2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章復(fù)數(shù)10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運算教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運算[課程目標]1.駕馭復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除及乘方運算；2.駕馭復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化關(guān)系．學問點一復(fù)數(shù)的三角形式[填一填]1．假如非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z(a，b)，且r為向量eq\o(OZ,\s\up16(→))的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個角，則r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，依據(jù)隨意角余弦、正弦的定義可知，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此，a＝rcosθ，b＝rsinθ，如圖所示，從而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角形式(對應(yīng)地，a＋bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式)，其中的θ稱為z的輻角．2．任何一個非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且隨意兩個輻角之間都相差2π的整數(shù)倍．特殊地，在[0,2π)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.[答一答]1．復(fù)數(shù)的三角形式條件是什么？提示：z＝r(cosθ＋isinθ)，①r≥0.②加號連接．③余弦在前，正弦在后．④θ前后一樣，可隨意值．學問點二復(fù)數(shù)三角形式的乘法[填一填]1．設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．2．兩個復(fù)數(shù)相乘的幾何意義：設(shè)z1，z2對應(yīng)的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，將eq\o(OZ1,\s\up16(→))繞原點旋轉(zhuǎn)θ2，再將eq\o(OZ1,\s\up16(→))的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，假如所得向量為eq\o(OZ,\s\up16(→))，則eq\o(OZ,\s\up16(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為z1z2，如圖所示．3．假如n∈N，則[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]．[答一答]2．復(fù)數(shù)三角形式的乘法的運算原則是什么？提示：兩個復(fù)數(shù)相乘，其積還是一個復(fù)數(shù)，它的模等于兩個復(fù)數(shù)模的積，它的輻角等于兩個復(fù)數(shù)輻角的和．也就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，是把模相乘作為積的模，把輻角相加作為積的輻角．學問點三復(fù)數(shù)三角形式的除法[填一填]1．設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．2．兩個復(fù)數(shù)相除的幾何意義：設(shè)z1，z2對應(yīng)的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，將eq\o(OZ1,\s\up16(→))繞原點順時針旋轉(zhuǎn)θ2，再將eq\o(OZ,\s\up16(→))的模變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,r2)，假如所得向量為eq\o(OZ,\s\up16(→))，則eq\o(OZ,\s\up16(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為eq\f(z1,z2)，如圖所示．[答一答]3．復(fù)數(shù)三角形式除法的運算法則是什么？提示：兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，其商還是一個復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，它的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．也就是說，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，是把模相除作為商的模，輻角相減作為商的輻角．類型一由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式[例1]下列各式是否是三角形式，若不是，化為三角形式．(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ；(4)z4＝sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.[分析]由三角形式的結(jié)構(gòu)特征，確定推斷的依據(jù)和變形的方向變形時，可依據(jù)如下步驟進行：首先確定復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在象限(此處可假定θ為銳角)，其次推斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最終確定輻角，此步驟可簡稱為“定點→定名→定角”這樣，使變形的方向更具操作性，能有效提高解決此類問題的正確率．[解](1)由“模非負”知，不是三角形式，需做變換z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在復(fù)平面上對應(yīng)的點(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ為銳角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“π＋θ”將θ變換到第三象限，∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加號連”知，不是三角形式．z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(cosθ2，－sinθ)在第四象限(假定θ為銳角)，不需變更三角函數(shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“2π－θ”或“－θ”將θ變換到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(－sinθ，cosθ)在其次象限(假定θ為銳角)，需變更三角函數(shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“eq\f(π,2)＋θ”將θ變換到其次象限．∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ)．(4)同理(3)z4＝sinθ－icosθ＝cos(eq\f(3,2)π＋θ)＋isin(eq\f(3,2)π＋θ)．(5)z5＝cos60°＋isin30°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i＝eq\f(1,2)(1＋i)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一．對這類與三角形式很相像的式子，如何將之變換為三角形式，對于初學者來講是個難點，有了“定點→定名→定角”這樣一個可操作的步驟，應(yīng)能夠很好地解決此類問題.[變式訓(xùn)練1]把下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化成三角式：(1)eq\r(3)＋i；(2)1＋i；(3)－4＋3i.解：(1)r＝eq\r(3＋1)＝2，∵eq\r(3)＋i對應(yīng)的點在第一象限，∴tanθ＝eq\f(1,\r(3))，即θ＝eq\f(π,6)，∴eq\r(3)＋i＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))).(2)∵r＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，而1＋i對應(yīng)的點在第一象限，∴tanθ＝eq\f(1,1)＝1，∴θ＝eq\f(π,4)，∴1＋i＝eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(3)∵r＝eq\r(9＋16)＝5.