2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6講幾何概型創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第6講幾何概型[考綱解讀]1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．2．了解幾何概型的意義，并能求與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型的概率．(重點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講是高考的熱點(diǎn)之一．預(yù)料2024年將會(huì)考查：①與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，常與函數(shù)、不等式、向量結(jié)合；②與面積有關(guān)的幾何概型，常涉及線性規(guī)劃、定積分等內(nèi)容．題型為客觀題，試題難度不大，屬中、低檔試題.1.幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的eq\o(□,\s\up1(01))長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).1．概念辨析(1)幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的．()(2)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)．()(3)幾何概型中，每一個(gè)基本領(lǐng)件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小題熱身(1)有四個(gè)嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一個(gè)玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()答案A解析如題干選項(xiàng)中圖，各種狀況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故選A.(2)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析區(qū)間[－2,4]的長(zhǎng)度為6，在[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則對(duì)應(yīng)區(qū)間長(zhǎng)度為5，由[－2,3]的長(zhǎng)度為5，得m＝3.(3)(2024·福州四校聯(lián)考)如圖，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點(diǎn)在eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))上任取一點(diǎn)C作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)答案A解析記事務(wù)T是“作射線OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如圖，記eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的三等分點(diǎn)為M，N，連接OM，ON，則∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)＝eq\f(∠MON,∠AOB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3)，故選A.(4)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)答案1－eq\f(π,12)解析正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).題型一與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型1．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案A解析不等式－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\s\do4(\f(1,2))2≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).條件探究1將本例中的條件“－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”改為“使函數(shù)y＝eq\r(log\s\do4(\f(1,2))4x－3)有意義”，則其概率為________．答案eq\f(1,8)解析由logeq\s\do4(\f(1,2))(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(1－\f(3,4),2－0)＝eq\f(1,8).條件探究2將本例中的條件“－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”改為“2≤2x＋eq\s\up4(\f(1,2))≤4”，則其概率為________．答案eq\f(1,2)解析由2≤2x＋eq\f(1,2)≤4得1≤x＋eq\f(1,2)≤2，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(\f(3,2)－\f(1,2),2－0)＝eq\f(1,2).2．(2024·東北三省三校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝1，BC＝eq\r(3)，在邊AD上任取點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，則AF<eq\f(1,2)的概率為________．答案eq\f(\r(3),3)解析由題意，得△ABC為直角三角形，由AB＝1，BC＝eq\r(3)，得AC＝2.當(dāng)AF＝eq\f(1,2)時(shí)，CF＝eq\f(3,2)，因?yàn)椤鰽FE∽△CFB，所以eq\f(AE,AF)＝eq\f(BC,CF)，即eq\f(AE,\f(1,2))＝eq\f(\r(3),\f(3,2))，所以AE＝eq\f(\r(3),3)，且點(diǎn)E的活動(dòng)區(qū)域?yàn)榫€段AD，AD＝1.所以AF<eq\f(1,2)的概率為eq\f(\f(\r(3),3),1)＝eq\f(\r(3),3).3．如圖，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交AB于點(diǎn)M，則使得AM小于AC的概率為________．答案eq\f(3,4)解析當(dāng)AM＝AC時(shí)，△ACM為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，∠ACM＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.當(dāng)∠ACM＜67.5°時(shí)，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝eq\f(∠ACM的度數(shù),∠ACB的度數(shù))＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型(1)假如試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度).(2)與時(shí)間、不等式及其解有關(guān)的概率問(wèn)題與時(shí)間、不等式及其解有關(guān)的概率問(wèn)題可依據(jù)轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，利用幾何概型求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不行用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．1．(2024·河南八市重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)盟模擬)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋8(－4≤x≤6)，在其定義域內(nèi)任取一點(diǎn)x0，使f(x0)≥0的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案C解析由題意，得f(x0)≥0，即－xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8≥0，解得{x0|－2≤x0≤4}，所以由長(zhǎng)度的幾何概型可得概率為P＝eq\f(4－－2,6－－4)＝eq\f(3,5).2．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧eq\o\ac(DE,\s\up15(︵))，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為.答案eq\f(1,3)解析因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本領(lǐng)件為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域?yàn)椤螩AB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).