第11講 萬有引力定律（解析版）-2024年高考物理一輪考點復習精講精練

第11講萬有引力定律

目錄

考點一天體質量和密度的計算....................................................1

考點二衛(wèi)星運行參量的比較與計算...............................................2

考點三衛(wèi)星變軌問題分析........................................................6

考點四宇宙速度的理解與計算...................................................11

考點五雙星或多星模型.........................................................16

練出高分........................................................................21

考點一天體質量和密度的計算

I.解決天體(衛(wèi)星)運動問題的基本思路

(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即

Mmv24z2r

=man="I：=mco-r=/〃0

(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即表示天體表面的重力加

速度).

2.天體質量和密度的計算

(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑已

由于,故天體質量M=吟，

天體長度p-y-a3-4兀GR

(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期7和軌1道半徑廠

①由萬有引力等于向心力，即爺~「，得出中心天體質量M=會會；

②若已知天體半徑R,則天體的平均密度

_M_M_371?

P=~V=4~=G7^;

③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度"

=券.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度.

[例題1]（2023?昌平區(qū)二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學學報》中發(fā)表他關于引力常量的測量

時，曾提到他的實驗是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G,要想估測地球的密度，只

需測得（）

A.地球的質量B.地球的耳徑

C.近地衛(wèi)星的運行周期D.地球表面的重力加速度

【解答】解：ABD、根據(jù)萬有引力與重力的關系有甯=mg

解得M二^

可解得：P=y=^或P=^

可知只測得地球的質量、或地球的半徑、或地球表面的重力加速度，均不能估測地球的密度，故

ABD錯誤；

C、對于質最為m的近地衛(wèi)星，設其運行周期為T,根據(jù)萬有引力提供向心力得:簧■=m串R

結合p=%=白’可得P=郭，可知已知G,只需測得近地衛(wèi)星的運行周期’就能估測地球的

密度，故C正確。

故選：Co

[例題2]（2023?茂名二模）2022年11月29日我國“神舟十五號”載人飛船發(fā)射成功，并通過一系

列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對接，萬有引力常量為G,下列說法正確的是

一

、、、?，

、、J，

A.變軌前A是空間站，B是飛船

B.飛船的發(fā)射速度可能小于7.9km/s

C.完成對接后，飛船和空間站的運行周期大于24小時

D.若已知空間站的運行周期和地球半徑，可以測量地球密度

【解答】解：A、飛船加速后將做離心運動，軌道半徑增大，則變軌前A是飛船，B是空間站，

故A錯誤；

B、7.9km/s是最小的發(fā)射速度，可知飛船的發(fā)射速度大于7.9km/s,故B錯誤；

Mm47r2I3

C、根據(jù)萬有引力提供向心力，G—=m—r,得T=2nJ法r，完成對接后，飛船和空間站的

軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以完成對接后，飛船和空間站的運行周期小于地球同

步衛(wèi)星的運行周期24h,故C錯誤；

Mm47r2

D、根據(jù)地球半徑和空間站距離地面的高度，可以得到空間站的軌道半徑，由G▼=nB「，得

r2T2

M=^?,即可以求出地球的質量。由地球半徑能求出地球的體積，因而能求出地球的密度，故

GTL

D正確。

故選：Do

[例題3]（2023?邢臺模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，它的軌道距地心的距離等于地球半徑

的k倍，它的運動周期為T,引力常量為G,則地球的平均密度p的表達式為（）

3

A3幾k3兀一產(chǎn)

