大意是:今有人合伙買羊,若每人出5錢,還差45錢;若每人出7錢,還差3錢,問合伙人數(shù)、羊價各是多少?設(shè)合伙人數(shù)為x人,羊價為y錢,根據(jù)題意,可列方程組為(

A

)AA.B.C.D.·?

?歸納總結(jié)·列一次方程(組)解決實際問題的方法1.設(shè)未知數(shù)的方法:(1)一般情況下,題中問什么就設(shè)什么,即設(shè)直接未知數(shù);(2)當設(shè)直接未知數(shù)難以列出方程時,可設(shè)與所求量相關(guān)的一些量,即設(shè)間接未知數(shù).注意:設(shè)幾個未知數(shù),就需要列出幾個方程求解.2.找等量關(guān)系的方法:(1)抓住題中的關(guān)鍵詞,如“等于”“比”“是”“多”“少”等;(2)根據(jù)實際生活中的數(shù)量關(guān)系或幾何圖形中的面積公式、體積公式等找等量關(guān)系;(3)挖掘題中的隱含條件,如順流航行和逆流航行的路程相等.注意:列方程時,等號兩邊的量的單位要保持一致.【變式訓練】3.(2023·鄭州外國語三模T6)《九章算術(shù)》是中國古代的一本重要數(shù)學著作,其中有一道方程的應用題:“五只雀、六只燕,共重16兩,雀重燕輕.互換其中一只,恰好一樣重.問每只雀、燕的重量各為多少?”解:設(shè)雀每只x兩,燕每只y兩,則可列出方程組為(

B

)A.B.C.D.B?類型二

一次方程(組)的實際應用【例3】(2023·鄭州二模T19)“九年磨一劍,六月試鋒芒”,為助力中考,有效緩解學生的考前壓力,某中學九年級學生開展了考前減壓團體拓展活動.學校準備了“能量傳輸”類與“魚躍龍門”類共15個小項目,其中“能量傳輸”類項目比“魚躍龍門”類項目數(shù)的2倍少3個.(1)“能量傳輸”類項目和“魚躍龍門”類項目各有多少個?

(2)“能量傳輸”和“魚躍龍門”兩類項目的平均用時分別是6分鐘、8分鐘(項目轉(zhuǎn)場時間忽略不計),由于時間的限制,在實際拓展活動時,兩種類型的項目只能開展10個,且“魚躍龍門”類項目數(shù)多于“能量傳輸”類項目數(shù)的一半,活動應該怎么設(shè)計能使得所用的時間最少?【變式訓練】4.(2019·河南T20)學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品.已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元;購買5個A獎品和4個B獎品共需210元.(1)求A,B兩種獎品的單價;

答:當購買A獎品8個,B獎品22個時最省錢.

5.(2023·河南省實驗四模T20)某市為助力新能源汽車產(chǎn)業(yè)的健康發(fā)展,打造新能源交通生態(tài)城市,近幾年在全市范圍內(nèi)安裝電動汽車充電樁.2021年該市投入資金1250萬元,安裝A型充電樁200個和B型充電樁300個;2022年又投入2000萬元,安裝A型充電樁250個和B型充電樁500個.已知這兩年安裝A,B兩種型號的充電樁單價不變.(1)求安裝A型充電樁和B型充電樁的單價分別是多少萬元?

(2)為適應電動汽車快速

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