【模塊2】（方程（組）與不等式（組））學(xué)生版

模塊二方程（組）與不等式（組）

第一講一次方程（組）及其應(yīng)用

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：方程的相關(guān)概念及等式的性質(zhì)

1、方程的相關(guān)概念

含有未知數(shù)的叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的過程叫做解方程;只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)(或除以同一個不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對稱性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

知識點2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有個未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是，等號兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時應(yīng)抓住以下兩點：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

2、解一元一次方程的一般步驟

1x4x1若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括號，則先去小括號，再去中

去括號：33x8x26

括號，最后去大括號。若去括號時括號前

去括號

移項：8x3x263是負(fù)號，去掉括號后，括號內(nèi)的各項均

合并同類項：11x11要。

系數(shù)化為1：

x1把含有未知數(shù)的項移到等式的一邊，其他

移項項移到另一邊。一般把含的項移到

注：本題中去分母時，方程右側(cè)的-1等式左邊。移項要改變符號。

易漏乘最小公倍數(shù)；移項時易忘變

合并同類項把方程化成axb（a0）的形式。

號。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識點3：二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無數(shù)組解

方程知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程。個未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個二元一一般地，二元一次方程組的兩個方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另

一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過適當(dāng)變形后可以

使同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去這個未知數(shù)，

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化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時依據(jù)方程自身特點，靈活運用消元思想）

一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時，選擇代入消元法較簡

單。

當(dāng)二元一次方程組中兩個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時，選擇加減消元法較簡單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡，快速解題。

知識點4：*三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個方程組中含有三個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的

次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

知識點5：一次方程（組）的實際應(yīng)用

1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗：檢驗所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱。

2、常見的關(guān)系式

基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.

行程問題相遇問題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

追及問題:同地不同時出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的路

程.

儲蓄問題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤

銷售問題總價=單價×數(shù)量,利潤率=×100%,利潤=售價-成本(或進(jìn)價)=利潤率×成本.

成本

分配問題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問題工作總量=工作效率×工作時間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長率問

已知基礎(chǔ)量為a,增長后為b,若設(shè)增長率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問題十位a，個位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個位c，表示為100a+10b+c

直擊中考勝券在握

1．（四川省南充市2019年中考數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元一次方程2xa2m4的解為x1，則am的值為（）

A．9B．8C．5D．4

11

2．解一元一次方程(x1)1x時，去分母正確的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

2xy3①

3．（湖南省益陽市2021年中考數(shù)學(xué)真題）解方程組時，若將①-②可得（）

2x3y4②

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A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

xya1

4．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，則a的值為（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

2

5．已知5xy3xy10，則（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

6．某種商品的標(biāo)價為120元，若以九折降價出售，相對于進(jìn)貨價仍獲利20%，該商品的進(jìn)貨價為（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

7．（2021·四川南充·中考真題）端午節(jié)買粽子，每個肉粽比素粽多1元，購買10個肉粽和5個素粽共用去70元，

設(shè)每個肉粽x元，則可列方程為（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

8．（2021·黑龍江·中考真題）為迎接2022年北京冬奧會，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動，計劃拿出180

元錢全部用于購買甲、乙兩種獎品（兩種獎品都購買），獎勵表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎品每件15元，乙種

獎品每件10元，則購買方案有（）

A．5種B．6種C．7種D．8種

9．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）母親節(jié)來臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明將30元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

10．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學(xué)生，學(xué)校計劃用200元錢

購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用

完的情況下，有多少種購買方案（）

A．12種B．15種C．16種D．14種

11．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級期中）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)甲

得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如

2

果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢50，問：甲、乙兩人

3

各帶了多少錢？設(shè)甲、乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

1

12．（2021·湖南懷化·中考真題）定義ab2a，則方程3x42的解為（）

b

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1234

A．xB．xC．xD．x

5555

13．（2020·四川南充·中考真題）筆記本5元/本，鋼筆7元/支，某同學(xué)購買筆記本和鋼筆恰好用去100元，那

么最多可以購買鋼筆_______支．

14．（2021·山東泰安·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得

甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文：“假設(shè)有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢，若乙把自己一半

2

的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50；而甲把自己的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50．問甲、乙各有多少錢？”設(shè)甲持

3

錢數(shù)為x，乙持錢數(shù)為y，可列方程組為________．

2x3y5a

15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿足xy0，則a的取值

x4y2a3

范圍是____．

3xmy5x1

16．（山東省濱州市2018年中考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程組的解是_______．

