平行關(guān)系的判定定理

平行關(guān)系的判定baa2021/6/271在空間中直線與平面有幾種位置關(guān)系？1、直線在平面內(nèi)2、直線與平面相交3、直線與平面平行aααa一、知識回顧：aα.P文字語言圖形語言符號語言2021/6/272

怎樣判定直線與平面平行呢？問題二、引入新課

根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點．但是，直線無限延長，平面無限延展，如何保證直線與平面沒有公共點呢？a2021/6/273

在生活中，注意到門扇的兩邊是平行的．當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時，另一邊始終與門框所在的平面沒有公共點，此時門扇轉(zhuǎn)動的一邊與門框所在的平面給人以平行的印象．（1）分析實例—猜想定理三、線面平行判定定理的探究2021/6/274將課本的一邊AB緊靠桌面，并繞AB轉(zhuǎn)動，觀察AB的對邊CD在各個位置時，是不是都與桌面所在的平面平行？從中你能得出什么結(jié)論？ABCDCD是桌面外一條直線，AB是桌面內(nèi)一條直線，CD∥AB，則CD∥桌面直線AB、CD各有什么特點呢？它們有什么關(guān)系呢？猜想：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。(2)做一做(3)猜一猜2021/6/275直線和平面平行的判定定理

如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

bab

a∥ba

a∥

四、規(guī)律總結(jié)：1、定理三個條件缺一不可。注明：2021/6/276五、討論定理中的條件缺失的情況：

判斷下列命題是否正確，若不正確，請用圖形語言或模型加以表達(dá)（1）（2）（3）2021/6/277五、討論定理中的條件缺失的情況：

判斷下列命題是否正確，若不正確，請用圖形語言或模型加以表達(dá)（1）（2）（3）（1）、定理三個條件缺一不可注：2021/6/278(2)該定理作用：“線線平行線面平行”——空間問題“平面化”(3)定理告訴我們：要證線面平行，只要在面

內(nèi)找一條線，與已知直線a平行。2021/6/279二.直線與平面平行判定定理的證明：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。lα，mα,l∥ml∥α已知:求證：2021/6/2710證明：∵l∥m∴l(xiāng)和m確定一平面，設(shè)平面β，則α∩β=m如果l和平面α不平行，則l和α有公共點設(shè)l∩α=P，則點P∈m于是l和m相交，這和l∥m矛盾∴l(xiāng)∥α2021/6/2711六、理論提升（1）判定定理的三個條件缺一不可簡記為：線線平行則線面平行（平面化）

（空間問題）線面平行線線平行

ba2021/6/2712（2）實踐：（口答）

如圖：長方體ABCD—A′B′C′D′六個表面中，

①與AB平行的平面是

____________

②與AA′平行的平面是

_____________

③與AD平行的平面是

______________平面A′B′C′D′和平面DCC′D′平面BCC′B′和平面DCC′D′平面A′B′C′D′和平面BCC′B′2021/6/2713判斷下列命題是否正確，若正確，請簡述理由，若不正確，請給出反例.(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；()（2）如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行;()（3）如果直線a、b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b;()(4)過平面外一點和這個平面平行的直線只有一條.()試一試（5）若直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則()2021/6/2714七、典例精析：例1已知：空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點。求證：EF∥平面BCD

分析：EF在面BCD外，要證明EF∥面BCD，只要證明EF和面BCD內(nèi)一條直線平行即可。EF和面BCD哪一條直線平行呢？連結(jié)BD立刻就清楚了。2021/6/2715例1已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是

AB，AD的中點．求證：EF//平面BCD．證明：連接BD.因為AE=EB,AF=FD,所以EF//BD（三角形中位線定理）因為

由直線與平面平行的判斷定理得:EF//平面BCD.小結(jié)：在平面內(nèi)找(作)一條直線與平面外的直線平行時可以通過三角形的中位線、梯形的中位線、平行線的性質(zhì)等來完成。2021/6/2716八、變式強化:如圖,在空間四面體中,E、F、M、N分別為棱AB、AD、DC、BC的中點

【變式一】（1）四邊形EFMN,是什么四邊形？平行四邊行【變式二】（2）直線AC與平面EFMN的位置關(guān)系是什么？為什么？AC與平面EFMN平行2021/6/2717【變式三】

（3）在這圖中，你能找出哪些線面平行關(guān)系？①直線BD與平面EFMN②直線AC與平面EFMN③直線EF與平面BCD④直線FM與平面ABC⑤直線MN與平面ABD⑥直線EN與平面ACD2021/6/2718九、演練反饋判斷下列命題是否正確：（1）一條直線平行于一個平面，這條直線就與這個平面內(nèi)的任意直線平行。（2）直線在平面外是指直線和平面最多有一個公共點.

（3）過平面外一點有且只有一條直線與已知平面平行。（4）若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則（5）如果a、b是兩條直線，且，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面.

