廣東省深圳市福田區(qū)深圳實驗學校初中部2021-2022學年八年級下學期3月月考數(shù)學試題（解析版）

廣東省深圳市福田區(qū)深圳實驗學校初中部2021-2022學年八年級下學期3月月考數(shù)學試題一、單選題1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的兩個條件逐項判定即可．【詳解】解：A、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A符合題意；B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B不符合題意；C、被開方數(shù)含分母，故C不符合題意；D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式，最簡二次根式的判定條件為：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則逐一計算即可；【詳解】解：A、與不是同類二次根式不能合并，原選項不符合題意；B、，原選項不符合題意；C、，符合題意；D、2與不是同類二次根式不能合并，原選項不符合題意；故選：C【點睛】本題考查了二次根式的加減，熟練掌握運算法則是解題的關鍵3.下列各組數(shù)：①3、4、5②4、5、6③2.5、6、6.5④8、15、17，其中是勾股數(shù)的有()A.4組 B.3組 C.2組 D.1組【答案】C【解析】【詳解】解：∵32+42=52，①符合勾股數(shù)的定義；∵42+52≠62，②不符合勾股數(shù)的定義；∵2.5和6.5不是正整數(shù)，③不符合勾股數(shù)的定義；∵82+152=172，④符合勾股數(shù)的定義，是勾股數(shù)的有：①④，共2組，故選：C．4.已知直角的兩邊長分別為3和4，第三邊為（）A.5 B. C.5或 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖：

分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：第三邊長是；

②3和4都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長是；

即第三邊長是5或，

故選：C．【點睛】本題考查了對勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．5.式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.a≥-1 B.a≠2 C.a≥-1且a≠2 D.a＞2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可.【詳解】解：由題意得，解得，a≥-1且a≠2，故答案為：C.【點睛】本題考查的知識點是根據(jù)分式有意義的條件確定字母的取值范圍，屬于基礎題目，比較容易掌握.6.若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】先將45寫成平方數(shù)乘以非平方數(shù)的形式，再根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)即可確定出n的最小整數(shù)值．【詳解】解：．由是整數(shù)，得，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的基本性質(zhì)，利用二次根式的基本性質(zhì)是解題關鍵．7.如圖所示，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A.4 B.6 C.16 D.55【答案】C【解析】【分析】運用正方形邊長相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理來求解即可．【詳解】解：如圖：a，b，c都是正方形，，，，，在和中，，，，在中，由勾股定理得，．故選：C．【點睛】此題主要考查對全等三角形和勾股定理的綜合運用，結(jié)合圖形求解，對圖形的理解能力要比較強，解題的關鍵是靈活運用正方形邊長相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理來求解．8.已知a≠0且a＜b，化簡二次根式的正確結(jié)果是（）A.a B.﹣a C.a D.﹣a【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件確定的符號，然后再根據(jù)來確定、各自的符號，再去根式化簡．【詳解】解：由題意：，即，，，，所以原式，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，解題的關鍵是根據(jù)已知條件確定出、的符號，以確保二次根式的雙重非負性．9.如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在A點的螞蟻想吃到B點的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是（）A.9 B.13 C.14 D.25【答案】B【解析】【分析】畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB，然后根據(jù)勾股定理求出AB即可求出結(jié)論．【詳解】解：該圓柱的側(cè)面展開圖，如下圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB，AB恰為一個矩形的對角線，該矩形的長為圓柱的底面周長的一半，即長為24÷2=12，寬為5，∴AB==13，即沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑長為13．故選：B．【點睛】此題考查的是勾股定理與最短路徑問題，解題的關鍵是掌握勾股定理和兩點之間線段最短．10.有一個面積為1的正方形,經(jīng)過一次“生長”后,在它的左右肩上生出兩個小正方形(如圖1),其中,三個正方形圍成的三角形是直角三角形,再經(jīng)過一次“生長”后,生出了4個正方形(如圖2),如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去,它將變得“枝繁葉茂”.在“生長”了2017次后形成的圖形中所有正方形的面積和是()A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【答案】D【解析】【詳解】解：設直角三角形三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得：a2+b2=c2，即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1．推而廣之，“生長”了2017次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2018×1=2018．故選D．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關系是解答本題的關鍵．二、填空題11.比較大?。ㄌ睢?gt;”、“<”或“=”）_______.【答案】<【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減，可化簡二次根式，根據(jù)被開方數(shù)越大，算術平方根越大，可得答案．詳解】＝，＜，＜.故答案＜．【點睛】本題考查了實數(shù)比較大小，先化簡，再比較大小．12.已知最簡二次根式與的被開方數(shù)相同，則a=_________________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義以及同類二次根式的性質(zhì)，列方程求解．【詳解】由題意可知與是同類二次根式，∴3b=ab，解得a=3.故答案為3.【點睛】本題考查的知識點是最簡二次根式，解題的關鍵是熟練的掌握最簡二次根式.13.我們規(guī)定運算符號“△”的意義是：當a＞b時，a△b＝a＋b；當a≤b時，a△b＝a－b，其它運算符號的意義不變，計算：(△)－(2△3)＝__________.【答案】－＋4【解析】【分析】根據(jù)題意，先比較出＞，2＜3，再代入相應的運算法則進行計算，再根據(jù)二次根式的混合運算進行化簡.【詳解】∵當a＞b時，a△b＝a＋b；當a≤b時，a△b＝a－b，＞，2＜3，∴(△)－(2△3)＝＋－(2－3)＝－＋4.【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是根據(jù)題意進行運算化簡，再利用二次根式的運算法則進行計算.14.如圖，在6×6正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1cm）中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，△ABC的頂點都在格點處，則AC邊上的高的長度為_____cm．【答案】【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的長度，然后利用等面積法求得AC邊上的高的長度.【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，由勾股定理知，AC＝．設AC邊上的高的長度為hcm，則AB?BC＝AC?h，∴（cm）．故答案是：．【點睛】考查了勾股定理，注意：勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．15.如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為_______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可求解．【詳解】解：如圖：