A.p=-B.P=~r-

GTZT

W+lf37r（k+l）3

D.p=

JP-GT71-GT-

47r247723

【解答】解：根據(jù)萬有引力提供向心力可得:誓=m:y，解得中心天體的質量為：M=濟r,

其中r=kR

根據(jù)密度的計算公式p=%,其中

聯(lián)立解得：p二吟,故A正確、BCD錯誤。

GT2

故選：Ao

[例題4]（2023?贛州二模）2022年10月9日，我國將衛(wèi)星“夸父一號”成功送入太陽同步晨昏物

道。從宇宙中看，衛(wèi)星一方面可視為繞地球做勻速圓周運動，軌道平面與地球的晨昏分界線共

面，衛(wèi)星軌道離地高度h七720km,周期Ti鳧lOO分鐘。另一方面衛(wèi)星隨地球繞太陽做勻速圓周

運動，周期T2=l年，衛(wèi)星軌道平面能保持垂直太陽光線，如圖所示。已知地球的半徑為R,

引力常量為G,則下列表述正確的是（）

因此e越大，衛(wèi)星運行的乂徑越小，周期也越小，故A錯誤；

GMmv2

B.由萬有引力提供向心力有——=m—

rLr

可得衛(wèi)星的線速度為\，=閆

可知8越小，飛行軌道半徑越大，速度越小，故B錯誤；

C.設地球的質量為M,衛(wèi)星質量為m,周期為T。對于衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供司心力得

GMm4n2

R

由于胃

sing

4n2R3

代入可得M=

GT2(sin^

由于引力常量G未知，因此不能測得地球的質量，故C錯誤;

D.由萬有引力與重力的關系有空:=mg

R/

可得v=JgRsin?

已知飛行器線速度v可以得到重力加速度g,故D正確。

故選：Do

考點二衛(wèi)星運行參量的比較與計算

1.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律

*肄(近地時iM=仄

2.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星

(])極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋.

(2)近地衛(wèi)星是在地球袤而附近環(huán)繞地球做勺速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的凱道半徑可近似認為等干

地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.

（3）兩種衛(wèi)星的就道平面一定通過地球的球心.

[例題6]（2023?漳州模擬）2022年7月24日，中國空間站間天實驗艙發(fā)射成功。中國空間站組建

完成后，將從空間站中釋放伴隨衛(wèi)星。如圖所示，空間站在離地高度約400km的圓軌道繞地球

運行，伴隨衛(wèi)星在橢圓軌道上繞地球運行，P、Q分別為伴隨衛(wèi)星軌道的遠地點和近地點，伴隨

衛(wèi)星在P處時位于空間站正上方，伴隨衛(wèi)星軌道半長軸與空間站軌道半徑相等，僅考慮地球的

A.空間站的知速度小于地球同步衛(wèi)星的角速度

B.空間站的線速度介于7.9km/s到11.2km/s之間

C.伴隨衛(wèi)星運行到P點時，線速度比空間站的大

D.伴隨已星繞地球的運行周期與空間站繞地球的運行周期相等

【解答】解：A、衛(wèi)星繞地球運行時，由等=m32r可得，3=再知軌道半徑越小，角速度

越大，因此空間站的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，故A錯誤：

B、第一宇宙速度是最大運行速度，因此空間站的線速度小于7.9km/s,故B錯誤；

C、伴隨衛(wèi)星過P點做近心運動，所以伴隨衛(wèi)星在P點線速度小于過P點的外切圓軌道的線速度。

由粵=血或，可得座可知外切圓軌道的線速度小于空間站的線速度。所以伴隨衛(wèi)星運

rzrY廠

行到P點時，線速度比空間站的小，故C錯誤；

D、由開普勒第三定律胃=k可知,伴隨衛(wèi)星繞地球的運行周期與空間站繞地球的運行周期相等，

故D正確。

故選：Do

[例題7]（2023?青羊區(qū)校級模擬）2022年10月7口，中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長征

十一號海射運載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導航試驗衛(wèi)星發(fā)射升空，

衛(wèi)星順利進入預定凱道。設兩顆衛(wèi)星軌道在赤道平面上，運行方向相同，運動周期也相同，其

中a衛(wèi)星為圓軌道，距離地面高度ha—2R,b衛(wèi)星為橢圓軌道，近地點M距離地面高度為遠地

點N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛(wèi)星線速度大小為“，b衛(wèi)星在近地