題型二與面積有關(guān)的幾何概型角度1與隨機(jī)模擬相關(guān)的幾何概型1．(2024·鄭州三模)關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)很多很有創(chuàng)意的求法，如聞名的蒲豐試驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值，試驗(yàn)步驟如下：①先請(qǐng)高二年級(jí)n名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為m；④依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)n，m估計(jì)π的值．可以估計(jì)π的值約為()A.eq\f(m,n) B.eq\f(n－m,n)C.eq\f(4n－m,n) D.eq\f(4m,n)答案C解析如圖所示，實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的內(nèi)部(不包括邊界)，若能和1構(gòu)成銳角三角形，則x，y滿意x2＋y2>1，則實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)在如圖所示的陰影部分(不包括邊界)，則能構(gòu)成銳角三角形的概率為eq\f(1－\f(π,4),1)＝eq\f(m,n)，解得π＝eq\f(4n－m,n).角度2與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題2．(2024·晉冀魯豫中原名校聯(lián)考)1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教化日志》上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡(jiǎn)潔明白地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國(guó)其次十任總統(tǒng)．后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”．如圖，設(shè)∠BEC＝15°，在梯形ABCD中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等腰直角三角形CDE中(陰影部分)的概率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析在直角三角形EBC中，a＝ccos15°，b＝csin15°，則P＝eq\f(S△CDE,S梯形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)c2,\f(1,2)a＋b2)＝eq\f(c2,c2cos15°＋sin15°2)＝eq\f(1,1＋sin30°)＝eq\f(2,3).角度3與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型3．(2024·大慶模擬)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－y≥0，))表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)滿意不等式x2＋y2≤2的概率為()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2＋π) D.eq\f(1,\r(2)＋π)答案A解析畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－y≥0))所表示的區(qū)域Ω，易知A(2,2)，B(2，－2)，所以△AOB的面積為4，滿意不等式x2＋y2≤2的點(diǎn)，在區(qū)域Ω內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，eq\r(2)為半徑的eq\f(1,4)圓面，其面積為eq\f(π,2)，由幾何概型的公式可得其概率為P＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).角度4與定積分有關(guān)的幾何概型4．(2024·常德一中模擬)如圖，在矩形OABC中的曲線分別是y＝sinx，y＝cosx的一部分，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，C(0,1)，在矩形OABC內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為p1，取自非陰影部分的概率為p2，則()A．p1<p2 B．p1>p2C．p1＝p2 D．大小關(guān)系不能確定答案B解析依據(jù)題意，得陰影部分的面積的一半為eq∫\s(\f(π,4),0)(cosx－sinx)dx＝sinx＋cosxeq|\s(\f(π,4),0)＝eq\r(2)－1，于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為p1＝2×eq\f(\r(2)－1,\f(π,2))＝eq\f(4\r(2)－1,π)>eq\f(4×1.4－1,3.2)＝eq\f(1,2).又p2＝1－p1<eq\f(1,2)，故p1>p2.1．與平面幾何、解析幾何等學(xué)問(wèn)交匯問(wèn)題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)學(xué)問(wèn)，先確定基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形態(tài)，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率．見舉例說(shuō)明1、2.2．與線性規(guī)劃交匯問(wèn)題的解題思路先依據(jù)約束條件作出可行域，再確定形態(tài)，求面積大小，進(jìn)而代入公式求概率．見舉例說(shuō)明3.3．與定積分交匯問(wèn)題的解題思路先確定基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形態(tài)構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計(jì)算，并求其大小，進(jìn)而代入公式求概率．見舉例說(shuō)明4.1．中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”．太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．依據(jù)太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案(如圖)，其中小圓的半徑均為2，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,36)答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象與x軸交于點(diǎn)(6,0)和點(diǎn)(－6,0)，則大圓的半徑為6，所以S大圓＝36π.又小圓的半徑為2，故兩個(gè)小圓的面積和為8π，所以所求的概率為P＝eq\f(8π,36π)＝eq\f(2,9).2．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________．答案eq\f(5,12)解析由題圖可知S陰影＝S矩形ABCD－eq\i\in(1,2,)x2dx＝1×4－eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(1,3)))＝eq\f(5,3)，則所求事務(wù)的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(5,3),4)＝eq\f(5,12).3．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)的概率；(2)若a，b∈[1,6]，求滿意y＝f(x)有零點(diǎn)的概率．解(1)設(shè)(a，b)表示一個(gè)基本領(lǐng)件，則拋擲兩次骰子的全部基本領(lǐng)件共36個(gè)．用A表示事務(wù)“y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包含的基本領(lǐng)件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個(gè)，所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).即事務(wù)“y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)”的概率為eq\f(1,12).(2)用B表示事務(wù)“y＝f(x)有零點(diǎn)”，即a＋1≥2b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，構(gòu)成事務(wù)B的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．如圖所示：所以所求的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,2)×5×\f(5,2),5×5)＝eq\f(1,4).即事務(wù)“y＝f(x)有零點(diǎn)”的概率為eq\f(1,4).