由圖可知：，∵數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)軸和實數(shù)，勾股定理的應用，能讀懂圖是解此題的關鍵．16.圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會(簡稱ICME~7)的會徽,會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去,那么OA1,OA2,…,OA25這些線段中有___條線段的長度為正整數(shù).

【答案】5【解析】【分析】找到OAn=的規(guī)律，所以OA1到OA25的值分別為，，，，…，【詳解】解：根據(jù)題意，找到OAn=的規(guī)律，所以OA1到OA25的值分別為，，，，…，，故正整數(shù)為=1，=2，=3，=4，=5．故答案為5【點睛】本題主要考查勾股定理，解本題的關鍵在于利用勾股定理求得直角三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)OAn=的規(guī)律.17.如圖，等腰直角中，，D為的中點，，若P為上一個動點，則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點的含義先求解作點C關于AB對稱點，則，連接，交AB于P，連接，此時的值最小，由對稱性可知于是得到再證明，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：為的中點，作點C關于AB對稱點，交于，則，連接，交AB于P，連接．此時的值最小．由對稱性可知∴∴，點C關于AB對稱點，∴AB垂直平分，∴根據(jù)勾股定理可得故答案為：．【點睛】此題考查了軸對稱-線路最短的問題，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應用，確定動點P何位置時，使PC+PD的值最小是解題的關鍵．三、解答題18.計算：+（π﹣3）0﹣（﹣）﹣2+|2﹣3|【答案】【解析】【分析】原式分別化簡然后再進行加減運算即可得到結(jié)果．【詳解】解：+（π﹣3）0﹣（﹣）﹣2+|2﹣3|==【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算以及二次加減法，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．19.已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點如圖所示，化簡.【答案】-3a【解析】【詳解】【分析】根據(jù)數(shù)軸可知a<b<0，從而可知a+b＜0，，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)進行化簡計算即可．【詳解】由數(shù)軸可知：，，，，原式