點M時線速度大小為在遠地點N時線速度大小為丫3,地球半徑為R，P點為兩個軌道的交

點。下列說法正確的是（）

O

A.b衛(wèi)星遠地點N距離地心距離為

B.b衛(wèi)星從N點運動到M點的時間為

C.VI>V2>V3

D.a衛(wèi)星在P點受到地球的引力大于b衛(wèi)星在N點受到地球的引力

【解答】解：A、設b衛(wèi)星運行的橢圓軌道半長軸為ao,根據(jù)開普勒第三定律有：（2*尸=理

解得：ao=3R

設近地點M距離地面高度為ho，由幾何關系有：ho+2ho+2R=2ao=6R

48

代入數(shù)據(jù)解得：%=4乩故b衛(wèi)星遠地點N距離地面高度為］R,故A錯誤;

B、對衛(wèi)星a有：=m?（竿）2?3R

GMmf

在地球表面上的物體m'有：,2=，九'。

聯(lián)立以上兒式解得：T=2工再

故衛(wèi)星從點運動到點時間為：

bNMt=1r,故B正確;

C、同一橢圓軌道上從N點到M點，根據(jù)開普勒第二定律可知V2>V3.按離心運動的原理，衛(wèi)星

bFhN點運動到P點時速度在增大，分析可知若在P點點火加速可進入圓形a軌道，可得vi>

v3；同理，根據(jù)近心運動的原理，衛(wèi)星b在近地點M減速可進入以M點高度所在處的圓軌道，

根據(jù)萬有引力公式可知當衛(wèi)星圍繞地球做圓周運動時軌道越高，速度越小，所以可知衛(wèi)星a的速

度小于M點高度所在處的圓軌道的速度。即衛(wèi)星b在近地點M的速度大于衛(wèi)星a的速度，所以

有V2>V1>V3，故C錯誤；

D、根據(jù)萬方引力公式，a、b兩衛(wèi)星在P點時到地球的距離相等，由于兩衛(wèi)星的質量關系未知,

所以無法判斷受到地球引力大小關系，故D錯誤。

故選：Bo

[例題8]（2023?遂寧三模）“神舟十三號”飛船開始在半徑為口的圓軌道1上運行，運行周期為

在A點通過變軌操作后進入橢圓軌道II運動，沿軌道II運動到遠地點C時正好與處于半徑為r3

的圓軌道III上的核心艙對接，A為橢圓軌道II的近地點.BD為橢圓軌道II的短軸。假設飛船質

量始終不變，關于飛船的運動，下列說法正確的是（）

A.沿軌道I運行時的機械能等于沿軌道II運行時的機械能

B.沿軌道I運動到A時的速率大于沿軌道II運動到C時的速率

C.沿軌道H運行的周期為?產(chǎn)票不

D.沿軌道I運動到A點時的加速度小于沿軌道II運動到B點時的加速度

【解答】解：A、匕船從軌道I轉移到軌道II,需要在A點加速，機械能增加，則沿軌道I運行

時的機械能小于沿軌道n運行時的機械能，故A錯誤；

B、飛船在軌道I和軌道III上運行時，根據(jù)萬有引力提供向心力，有G等=my,解得v=坪,

則知V[>V川。

飛船從軌道n轉移到軌道in,需要在c點加速，則沿軌道II運動到c時的速率VHCVV川，則vi

>VI|O即知沿軌道1運動到A時的速率大于沿軌道II運動到C時的速率，故B正確；

立二”蘭

,解得沿軌道運行的周期為故

C、根據(jù)開普勒第三定律有雪一瑤IIT2=TI

C錯誤；

D、由牛頓第二定律有G^?=ma,得加速度@=畿，A點到地心的距離比B點的小，所以沿軌

r2rL

道I運動到A點時的加速度大于沿軌道n運動到B點時的加速度，故D錯誤。

故選：Bo

[例題9]（2023?虹口區(qū)二模）探測器“夸父A”在距地球約150萬公里的拉格朗日Li點，與地球

?起以相同的公轉周期繞太陽做勻速圓周運動，用以監(jiān)測太陽活動的發(fā)生及其伴生現(xiàn)象，則

A.“夸父A”處于平衡狀態(tài)