題型三與體積有關(guān)的幾何概型某個(gè)四面體的三視圖如圖所示，若在該四面體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為()A.eq\f(9,13π) B.eq\f(1,13π)C.eq\f(9\r(13),169π) D.eq\f(\r(13),169π)答案C解析由三視圖可知該立體圖形為三棱錐，其底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為3eq\r(2)的等腰直角三角形，高為4，所以該三棱錐的體積為12，又外接球的直徑2r為以三棱錐的三個(gè)兩兩垂直的棱為長(zhǎng)、寬、高所作的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即2r＝eq\r(42＋3\r(2)2＋3\r(2)2)＝2eq\r(13)，所以球的體積為eq\f(52\r(13)π,3)，所以點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為eq\f(12,\f(52\r(13)π,3))＝eq\f(9\r(13),169π).與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題假如試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用空間幾何體的體積表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積).求解的關(guān)鍵是計(jì)算事務(wù)的總體積以及事務(wù)A的體積.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為________．答案eq\f(1,2)解析過(guò)M作平面α∥平面ABCD，則兩平面間的距離是四棱錐M－ABCD的高，明顯M在平面α上隨意位置時(shí)，四棱錐M－ABCD的體積都相等．若此時(shí)四棱錐M－ABCD的體積等于eq\f(1,6).只要M在截面以下即可小于eq\f(1,6)，當(dāng)VM－ABCD＝eq\f(1,6)時(shí)，即eq\f(1,3)×1×1×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(1,2)，即點(diǎn)M究竟面ABCD的距離，所以所求概率P＝eq\f(1×1×\f(1,2),1×1×1)＝eq\f(1,2).組基礎(chǔ)關(guān)1．在區(qū)間[0,2π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，由sinx≤eq\f(1,2)得0≤x≤eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)≤x≤2π，因此所求概率為P＝1－eq\f(\f(5π,6)－\f(π,6),2π)＝eq\f(2,3).2．(2024·山東師范高校附中模擬)“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的珍寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖中陰影部分所示)的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，已知恰有400個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是()A．2 B．3C．10 D．15答案C解析設(shè)陰影部分的面積是S，由題意得eq\f(400,1000)＝eq\f(S,52)，∴S＝10，選C.3．(2024·陜西南鄭中學(xué)模擬)如圖，矩形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)依次為O(0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，C(0,1)，記線段OC，CB以及y＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,2)))的圖象圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)為Ω，若向矩形OABC內(nèi)隨意投一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為()A.eq\f(π,2)－eq\f(2,π) B.eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D．1－eq\f(2,π)答案D解析易知題圖中矩形空白處的面積S＝eq∫\s(\f(π,2),0)sinxdx＝(－cosx)eq|\s(\f(π,2),0)＝1，故陰影部分的面積為1×eq\f(π,2)－S＝eq\f(π,2)－1，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率P＝eq\f(\f(π,2)－1,\f(π,2))＝1－eq\f(2,π).4．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深化探討比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使得其中較長(zhǎng)的一段AC是全長(zhǎng)AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿意eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.后人把這個(gè)數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．在△ABC中，若點(diǎn)P，Q為線段BC的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在△APQ內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\r(5)－2C.eq\f(\r(5)－1,4) D.eq\f(\r(5)－2,2)答案B解析設(shè)BC＝1，則BQ＝PC＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以BC＋PQ＝BQ＋PC＝eq\r(5)－1，所以PQ＝eq\r(5)－2，所以所求概率P＝eq\f(S△APQ,S△ABC)＝eq\f(PQ,BC)＝eq\r(5)－2.故選B.5．已知區(qū)域Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，區(qū)域E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域E內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)答案D解析如圖，區(qū)域Ω表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽OB的邊界及其內(nèi)部，區(qū)域E表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰿OD的邊界及其內(nèi)部，所以點(diǎn)P落在區(qū)域E內(nèi)的概率為eq\f(S△COD,S△AOB)＝eq\f(\f(1,2)×2×4,\f(1,2)×6×6)＝eq\f(2,9).故選D.6．(2024·青島二中模擬)在區(qū)間[－2,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)b.若使直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝a有交點(diǎn)的概率為eq\f(1,2)，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案B解析由直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝a有交點(diǎn)，得圓心到直線的距離d＝eq\f(|b|,\r(2))≤eq\r(a)，解得b∈[－eq\r(2a)，eq\r(2a)]．又b∈[－2,2]，且直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝a有交點(diǎn)的概率為eq\f(1,2)，所以由幾何概型的概率公式可知P＝eq\f(\r(2a)－－\r(2a),2－－2)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).7．如圖，正四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．答案eq\f(1,2π)解析設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝eq\f(V錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).8．(2024·安徽馬鞍山月考)如圖，扇形AOB的圓心角為eq\f(π,2)，點(diǎn)P在弦AB上，且OP＝eq\r(2)AP，延長(zhǎng)OP交弧AB于點(diǎn)C，則∠AOC＝________；現(xiàn)向該扇形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形AOC內(nèi)的概率為________．答案eq\f(π,6)eq\f(1,3)解析在△AOP中，eq\f(OP,sin\f(π,4))＝eq\f(AP,sin∠AOC)，因?yàn)镺P＝eq\r(2)AP，所以s