.【點睛】本題考查了二次根式的化簡和性質(zhì)、實數(shù)與數(shù)軸，解題的關鍵是注意開方結(jié)果是非負數(shù)、以及絕對值結(jié)果的非負性.20.《城市交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街路上的行駛速度不得超過70千米/時．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測儀A正前方30米的C處，過了2秒后，小汽車行駛至B處，若小汽車與觀測點間的距離AB為50米，請通過計算說明：這輛小汽車是否超速？【答案】這輛小汽車超速了．【解析】【分析】求出BC距離，根據(jù)時間求出速度，從而可知道是否超速．【詳解】解：根據(jù)題意：∠ACB=90°由勾股定理可得：BC=米40米=0.04千米，2秒=小時；0.04÷=72千米/時>70千米/時；所以超速了．【點睛】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握構(gòu)造直角三角形，確定直角邊，斜邊即可．21.已知△ABC中，AB=AC，（1）如圖1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求證：CD=BE；（2）如圖2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的長；（3）如圖3，在△ADE中，當BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB時，試探究CD2，BD2，AH2之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）見解析（2）5（3）CD2=BD2+4AH2，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)∠DAE=∠BAC，求出∠DAC=∠BAE，再利用“SAS”證明△DAC和△EAB全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；(2)連接BE，根據(jù)CD垂直平分AE，得到AD=DE，結(jié)合條件∠DAE=60°，根據(jù)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，證明△ADE是等邊三角形，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=CD，全等三角形對應角相等可得∠BED=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，在Rt△BED中，再利用勾股定理列式，計算即可求出BD的長度；(3)過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，先證明四邊形ABFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊相等可得AB=EF，設∠AEF=x，∠ADE=y根據(jù)平行四邊形的鄰角互補，得∠BAE=180°-x，根據(jù)等邊三角形三邊相等，得到∠EAD=AED=y，根據(jù)周角等于360°求出∠CAD的度數(shù)，從而得到∠CAD=∠FED，然后利用“SAS”證明△ACD和△FED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CD=DF，在Rt△BDF中，利用勾股定理結(jié)合條件BF=AE=2AH，列式即可得到答案．【小問1詳解】如圖1∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，在△ACD與?ABE中，∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴CD=BE；【小問2詳解】連接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=60°∴△ADE是等邊三角形．∴DE=AD=3∴∠CDA=∠ADE=°=30°，由(1)得△ACD≌△ABE，∴BE=CD=4，∵∠BEA=∠CDA=30°，∵∠BED=∠AED+∠BEA=60°+30°=90°∴BE⊥DE．在Rt△BED中，BD=∴BD=5；【小問3詳解】(3)CD2=BD2+4AH2，理由如下：如圖，過B作BF=AE，且BF⊥BD連接DF，EF則四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB=AC=EF，∴BD垂直平分AE，∴AD=DE設∠AEF=x，∠AED=y，則∠FED=x+y，∠BAE=180°-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y，∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-(180°-2y)-(180°-x)-y=x+y∴∠FED=∠CAD，在△ACD和△EFD中，∴△ACD≌△EFD(SAS)，∴CD=FD，在Rt△BDF中，根據(jù)勾股定理：BD2+BF2=DF2∵BF=AE=2AH，∴CD2=BD2+4AH2【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用及全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等，熟悉掌握全等三角形的判定定理以及勾股定理解直角三角形是解題的關鍵．22.觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例1：====．例2：=﹣，=﹣，=﹣利用以上結(jié)論解答以下問題：（1）=（2）應用上面的結(jié)論，求下列式子的值．+++…+（3）拓展提高，求下列式子的值．+++…+【答案】（1）﹣；（2）9；（3）【解析】【分析】(1)、利用平方差公式將分母進行有理化，得出化簡結(jié)果；(2)、首先將各式進行分母有理數(shù)，然后進行加減法計算得出答案；(3)、將各式利用平方差公式進行分母有理數(shù)，然后進行加減法計算得出答案【詳解】解：（1）；（2）++…+，=++…+，=﹣1+，=9；（3）+++…+=++…+，=（﹣1+++…+），=（﹣1+）=23.閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數(shù)學等式：，化簡證得勾股定理：．（1）【初步運用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；（2）【初步運用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為；（3）【初步運用】如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風車狀圖案的面積．（4）【初步運用】如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．（5）【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關系，寫出此等量關系式及其推導過程（知識補充：如圖6，含60°的直角三角形，對邊y：斜邊x＝定值k）．【答案】（1）5：9（2）28（3）24（4）（5），見解析【解析】【分析】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可；（2）根據(jù)空白部分的面積＝小正方形的面積﹣2個直角三角形的面積計算即可；（3）可設AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計算即可求解；（4）根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可；（5）根據(jù)大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積，構(gòu)建關系式即可．【小問1詳解】∵，b＝2a，∴c＝a，∴小正方形面積：大正方形面積＝(a)2：(3a)2＝5：9，故答案為：5：9；【小問2詳解】根據(jù)題意可求，∵空白部分的面積為=小正方形的面積-兩個三角形的面積，∴空白部分的面積為=52-2××4×6＝28．故答案為：28；【小問3詳解】根據(jù)題意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．設AC＝x，則OA＝3+x，AB＝6-x．在中，，即，解得x＝1，∴OA=4，∴該風車狀圖案的面積=；【小問4詳解】將四邊形MTKN的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案為：；【小問5詳解】結(jié)論：．由題意：大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積可得：，∴∴．【點睛】本題考查勾股定理的證明和應用，根據(jù)圖形得出面積關系是解題的關鍵．24.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把△