B.在相同時間內(nèi)，“夸父A”的位移相同

C.“夸父A”、地球繞太陽公轉的向心加速度相同

D.“夸父A”繞太陽公轉的加速度小于地球公轉的加速度

【解答】解：A、“夸父A”繞太陽做勻速圓周運動，由合力提供向心力，處于非平衡狀態(tài)，故A

錯誤；

B、在相同時間內(nèi)，“夸父A”的位移大小相等，但方向不一定相同，所以位移不一定相同，故B

錯誤；

CD、“夸父A”在“拉格朗日Li點”和地球一起以相同的公轉周期繞太陽做勻速圓周運動，故“夸

父A”和地球繞太陽做勻速圓周運動的角速度相同，由向心加速度公式a=rw2,可知“夸父A”

的公轉半徑比地球的小，則“夸父A”繞太陽公轉的加速度小于地球公轉的加速度，故C錯誤，

D正確。

故選：D。

[例題10]（2023?包頭一模）如圖甲，兩小行星在同一平面內(nèi)繞中心天體的運動可視為勻速圓周運動，

測得兩小行星之間的距離■隨時間變化的關系如圖乙所示。下列說法正確的是（）（不考

慮兩小行星之間的作用力）

A.a星的運轉周期為T

B.兩星的周期之比Ta：Tb=l：4

C.兩星的線速度之比va：Vb=4：1

D.兩星的加速度之比aa：ab=4：1

【解答】解：B、設a星距太陽的距離為口，b星距太陽的距離為建，raVri”根據(jù)圖像有％+n>=

6r,n>-Ta=2r,解得ra=2r?rb=4r

兩小行星均繞太陽做勻速圓周運動，設a星與b星的周期分別為Ta、Tb，根據(jù)開普勒第三定律有

|-解得^=壺'故B錯誤；

C、根據(jù)17=半，可得收■=LX2=它,故C錯誤；

TvbrbTa211

A、根據(jù)圖像可知，經(jīng)過時間T兩小行星再次相距最近，a星比b星多轉2TT角度，則有汽-等T

二2口,結隙=擊’聯(lián)立解得兀=（1一￥）7，故A錯誤；

D、根據(jù)G等=ma,可得。=管，可得aa：ab=4：1,故D正確。

故選：D。

考點三衛(wèi)星變軌問題分析

1.當衛(wèi)星的速度突然增大時，譚■吟:,即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離

原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由。=、償可知其運行速度比原

軌道時減小.

2.當衛(wèi)星的速度突然減小時，堂、〃,，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫

離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛(wèi)星進入新的就道穩(wěn)定運行時由\產(chǎn)可知其運行速度比

原軌道時增大.

衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理.