()()()()()2021/6/2719

2．如圖，正方體中，E為的中點，試判斷與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由．證明：連接BD交AC于點O,連接OE,在中，E，O分別是的中點．隨堂練習(xí)2021/6/2720

兩個全等的正方形ABCD、ABEF不在同一平面內(nèi),M、N是對角線AC、BF的中點求證：MN∥面BCEDANMCBFE練一練2021/6/2721PQ引申：

M、N是AC，BF上的點且AM=FN，求證：MN∥面BCEDANMCBFE2021/6/2722DANMCBFE2021/6/2723關(guān)鍵：在平面內(nèi)找(作)一條直線與平面外的直線平行,在尋找平行直線時可以通過三角形的中位線、梯形的中位線、平行線的性質(zhì)等來完成。十、總結(jié)提煉1．證明直線與平面平行的方法：（1）利用定義；（2）利用判定定理．線線平行線面平行直線與平面沒有公共點2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想空間問題平面問題2021/6/2724a

b

Pab假設(shè)直線a不平行于平面α，則a∩α=P。定理:如果不在平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.證明:(用反證法)課外閱讀2021/6/2725已知：P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M為PB的中點.求證：PD//平面MAC.APBCDMO試一試2021/6/27262。已知E、F分別為正方體ABCD-A1B1C1D1棱BC、Ｃ1Ｄ1的中點，求證:EF∥平面BB1D1D.DABCA1C1D1B1

取BD中點O，則OE為△BDC的中位線.∴Ｄ1ＯＥＦ為平行四邊形∴EF∥Ｄ1Ｏ∴EF∥平面BB1DD1

又∵

EF平面BB1DD1，Ｄ1Ｏ平面BB1DD1EFO∴ＯＥDC,Ｄ1ＦＣ1Ｄ1∴Ｄ1ＦＯＥ=∥=∥=∥證明:2021/6/2727平面與平面平行的判定2021/6/2728（1）平行（2）相交1.

平面與平面有幾種位置關(guān)系？沒有公共點有一條公共直線復(fù)習(xí)引入2021/6/2729①問1：兩個平面平行，那么其中一個平面的直線與另一個平面的位置關(guān)系如何?平行②問2：如果一個平面內(nèi)的所有直線，都與另一個平面平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系如何?平行結(jié)論：兩個平面平行的問題可以轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題.③當(dāng)然我們不需要證明所有直線都與另一平面平行，那么需要幾條直線才能說明問題呢？復(fù)習(xí)引入2.問題：還可以怎樣判定平面與平面平行呢？2021/6/2730（兩平面平行）（兩平面相交）l探究2021/6/2731（兩平面平行）（兩平面相交）lEF直線的條數(shù)不是關(guān)鍵!探究2021/6/2732直線相交才是關(guān)鍵！探究2021/6/2733線不在多，重在相交！2.平面與平面平行的判定定理若一個平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一個平面，

則這兩個平面平行.(1)該定理中，“兩條”，“相交”都是必要條件，缺一不可：(2)該定理作用：“線面平行面面平行”(3)應(yīng)用該定理，關(guān)鍵是在一平面內(nèi)找到兩條相交直線分別與另一平面內(nèi)兩條直線平行即可.線線平行

線面平行面面平行2021/6/2734判斷下列命題是否正確，并說明理由．（1）若平面內(nèi)的兩條直線分別與平面平行，則與平行；（2）若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，則與平行；（3）平行于同一直線的兩個平面平行；（4）兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線，這兩個平面平行；（5）過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面．練習(xí)×××××2021/6/2735證明：因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1

又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四邊形，∴D1A∥C1B，又因為D1A平面C1BD，CB平面C1BD.由直線與平面平行的判定，可知同理

D1B1∥平面C1BD.又

D1A∩D1B1=D1，所以，平面AB1D1∥平面C1BD.D1A∥平面C1BD，平行四邊形對邊平行是常用的找平行線的方法.2021/6/2736拓展：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行2021/6/2737練2:正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、P、Q分別是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中點，求證：平面AMN//平面C1QP.ABCA1B1C1D1DMNEF練1:正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，求證:平面AMN//平面EFDB.K變式練習(xí)2021/6/2738C1ACB1BMNA1F證明：取A1C1中點F，連結(jié)NF，F(xiàn)C．∵N為A1B1中點，M是BC的中點，∴NFCM為平行四邊形，故MN∥CFB1C1∴NF＝∥＝∥又∵BCB1C1，即MCNF＝∥∴MN∥平面AA1C1C.例如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點，求證：MN∥平面AA1C1C∴MC＝∥B1C12021/6/2739練習(xí)練1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的點，F(xiàn)是CB1上的中點，求證：A1B//平面ADC1.法一：線面平行判定定理

連接BC1，則DE為△ABC1中位線，

所以EF//AB,

又EF平面ABC，AB平面ABC，

故EF//平面ABC.法二：由面面平行判定線面平行

取CC1的中點G，連接GE和GF，

則GE為△ACC1中位線，

所以GE//AC,

又GE平面ABC，AC平面ABC，

故GE//平面ABC.G同理可證GF//平面ABC.又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC.2021/6/2740例如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分別是AB，PC的中點,求證：MN//平面PAD.HG法二：取DC的中點G，連接GN，GM，往證面GMN//面PAD即可.證明：取PD的中點H，連接HN，AH，在三角形△PDC中，HN為三角形中位線，所以HN//DC且HN=DC又因為底面為正方形，且M為AB中點，所以AM//DC且AM=DC∴AM//HN且AM=HN即AMNH為平行四邊形，故MN//AH又AH平面PAD，MN平面PAD，故MN//平面PAD.2021/6/2741練：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點，求證：EF//平面PAD.證明：分別取PD