專題04 函數(shù)的概念及其表示（考點清單）（解析版）-高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（人教A版2019）

專題04函數(shù)的概念及其表示（考點清單）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、思維導(dǎo)圖 2二、知識回歸 2三、典型例題講與練 3考點清單01定義域 3【期末熱考題型1】求常規(guī)函數(shù)的定義域 3【期末熱考題型2】求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域 4考點清單02值域 6【期末熱考題型1】一次、二次、反比例函數(shù)的值域 6【期末熱考題型2】根式型值域 7【期末熱考題型3】分式型值域 9考點清單03解析式 11【期末熱考題型1】待定系數(shù)法 11【期末熱考題型2】換元法 13【期末熱考題型3】方程組（消去）法 14【期末熱考題型4】賦值法求抽象函數(shù)的解析式 15

一、思維導(dǎo)圖二、知識回歸知識回顧1：函數(shù)的定義一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.函數(shù)的四個特征：①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)（可以多對一，不能一對多）.④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.知識回顧2：數(shù)的三要素（1）定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．（2）對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對自變量實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).知識回顧3：求函數(shù)解析式（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．（2）換元法：主要用于解決已知這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.（3）配湊法：由已知條件，可將改寫成關(guān)于的表達式，（4）方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。三、典型例題講與練01定義域【期末熱考題型1】求常規(guī)函數(shù)的定義域【解題方法】使得函數(shù)有意義的范圍【典例1】（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，解得，故選：A【典例2】（2023上·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學(xué)校考期中）函數(shù)的定義域為.【答案】【詳解】由題意知，，解得且，故函數(shù)的定義域為.故答案為：.【專訓(xùn)1-1】（2016上·寧夏銀川·高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為.【答案】【詳解】因為，所以，即解得，所以函數(shù)的定義域為,故答案為：【專訓(xùn)1-2】（2023上·北京朝陽·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域是；函數(shù)的定義域為.【答案】【詳解】由知，得，故定義域為；由知，得或，故定義域為故答案為：；【期末熱考題型2】求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域【解題方法】對應(yīng)關(guān)系“”作用下的整體取值范圍相同【典例1】（2022上·江西南昌·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以滿足，即，又函數(shù)有意義，得，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：C【典例2】（2023上·廣東惠州·高一校考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【詳解】解：因為的定義域為，即，所以，即函數(shù)的定義域為，所以的定義域為不等式組的解集，解此不等式組得：，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，所以，要使函數(shù)有意義，則解得.故選：D【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津北辰·高一天津市第四十七中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)，則的定義域為．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，故，的定義域滿足：，解得，故定義域為.故答案為：02值域【期末熱考題型1】一次、二次、反比例函數(shù)的值域【解題方法】分離常數(shù)法【典例1】（2023上·貴州黔東南·高一凱里一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，從而可知函數(shù)的值域為.故選：D.【典例2】（2023上·北京·高一?？计谥校┖瘮?shù)，的值域為.【答案】【詳解】二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，所以當時，取得最小值為，當時，取得最大值為，所以函數(shù)的值域為.故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┖瘮?shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，故函數(shù)的值域為，故選：【專訓(xùn)1-2】（2023上·廣西南寧·高一南寧市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域為．【答案】【詳解】由函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當時，得到；當時，得到，所以函數(shù)在的值域為.故答案為：.【期末熱考題型2】根式型值域【解題方法】換元法【典例1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中期中）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：令，當時，，又，所以，，即所以，故選：D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】令，則，容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，，所以該函數(shù)在時取到最大值，當時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)值域為.故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】設(shè)，，則，所以，等號成立所以函數(shù)的值域為.故答案為：.【專訓(xùn)1-2】（2023·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，令，則，所以，對稱軸方程為，所以時，函數(shù)，故值域為；（2）由題意得，解得，則，由可得，，由y的非負性知，，故函數(shù)的值域為.【期末熱考題型3】分式型值域【解題方法】分離常數(shù)法，換元法，判別法【典例1】（2023上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.【答案】【詳解】函數(shù)，當時，；當時，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，，則，所以，當時，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是.故答案為：【典例2】（2022上·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是.【答案】【詳解】因為，因為，所以，則有，當且僅當，即時取等號，所以，因為，所以，則函數(shù)的值域為，故答案為：.【專訓(xùn)1-1】（2023上·天津紅橋·高一天津市第五中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】定義域為，因為，所以，即，所以的值域為.故答案為：.【專訓(xùn)1-2】（2021上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的值域是.【答案】【詳解】解：，因為所以函數(shù)的定義域為令，整理得方程：當時，方程無解；當時，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域為.故答案為：03解析式【期末熱考題型1】待定系數(shù)法【解題方法】設(shè)出函數(shù)解析式，對比系數(shù)求解【典例1】（2023上·河南南陽·高一河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已已知是一次函數(shù)，且，求.【答案】或【詳解】設(shè)，則，，或，或．故答案為：或.【典例2】（2022上·江蘇南京·高一江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）設(shè)，由，得又，則，解得，所以.（2）由已知，即，即，①當時，原不等式即為：，解得；②當時，解得；③當時，解得綜上，當時，不等式的解集為：，當時，不等式的解集為：，當時，不等式的解集為：.【專訓(xùn)1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式.【答案】或【詳解】設(shè)，則,所以，解得或，所以函數(shù)的解析式為或.【專訓(xùn)1-2】（2021上·高一課前預(yù)習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且，求；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，求.【答案】（1）或；（2）.【詳解】（1）設(shè)，則因為，所以所以解得或所以或（2）設(shè)由，得由得整理，得所以所以所以【期末熱考題型2】換元法【解題方法】換元法【典例1】（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】令，則，所以，綜上，.故選：B【典例2】（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足，則函數(shù)值域為.【答案】【詳解】令，則，所以，所以的解析式為，其中.當時，，所以值域為,故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學(xué)校考階段練習(xí)）解答下面兩題(1)已知，求的函數(shù)解析式；【答案】(1)【詳解】（1）令，則，代入原式有，所以.【專訓(xùn)1-2】（2023·全國·高三對口高考）（1）已知，求；（2）已知，求；【答案】（1）或;（2）;【詳解】因為當時，當時，所以或.(2)令,則,【期末熱考題型3】方程組（消去）法【解題方法】聯(lián)立方程組消元【典例1】（2023上·四川達州·高一?？计谥校?）已知一次函數(shù)滿足條件，求函數(shù)的解析式；【答案】（1）；【詳解】（1）設(shè)，，，，即，，解得，；【典例2】（2023上·山東泰安·高一泰安一中校考期中）已知函數(shù)滿足：.(1)求函數(shù)的解析式：【答案】(1)，【詳解】（1）∵，，①∴，∴，②∴②×2－①得，，∴，.【專訓(xùn)1-1】（2023上·寧夏銀川·高一?？计谥校┓謩e求滿足下列條件的的解析式：(1)已知，求函數(shù)的解析式；【答案】(1).【詳解】（1）由，得，于是，消去得，所以函數(shù)的解析式為.【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林通化·高一梅河口市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）【詳解】（1）①②，②－①得，．【期末熱考題型4】賦值法求抽象函數(shù)的解析式【解題方法】賦值法【典例1】（多選）（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)定義域為，且，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對于A，中令，則，A正確；對于BCD，再令，則，即①所以即②，又因為也符合上式，C正確；聯(lián)立①②，解得，D錯誤，B錯誤.故選：AC.【典例2】（2023上·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