［例題11］（2023?房山區(qū)一模）我國一箭多星技術居世界前列，一箭多星是用一枚運載火箭同時或先

后將數(shù)顆衛(wèi)星送入軌道的技術。某兩顆衛(wèi)星釋放過程簡化為如圖所示，火箭運行至P點時，同

時將A、B兩顆衛(wèi)星送入預定軌道。A衛(wèi)星進入軌道I做圓周運動，B衛(wèi)星進入軌道2沿橢圓

軌道運動，P點為橢圓軌道的近地點，Q點為遠地點，B衛(wèi)星在Q點噴氣變軌到軌道3,之后繞

地球做圓周運動。下列說法正確的是（）

、、、，j3

Q

A.A衛(wèi)星在P點的加速度大于BI1星在P點的加速度

B.A衛(wèi)星在軌道1的速度小于B衛(wèi)星在軌道3的速度

C.B衛(wèi)星從軌道2上Q點變軌進入軌道3時需要噴氣減速

D.B衛(wèi)星沿軌道2從P點運動到Q點過程中引力做負功

【解答】解：A、兩衛(wèi)星在P點時，根據(jù)萬有引力產(chǎn)生加速度，G^=ma

整理可得：a=G%

由于兩衛(wèi)星在P點到地心的距離相等，顯然兩衛(wèi)星的加速度相同，故A錯誤；

B、由題知，軌道I和軌道3都是圓軌道，則有：G^=m^

整理可得：u=揮

由于B衛(wèi)星在軌道3上運動的軌道半徑大于A衛(wèi)星在軌道1上運動的軌道半徑，所以B衛(wèi)星在

軌道3上運動的速度小于A衛(wèi)星在軌道1上運動的速度，故B錯誤；

C、衛(wèi)星從低軌道運動到高軌道，需要做離心運動，即在軌道相切點點火加速實現(xiàn)，所以B衛(wèi)星

在Q點變軌進入軌道3時需要向后噴氣加速，故C錯誤；

D、B衛(wèi)星沿軌道2從P點運動到Q點過程中速度減少，則動能減小，故引力做負功，故D正

確。

故選：D。

［例題12］（2023?道里區(qū)校級三模）“大問一號”從地球發(fā)射后，在如圖中所示的P點沿地火轉移軌

道運動到Q點，再依次進入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，地球、火星繞太陽軌道可視為

圓軌道。則“天問一號”（）

A.發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間

B.從P點轉移到O點的時間小于6個月

C.在地火轉移軌道運動時的速度均大「地球繞太陽的速度

D.在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上的周期小

【解答】解:A.“天問一號”發(fā)射后脫離了地球引力的克縛，所以發(fā)射速度大于第二宇宙速度,

故A錯誤；

B.根據(jù)開普勒第三定律二=匕地球公轉周期為12個月，“天問一號”在地火轉移軌道的長軸

T2

軌道半徑大于地球公轉軌道半徑，則其運行周期大于12個月，所以從P點轉移到0點的時間大

于6個月，故B錯誤；

C.地火轉移軌道Q點速度小于火星軌道Q點速度，而火星軌道Q點速度小于地球繞太陽的速

度，故C錯誤；

D.根據(jù)開普勒第三定律三=憶可知，環(huán)繞火星的停泊軌道長軸半徑小于調(diào)相軌道長軸半徑，故

在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上的周期小，故D正確。

故選：Do

［例題13］（2023?杭州二模）如圖所示，是某火星探測器簡化飛行路線圖，其地火轉移軌道是橢圓軌

道。假設探測器在近日點P點進入地火轉移軌道，在遠日點Q,被火星俘獲。已知火星的軌道

半徑是地球地火軌道半徑的1.5倍，則轉軌道（）

地火

轉移

軌道

星

周期

轉的

星公

于火

期大

的周

公轉

地球

A.

增大

逐漸

速度

道后，

轉移軌

入地火

測器進

B.探

期

公轉周

火星的

期大于

上的周

移軌道

地火轉

測器在

C.探

55天

間約2

的時

，經(jīng)歷

星俘獲

到被火

從發(fā)射

探測器

D.

律有

三定

勒第

開普

.根據(jù)

：A

】解

【解答

3

3

r

r

丫火

丫地

2-

=^

"^2

火

地

；

錯誤

，故A

的周期

星公轉

小于火

的周期

球公轉

可知地

■火，

I?地＜1

因為

錯誤;

故B

減小，

度逐漸

功，速

力做負

萬有引

道后，

轉移軌

入地火

測器進

B.探

有

定律

第三

普勒

據(jù)開

C.根

=日

埠

r處

r八+

錯誤;

故C

周期，

星公轉

小于火

的周期

軌道上

火轉移

器在地

知探測