（新教材適用）2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章計(jì)數(shù)原理測(cè)評(píng)北師大版選擇性

第五章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展開后的不同項(xiàng)數(shù)為().A.9 B.12 C.18 D.242.從甲、乙等5人中選出3人排成一列,則甲不在排頭的排法種數(shù)是().A.12 B.24 C.36 D.483.將7名學(xué)生分配到甲、乙兩間宿舍中,每間宿舍至少安排2名學(xué)生,那么互不相同的分配方案共有().A.252種 B.112種C.70種 D.56種4.若x-1xn展開式的第4項(xiàng)為含x3的項(xiàng),則n等于A.8 B.9 C.10 D.115.x+ax2x-1x5,aA.40 B.20 C.20 D.406.我國(guó)首艘航空母艦遼寧艦在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中,有5架艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦,而丙、丁不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有().A.12種 B.18種 C.24種 D.48種7.在(x+y)n的展開式中,第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是().A.第6項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第5,6項(xiàng) D.第6,7項(xiàng)8.若(3x)n(n∈N+)的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為a,所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為b,則ba+ab的最小值是A.2 B.1 C.32 D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列是組合問(wèn)題的有().A.平面上有5個(gè)點(diǎn),其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線,這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線B.10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次),共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽C.從10人中選出3人作為代表去開會(huì),有多少種選法D.從10名同學(xué)中選出3名擔(dān)任不同學(xué)科的科代表,有多少種選法10.已知2x-ax8的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1,A.a可能為1B.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256C.展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和可能為3811.為了提高教學(xué)質(zhì)量,省教育局派五位教研員去某地的3所高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研,則下列說(shuō)法正確的有().A.不同的調(diào)研安排方案有243種B.若每所高中至少去一位教研員,則不同的調(diào)研安排方案有150種C.若每所高中至少去一位教研員,則不同的調(diào)研安排方案有300種D.若每所高中至少去一位教研員,且甲、乙兩位教研員不去同一所高中,則不同的調(diào)研安排方案有114種12.已知(12x)2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021,則().A.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22021B.展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為3C.展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為3D.a12+a22三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.某國(guó)際機(jī)場(chǎng)是一座跨地域、超大型的國(guó)際航空綜合交通樞紐,目前建有“三縱一橫”4條跑道,分別叫西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道,示意圖如圖所示.若有2架飛往不同目的地的飛機(jī)要從以上不同跑道同時(shí)起飛,有種不同的安排方法;若西一跑道、西二跑道至少有一條跑道被選取,則有種不同的安排方法.(用數(shù)字作答)

(第13題)14.甲、乙等五名志愿者被分配到某展會(huì)的四個(gè)展館四個(gè)不同的崗位服務(wù),每個(gè)崗位至少一名志愿者,則甲、乙兩人各自獨(dú)立承擔(dān)一個(gè)崗位工作的分法共有種.(用數(shù)字作答)

15.若(x+1)3+(x2)8=a0+a1(x1)+a2(x1)2+…+a8(x1)8,則a2=.

16.(1+sinx)6的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為52,則x在區(qū)間[0,2π]上的值為四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)解方程:(1)C13(2)Cx18.(12分)平面上有9個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,除此之外無(wú)3點(diǎn)共線.(1)用這9個(gè)點(diǎn)可以確定多少條直線?(2)用這9個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)三角形?(3)用這9個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)四邊形?19.(12分)已知在3x-33xn(1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).20.(12分)從7名男生、5名女生中選出5人,求分別滿足下列條件的選法種數(shù).(1)A,B必須被選出;(2)至少有2名女生被選出;(3)選出5名同學(xué),讓他們分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等5種不同班委,但體育委員由男生擔(dān)任,文娛委員由女生擔(dān)任.21.(12分)已知x+12xn的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)a0,a1,a2滿足2a1(1)求n的值;(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).22.(12分)用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).(1)在組成的三位數(shù)中,求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù);(2)在組成的三位數(shù)中,如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小,則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”,如301,423等都是“凹數(shù)”,試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù);(3)在組成的五位數(shù)中,求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù).