2(ab)n(ab)6

1016

17．（2021·廣東·九年級專題練習(xí)）已知a2b，3a4b，則ab的值為_________．

33

ab(ab)

．（浙江浙江七年級期中）對于實數(shù)，，定義運算※：a※，例如2※3，因為，

182021··ab“”2223

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y滿足方程組，則x※y____．

2xy29

3xy4

19．（2021·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：.

x2y3

20．（2021·四川·石室中學(xué)八年級期中）解方程組：

x2y10

（1）；

y2x

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

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ax23y103xy2

21．（廣東省2020年中考數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x2axb0的解．試判斷該三角形

的形狀，并說明理由．

22．（2021·陜西·中考真題）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價相同）時，按這種服裝每件標(biāo)價的8折銷售

10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價．

23．（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識競答活動，

并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了做為獎品的三種物品，回到學(xué)校

后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．

請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金

額．

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24．（2021·貴州安順·中考真題）為慶?！爸袊伯a(chǎn)黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動

的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時間和利潤如

下表：

產(chǎn)品展板宣傳冊橫幅

11

制作一件產(chǎn)品所需時間（小時）1

52

制作一件產(chǎn)品所獲利潤（元）20310

（1）若制作三種產(chǎn)品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量；

（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產(chǎn)品均有制作．求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．

25．（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5

輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．

（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？

（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿

載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指

出哪種運輸方案費用最少．

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模塊二方程（組）與不等式（組）

第二講一元二次方程及其應(yīng)用

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：一元二次方程及其解法

定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標(biāo)準(zhǔn)形式）

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次項的系數(shù)；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意實數(shù)，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇，一般地，直接開平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知識點2：一元二次方程根的判別式

0方程實數(shù)根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實數(shù)根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實數(shù)根

易錯點：因忽視一元二次方程二次項系數(shù)不為零的隱含條件，導(dǎo)致失分。

如：已知關(guān)于x的一元二次方程ax23x10有兩個實數(shù)根,求a的取值范圍.

知識點3：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根，那么xx，xx

1212a12a

知識點4：一元二次方程的應(yīng)用

實際數(shù)量-基準(zhǔn)數(shù)量

（1）增長率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

基準(zhǔn)數(shù)量-降低后達(dá)到數(shù)量

（2）降低率=100%

變化率問題基準(zhǔn)數(shù)量

（3）設(shè)a為原來的量,m為平均增長率,n為增長次數(shù),b為增

n

長后的量,則a1mb；當(dāng)m為平均下降率,b為下降后的

n

量時,a1mb

本息和=本金+利息

利率問題

利息=本金×利率×期數(shù)

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毛利潤=銷售總額-進(jìn)貨總額

純利潤=銷售總額-進(jìn)貨總額-其他費用

銷售利潤問題利潤率=利潤÷成本×100%

銷售總額=售價×銷量

進(jìn)貨總額=進(jìn)價×進(jìn)貨數(shù)量

若共有n個隊，每個隊都與其他隊比賽一場，則一共比賽

單循環(huán)問題nn1

場

2

直擊中考勝券在握

1．（2021·臨沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

2．（2021·麗水中考）用配方法解方程x24x10時，配方結(jié)果正確的是（）

A．(x2)25B．(x2)23C．(x2)25D．(x2)23

3．（2021·聊城中考）關(guān)于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一個解是﹣2，則k值為（）

A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2

．（眉山中考）已知一元二次方程2的兩根為，，則2的值為（）

42021·x3x10x1x2x15x12x2

A．7B．3C．2D．5

5．（2021·臺州中考）關(guān)于x的方程x2-4x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）

A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4

6．（2021·福建三元·九年級期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成

了完整的體系，其“勾股”章中記載了一個數(shù)學(xué)問題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾

何？”譯文為：“已知有一扇矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長為1丈（1丈＝10尺），那么門的高和寬各是

多少？”如果設(shè)門的寬為x尺，則可列方程為（）

A．x2＋（x＋6）2＝102B．x2＋（x＋6）2＝12

C．x2＋（x﹣6）2＝102D．x2＋（x﹣6）2＝12

7．（2021·煙臺中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mnxmn0，其中m，n在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，

則這個方程的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．無法確定

8．（2020·江蘇如皋·八年級期末）某省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計，該省目前5G基站