－4＋3i對應(yīng)點在其次象限，tanθ＝－eq\f(3,4)，∴θ＝π－arctaneq\f(3,4)，∴－4＋3i＝5[cos(π－arctaneq\f(3,4))＋isin(π－arctaneq\f(3,4))]．類型二復(fù)數(shù)的模及輻角主值[例2]求復(fù)數(shù)z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模與輻角主值．[分析]式子中多了個“1”，只有將“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”．[解]z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2eq\f(θ,2)－1)＋2isineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2coseq\f(θ,2)(coseq\f(θ,2)＋isineq\f(θ,2))．(1)∵π<θ<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，∴coseq\f(θ,2)<0，∴(1)式右端＝－2coseq\f(θ,2)(－coseq\f(θ,2)－isineq\f(θ,2))＝－2coseq\f(θ,2)[cos(π＋eq\f(θ,2))＋isin(π＋eq\f(θ,2))]∴r＝－2coseq\f(θ,2).∵eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，∴eq\f(3,2)π<π＋eq\f(θ,2)<2π，∴argz＝π＋eq\f(θ,2).復(fù)數(shù)2coseq\f(θ,2)(coseq\f(θ,2)＋isineq\f(θ,2))從形式上看好像就是三角形式，不少同學認為r＝2coseq\f(θ,2)，argz＝eq\f(θ,2).錯誤之處在于他們沒有去考慮θ角的范圍，因此肯定要用“模非負，角相同，余弦前，加號連”來推斷是否為三角形式．看了這道例題，你肯定能解決如z1＝1－cosθ－isinθ(π<θ<2π)，z2＝1＋cosθ－isinθ(π<θ<2π)等類似問題．[變式訓(xùn)練2](1)復(fù)數(shù)sin50°－isin140°的輻角主值是(D)A．150° B．40°C．－40° D．320°解析：sin50°>0，－sin140°<0，復(fù)數(shù)sin50°－isin140°在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第四象限，因為sin50°－isin140°＝cos40°－isin40°＝cos(360°－40°)＋isin(360°－40°)＝cos320°＋isin320°，所以輻角主值為320°.(2)當實數(shù)m＝0時，復(fù)數(shù)(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的輻角主值是eq\f(5,4)π.解析：因為輻角主值為eq\f(5,4)π，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2≤0，,2m2－3m－2≤0，,\f(2m2－3m－2,m2－m－2)＝1，))解得m＝0.類型三復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算[例3]計算：3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)]·[10(cos80°＋isin80°)]．[解]3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)][10(cos80°＋isin80°)]＝3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)]＝60(cos150°＋isin150°)＝60(－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i)＝－30eq\r(3)＋30i.若遇到復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式混合相乘時，需將相混的復(fù)數(shù)統(tǒng)一成代數(shù)式或三角式，然后進行復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘或三角式相乘.[變式訓(xùn)練3]計算：(－1＋i)[eq\r(3)(coseq\f(7,4)π＋isineq\f(7,4)π)]．解：|－1＋i|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2)，cosθ＝eq\f(－1,\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，sinθ＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴可取θ＝eq\f(3,4)π.故－1＋i的三角形式為eq\r(2)(coseq\f(3,4)π＋isineq\f(3,4)π)．原式＝eq\r(2)(coseq\f(3,4)π＋isineq\f(3,4)π)[eq\r(3)(coseq\f(7,4)π＋isineq\f(7,4)π)]＝eq\r(2)·eq\r(3)[cos(eq\f(3,4)π＋eq\f(7,4)π)＋isin(eq\f(3,4)π＋eq\f(7,4)π)]＝eq\r(6)(coseq\f(5,2)π＋isineq\f(5,2)π)＝eq\r(6)(coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2))＝eq\r(6)i.[例4]已知n∈N*，求證：(cosθ－isinθ)n＝cosnθ－isinnθ.[證明]左邊＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]n＝[cos(－nθ)＋isin(－nθ)]＝cosnθ－isinnθ＝右邊．復(fù)數(shù)n次冪的模等于這個復(fù)數(shù)的模的n次冪.它的輻角等于這個復(fù)數(shù)的輻角的n倍.也就是說，復(fù)數(shù)的n次冪n∈N，是把模的n次冪作為冪的模，把輻角的n倍作為冪的輻角.[變式訓(xùn)練4]計算：(1)[eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))]10；(2)[2(coseq\f(2π,15)＋isineq\f(2π,15))]5.解：(1)[eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))]10＝(eq\r(2))10(coseq\f(5,2)π＋isineq\f(5,2)π)＝32(coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2))＝32i.(2)[2(coseq\f(2π,15)＋isineq\f(2π,15))]5＝25(coseq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3))＝32(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝－16＋16eq\r(3)i.類型四復(fù)數(shù)三角形式的除法運算[例5]已知復(fù)數(shù)z＝r(cosθ＋isinθ)，r≠0，求eq\f(1,z)的三角形式．[解]eq\f(1,z)＝eq\f(cos0°＋isin0°,rcosθ＋isinθ)＝eq\f(1,r)[cos(0°－θ)＋isin(0°－θ)]＝eq\f(1,r)[cos(－θ)＋isin(－θ)]．由此例可以看出，一個非零復(fù)數(shù)的倒數(shù)，其模是原來復(fù)數(shù)的模的倒數(shù)，其輻角是原來復(fù)數(shù)輻角的相反數(shù).[變式訓(xùn)練5]計算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]．解：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]＝eq\f(4,2)[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)]＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)]＝2(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝－1＋eq\r(3)i.1．復(fù)數(shù)eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i的三角形式是(D)A．cos(－eq\f(π,3))－isin(－eq\f(π,3))B．coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)C．coseq\f(π,3)－i