參考答案第五章測(cè)評(píng)1.D展開后的不同項(xiàng)數(shù)為C41C312.D①若不選甲,則排法種數(shù)為A43=24;②若選甲,則先從后兩個(gè)位置中選一個(gè)給甲,再?gòu)钠溆嗟?人中選2人排列.排法種數(shù)為C21A42=24.由分類加法計(jì)數(shù)原理,可得不同的排法種數(shù)為24+3.B分為2類:第1類,甲、乙兩間宿舍中一間住4人、另一間住3人;第2類,一間住5人、另一間住2人,所以不同的分配方案共有C73A22+C74.B二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tk+1=Cnk·xnk·-1xk=Cnk·(1)k因?yàn)楫?dāng)k+1=4時(shí),n2k=3,所以n=9.5.D由題意,令x=1得展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1+a)(21)5=2,解得a=1.∵2x-1x5的二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tr+1=C5r(1)r·25r∴x+x·C53(1)322·x1+1x·C52·(1)2·23·6.C丙、丁不能相鄰著艦,則將其余3機(jī)先排列,再將丙、丁進(jìn)行“插空”.由于甲、乙“捆綁”視作一整體,故除丙、丁外其余3機(jī)的排列方法有2×2=4種,有三個(gè)“空”供丙、丁選擇,即A32=6根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×6=24種著艦方法.7.A已知第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等,則這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)也相等,即Cn3=Cn7,由組合數(shù)的性質(zhì),得n=10.8.D令x=1,得a=2n;令x=1,得b=4n.所以ba+ab=2n+19.ABCA是組合問(wèn)題,因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,與點(diǎn)的順序無(wú)關(guān);B是組合問(wèn)題,因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一次,并不需要考慮誰(shuí)先誰(shuí)后,沒(méi)有順序的區(qū)別;C是組合問(wèn)題,因?yàn)檫x出的三個(gè)代表之間沒(méi)有順序的區(qū)別;D是排列問(wèn)題,因?yàn)檫x出的三名同學(xué)擔(dān)任哪一科的科代表是有順序區(qū)別的.10.ABD對(duì)于選項(xiàng)A,令x=1,由(2a)8=1,得a=1或a=3,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為28=256,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)a=1時(shí),2x1x8展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和與2x+1x8展開式系數(shù)的和相等,令x=1,得系數(shù)的和是38;當(dāng)a=3時(shí),2x3x8展開式系數(shù)的絕對(duì)值的和與2x+3x8展開式系數(shù)的和相等,令x=1,得系數(shù)的和是58,故D正確.故選ABD.11.ABD對(duì)于A選項(xiàng),每位教研員有三所高中可以選擇,故不同的調(diào)研安排方案共有35=243種,故A正確;對(duì)于B,C選項(xiàng),若每所高中至少去一位教研員,則可先將五位教研員分組,再分配,五位教研員的分組形式有兩種:3,1,1;2,2,1,分別有C53C21C11A22=10種,C52C32C11對(duì)于D選項(xiàng),將甲、乙兩位教研員看成一人,則每所高中至少去一位教研員,且甲、乙兩位教研員去同一所高中的調(diào)研安排方案有C42C21C11A22×A33=3612.ABD展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22021,故A正確;令x=1,則(12)2021=a0+a1+a2+…+a2021=1,①令x=1,則(1+2)2021=a0a1+a2…a2021=32021,②①+②,得2(a0+a2+…+a2020)=320211,所以展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的和為32021-12,①②,得2(a1+a3+…+a2021)=132021,所以展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的和為-1-320212令x=12,有12×122021=a0+a12+a222+…+a202122021所以a12+a222+…+a202113.1210若有2架飛往不同目的地的飛機(jī)要從以上不同跑道同時(shí)起飛,有A42=12種不同的安排方法;若西一跑道、西二跑道至少有一道被選取,有A4214.72由于甲、乙兩人各自獨(dú)立承擔(dān)一個(gè)崗位工作,故先安排甲、乙兩人,有A42=12種排法;再安排剩余三人,則有C31A22=6種排法.因此15.34因?yàn)?x+1)3+(x2)8=[(x1)+2]3+[(x1)1]8,所以a2(x1)2=C31(x1)221+C86(x1)2(1)6=34(x1)2.所以a16.π6或5π6由題意,得T4=C63sin3x=20sin3x=52,∴sinx=12.∵x17.解(1)由原方程,得x+1=2x3或x+1+2x3=13,解得x=4或x=5.由0≤x+1≤13,0≤2x-3≤13,解得2≤(2)原方程可化為Cx即Cx+35=即1120化簡(jiǎn)得x2x12=0,解得x=4或x=3(舍去),經(jīng)檢驗(yàn),x=4是原方程的解.18.解(1)確定一條直線需要兩個(gè)點(diǎn),因?yàn)橛?個(gè)點(diǎn)共線,所以這9個(gè)點(diǎn)所確定的直線條數(shù)為C92-C4(2)確定一個(gè)三角形需要三個(gè)不共線的點(diǎn),所以這9個(gè)點(diǎn)所確定的三角形個(gè)數(shù)為C93-(3)確定一個(gè)四邊形需要四個(gè)不共線的點(diǎn)且任意三點(diǎn)不共線,所以這9個(gè)點(diǎn)所確定的四邊形個(gè)數(shù)為C94-19.解(1)二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tk+1=Cnkxn-k3(3)kx因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),所以當(dāng)k=5時(shí),n-2k3=0,(2)由(1)知二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tk+1=C10k(3)kx10-令10-2k3=2,因此,所求的系數(shù)為C102(3)2=(3)根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng),由題意得10令10-2k3=r(r∈Z),得102k=3r,即因?yàn)?≤k≤10,且k∈N,所以r可取2,0,2,即k可取2,5,8.故第3項(xiàng)、第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng),它們分別為C102(3)2x2,C105(3)5,C1020.解(1)根據(jù)題意,先選出A,B,再?gòu)钠渌?0名同學(xué)中選出3名,共有選法種數(shù)為C103=(2)按女生的選取人數(shù)情況分類:選2名女生、3名男生;選3名女生、2名男生;選4名女生、1名男生;選5名女生.故所有選法種數(shù)為C52C(3)先選出1名男生擔(dān)任體育委員,再選出1名女生擔(dān)任文娛委員,然后從剩余的10名同學(xué)中任選3名擔(dān)任其他3個(gè)班委.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所有選法種數(shù)為C71·21.解(1)由題意,得Cn0×120+14×Cn2=2×12×Cn1(2)二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tk+1=C8kx8k12x設(shè)第(r+1)項(xiàng)的系數(shù)最大,則1解得2≤r≤3.又因?yàn)閞∈N+,所以r=2或r=3.所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=7x5,T4=7x722.解(1)將所有的三位偶數(shù)分為2類:第1類,個(gè)位上的數(shù)字為0,則有A42=12第2類,個(gè)位上的數(shù)字為2或4,則有