的數(shù)量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到

17.34萬座．按照計劃，設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均率為x，根據(jù)題意列方程，得

（）

A．6（1+x）2＝17.34B．17.34（1+x）2＝6

C．6（1﹣x）2＝17.34D．17.34（1﹣x）2＝6

2

9．（2020·龍東中考）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)kx2k1xk20有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k

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的取值范圍是（）

11

A．kB．k

44

11

C．k且k0D．k且k0

44

10．（2021·內(nèi)蒙古·呼和浩特市敬業(yè)學(xué)校九年級期中）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角

剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙

盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600

C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600

11．（2021·湖北天門·九年級期中）已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長，且m、n是關(guān)于x

的一元二次方程x2﹣6x+k+2=0的兩個根，則k的值等于()

A．7B．7或6C．6或﹣7D．6

2021

22

12．（2021·南充中考）已知方程x2021x10的兩根分別為x1，x2，則x1的值為（）

x2

A．1B．1C．2021D．2021

13．（2021·上海中考）若一元二次方程2x23xc0無實數(shù)根，則c的取值范圍為_________．

14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知m是一元二次方程x2x60的一個根，則代數(shù)式m2m的值等于______．

2

15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x3xk0的兩個根，且x12x2，則k_______．

22

2

16．（2021·隨州中考）已知關(guān)于x的方程xk4x4k0（k0）的兩實數(shù)根為x1，x2，若3，則

x1x2

k______．

22+2

17．（2021·四川龍泉驛·九年級期中）已知一元二次方程x3x10的兩個根分別是x1,x2，則x1x2x1x2的值為

_______．

11

18．（2021·全國·九年級單元測試）關(guān)于x的方程22有兩個實數(shù)根,．且1．則

x2mxmm0

m_______．

mnn1

19．已知m22m10,n22n10，且mn1，則的值為___________．

n

20．（2021·河南西峽·九年級期中）“雜交水稻之父”——袁隆平先生率領(lǐng)的科研團(tuán)隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻

畝產(chǎn)700公斤的目標(biāo)，第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)1008公斤的目標(biāo)．如果第二階段、第三階段水稻畝產(chǎn)量的增長率

相同，則這兩年的平均畝產(chǎn)增長率為_______．

21．（2021·襄陽二模）要組織一次足球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽

程計劃共計持續(xù)7天，每天安排4場比賽．則比賽組織者共邀請了______支球隊；

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22．（2021·阜寧一模）據(jù)美國約翰斯霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)實時統(tǒng)計系統(tǒng)，截至美國東部時間3

月28日晚6時，全美共報告新冠肺炎確診人數(shù)超過3025萬，死亡超過54.9萬．已知有一人患了新冠肺炎，經(jīng)

過兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均每人傳染了__________人．

23．（2021·蘭州中考）解方程：x2+4x﹣1=0．

24．（2021·齊齊哈爾中考）解方程：x(x7)8(7x)．

25．（2021·遼寧臺安·九年級期中）按照要求解方程：

（1）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）；（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．

26．（2021·北京中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x24mx3m20．

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若m0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．

27．（2021·菏澤中考）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：

小王：該水果的進(jìn)價是每千克22元；

小李：當(dāng)銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種

水果的銷售價為每千克多少元？

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2

28．（2021·嘉興中考）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x3x3的過程如下框：

小霞：

小敏：

2

移項，得3x3x30，

兩邊同除以x3，得

提取公因式，得x33x30．

3x3，

則x30或3x30，

則x6．

解得x13，x20．

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．

29.（2021·山西中考）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖

所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．

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30．（2021·宜昌中考）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方

式，噴灌和滴灌時每畝用水量分別是漫灌時的30%和20%．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗田分別采

用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．

（1）請問用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗田各用水多少噸？

（2）今年該公司加大對農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗田的面積都增加了m%，漫灌試驗田的面積減少了

2m%．同時，該公司通過維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了m%．經(jīng)測算，

9

今年的灌溉用水量比去年減少m%，求m的值．

5

（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30

元，在新增的噴灌、滴灌試驗田添加設(shè)備所投入經(jīng)費為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費為2.5元，

請判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費是否大于今年的以上兩項投入之和？

第12頁共21頁.

