2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

課時(shí)作業(yè)8“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)時(shí)間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題5分，共計(jì)40分)1．在(a－b)20的二項(xiàng)綻開(kāi)式中，與第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是(B)A．第15項(xiàng)B．第16項(xiàng)C．第17項(xiàng)D．第18項(xiàng)解析：第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(5,20)，與它相等的為倒數(shù)第6項(xiàng)，即第16項(xiàng)．2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8等于(A)A．180 B．－180C．45 D．－45解析：∵(2－x)10＝Ceq\o\al(0,10)210(－x)0＋Ceq\o\al(1,10)29(－x)1＋…＋Ceq\o\al(8,10)22(－x)8＋Ceq\o\al(9,10)2(－x)9＋Ceq\o\al(10,10)(－x)10，∴a8＝Ceq\o\al(8,10)22＝4×Ceq\o\al(2,10)＝4×eq\f(10×9,2×1)＝4×45＝180.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和是(D)A．2n＋1 B．2n＋1＋1C．2n＋1－1 D．2n＋1－2解析：令x＝1，可知其各項(xiàng)系數(shù)和為2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的綻開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(B)A．－7 B．7C．－28 D．28解析：由已知n為偶數(shù)，則eq\f(n,2)＋1＝5，∴n＝8.∴(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))n＝(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))8的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\f(x,2))8－r·(－eq\f(1,\r(3,x)))r＝(－1)r·(eq\f(1,2))8－r·Ceq\o\al(r,8)·xeq\s\up15(8－eq\f(4r,3))，令8－eq\f(4r,3)＝0，得r＝6，∴常數(shù)項(xiàng)為T7＝(－1)6·(eq\f(1,2))2·Ceq\o\al(6,8)＝eq\f(1,4)×28＝7.5．滿意關(guān)系式eq\f(1,2)×104≤Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)≤104的正數(shù)n是(C)A．11B．12C．13D．14解析：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，而213＝8192，所以n＝13.6．在(1＋x)n(n為正整數(shù))的二項(xiàng)綻開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的和為A，偶數(shù)項(xiàng)的和為B，則(1－x2)n的值為(C)A．0 B．ABC．A2－B2 D．A2＋B2解析：由題意知，(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，又因?yàn)?1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.7．(x－1)11的綻開(kāi)式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是(D)A．－2048 B．－1023C．1024 D．－1024解析：(x－1)11＝Ceq\o\al(0,11)x11＋Ceq\o\al(1,11)x10·(－1)＋Ceq\o\al(2,11)x9·(－1)2＋…＋Ceq\o\al(11,11)(－1)11，x的偶次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，其和為－210＝－1024.8．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2011,22011)的值為(C)A．2 B．0C．－1 D．－2解析：ar＝(－1)rCeq\o\al(2011－r,2011)·12011－r·2r，則eq\f(ar,2r)＝(－1)rCeq\o\al(2011－r,2011)，eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2011,22011)＝－Ceq\o\al(2010,2011)＋Ceq\o\al(2009,2011)－Ceq\o\al(2008,2011)＋…－Ceq\o\al(0,2011)＝－Ceq\o\al(2011,2011)＝－1.二、填空題(每小題6分，共計(jì)18分)9．設(shè)(2eq\r(3,x)－1)n的綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M,8，N三數(shù)成等比數(shù)列，則綻開(kāi)式中的第四項(xiàng)為－160x.解析：當(dāng)x＝1時(shí)，可得M＝1，二項(xiàng)式系數(shù)之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四項(xiàng)T4＝Ceq\o\al(3,6)·(2eq\r(3,x))3·(－1)3＝－160x.10．如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b，c，d是相鄰兩行的前四個(gè)數(shù)(如圖所示)，那么當(dāng)a＝8時(shí)，c＝9，d＝37.解析：視察發(fā)覺(jué)：第n行的第一個(gè)數(shù)和行數(shù)相等，其次個(gè)數(shù)是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝eq\f(nn－1,2)＋1.所以當(dāng)a＝8時(shí)，c＝9，d＝eq\f(9×9－1,2)＋1＝37.11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝7.解析：令x＝－1，則28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，則0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12.∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)．∴a1＋a3＋…＋a11＝27.∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.三、解答題(共計(jì)22分)12．(10分)若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：(1)各項(xiàng)系數(shù)之和；(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和．解：(1)各項(xiàng)系數(shù)之和即為a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“賦值法”求解．令x＝y(tǒng)＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為eq\f(1＋510,2)；①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為eq\f(1－510,2).13．(12分)已知(2x－1)n二項(xiàng)綻開(kāi)式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，求Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值．解：設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，由已知可得，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1＝255.——素養(yǎng)提升——14．(5分)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0－1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第2n－1行；第62行中1的個(gè)數(shù)是32.解析：由題意可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都為1，故第n次全行的數(shù)都為1的是第2n－1行；由n＝6，得26－1＝63，故第63行共有64個(gè)1，逆推知第62行共有32個(gè)1.15．(15分)已知fn(x)＝(1＋x)n，(1)若f2015(x)＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015，求a1＋a3＋…＋a2013＋a2015的值．(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6項(xiàng)的系數(shù)．解：(1)因?yàn)閒n(x)＝(1＋x)n，所以f2015(x)＝(1＋x)2015，又f2015(1)＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015，所以f2015(1)＝a0＋a1＋…＋a2015＝22015，①f2015(－1)＝a0－a1＋…＋a2