模塊二方程（組）與不等式（組）

第三講分式方程及其應(yīng)用

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：分式方程的相關(guān)概念

定義：中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別。

增根：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，使方程中的，這樣的根叫方

程的增根。

知識點2：解分式方程

基本去分母，化分式方程為整式方程。

x3

例：1思路

x1x21

一般①方程兩邊同時乘以各分式的，化

解：最簡公分母：x1x1

步驟為整式方程；

xx1x213②解整式方程；

x2xx213③檢驗，把整式方程的解代入最簡公分母，

x2看計算結(jié)果是否為0，若結(jié)果不為0，說明

檢驗：當(dāng)x2時，x1x10此解是原分式方程的解；若為0，則為增根，

原分式方程無解。

所以原分式方程的解為x2

驗根方法一：利用方程解的定義，直接代回原方

方法程檢驗；

知識點3：分式方程的實際應(yīng)用方法二：把整式方程的解代入最簡公分母，

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟看計算結(jié)果是否為0。

審：審清題意，分清題中的已知量、未

知量，搞清等量關(guān)系。

設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列出分式方程。

解：解分式方程

驗：既要檢驗所得的解是否適合分式方程，又要檢驗是否符合實際問題。

答：完整作答（包括單位）

2、常見模型及關(guān)系式

行程問題路程

基本關(guān)系式：=時間

速度

常用關(guān)系式：（注意統(tǒng)一單位）

同一路程同一路程同一路程同一路程

=時間差；=時間差

甲的速度乙的速度慢速快速

工作總量

工程問題基本關(guān)系式：=工作時間

工作效率

常用關(guān)系式：

工作總量工作總量甲工作總量乙工作總量

=時間差=時間差

原工作效率改進(jìn)后工作效率甲工作效率乙工作效率

總價

銷售問題基本關(guān)系式：=數(shù)量

單價

總銷售金額總銷售金額

常用關(guān)系式：=數(shù)量差

變化后單價原單價

第13頁共21頁.

直擊中考勝券在握

12

1．（2021·廣東廣州·中考真題）方程的解為（）

x3x

A．x6B．x2C．x2D．x6

2x2

2．（2021·湖北大冶·八年級期末）解分式方程3時，去分母后變形正確的是（）

x11x

A．2x23x1B．2x23x1

C．2x23D．2x23x1

2x1

3．（2021·四川成都·中考真題）分式方程1的解為（）

x33x

A．x2B．x2C．x1D．x1

mx

4．（2021·巴中中考）關(guān)于x的分式方程30有解，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是（）

2x

A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2

5．（2021·湖北十堰·中考真題）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺機(jī)器所需時間

比原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間少1天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則下列方程正確的是（）

400450450400400450450400

A．1B．1C．50D．5

xx50x50xxx1x1x

xm

6．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程3有增根，則m的值是（）

x2x2

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

10x3k27

7．（2021·安徽霍邱·七年級期末）已知關(guān)于x的分式方程3的解滿足2＜x＜5，則k的取值范圍

3xx3

是（）

A．﹣7＜k＜14B．﹣7＜k＜14且k≠0C．﹣14＜k＜7且k≠0D．﹣14＜k＜7

2

,ab

ab

8．（2021·北京·九年級專題練習(xí)）定義運算“※”：a※b，如果5※x2，那么x的值為（）

b

,ab

ba

10

A．4B．4或10C．10D．4或

3

x1

9．（2021·海南·中考真題）分式方程0的解是____．

x2

2xmx1

10．（2021·湖北荊州·中考真題）若關(guān)于x的方程3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為_____________．

x22x

11．（2021·遼寧本溪·中考真題）為了弘揚我國書法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫能力，某校舉辦了書法比賽，學(xué)

校準(zhǔn)備為獲獎同學(xué)頒獎．在購買獎品時發(fā)現(xiàn)，A種獎品的單價比B種獎品的單價多10元，用300元購買A種獎

品的數(shù)量與用240元購買B種獎品的數(shù)量相同．設(shè)B種獎品的單價是x元，則可列分式方程為________．

2xa2xa

12．（2021·四川達(dá)州·中考真題）若分式方程4的解為整數(shù)，則整數(shù)a___________．

x1x1

第14頁共21頁.

x2m

13．（2021·山東·日照市田家炳實驗中學(xué)一模）已知關(guān)于x的方程2m無解，則m的值是___．

x22x

2x

14．（2021·江蘇南京·中考真題）解方程1．

x1x1

x13

15．（2021·陜西·中考真題）解方程：1．

x1x21

312

16．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級期中）解方程：.．