2023-2024學年廣東省深圳實驗學校光明部高一上學期期中數學試題及答案

試題PAGE1試題深圳實驗學校光明部2023－2024學年度第一學期期中考試高一數學第一卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列條件中，是的充分不必要條件的是（）A. B. C. D.3.下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的函數是（）A. B. C. D.4.函數的定義域為（）A. B. C. D.5.我國著名的數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象的特征，則函數的圖象大致為（）A. B.C. D.6.近來豬肉價格起伏較大，假設第一周?第二周的豬肉價格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.的大小無法確定7.已知命題：任意，命題：存在，若“且”是假命題，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數，若對任意，不等式恒成立，，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有多項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.下列各組函數表示不同函數的是（）A. B.C. D.10.對于實數a，b，c，下列命題是真命題的為（）A.若a>b，則ac<bc B.若，則a>bC.若a<b<0，則a2>ab>b2 D.若a>0>b，則|a|<|b|11.已知集合，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若時，則或12.下列說法不正確的是（）A.函數的最小值為2.B.函數在定義域上是減函數.C.定義在上的奇函數滿足，則函數的周期為4D.若定義在上函數為增函數，且，則實數的取值范圍為.第二卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.“，”的否定為___________.14.已知，則的最大值為______.15.已知函數是上的增函數，則的取值范圍是______.16.定義在上的函數滿足對任意的實數都有，當時，，當時，，則______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知全集為全體實數，集合，集合.（1）求和；（2）求和18.已知函數定義域.（1）證明在上為奇函數；（2）用定義證明在上為增函數；（3）解不等式.19.已知集合，.（1）若集合，求此時實數的值；（2）已知命題：，命題：，若是的充分條件，求實數的取值范圍.20.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.（1）求函數的解析式并畫出其圖象；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）設函數在上的最大值為，求.21.為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設.（1）當時，求海報紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？22.已知函數，，（1）若，成立，求的取值范圍；（2）若對，總，使得，求實數取值范圍．深圳實驗學校光明部2023－2024學年度第一學期期中考試高一數學第一卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出集合后借助并集的運算即可得.【詳解】由，解得，故，則.故選：B.2.下列條件中，是的充分不必要條件的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據充分不必要條件的定義與集合間的關系判斷即可.【詳解】因為不是的真子集，所以選項A不符合題意；因為不是的真子集，所以選項B不符合題意；因為?，所以選項C符合題意；因為不是的真子集，所以選項D不符合題意.故選：C.3.下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的函數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A，分析函數的奇偶性即可；對于B，分析函數的單調性即可；對于C，分析奇偶性即可；對于D，分析奇偶性與單調性即可.【詳解】對于A，設，則,所以不是偶函數，不符合題意；對于B，易知在上單調遞增，不符合題意；對于C，設，定義域為，則，所以是奇函數，不符合題意；對于D，設，定義域為，則，為偶函數.又時，，在上單調遞減，符合題意.故選:D.4.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數定義域的求法求得正確答案.【詳解】由題意得，解得且，所以定義域為，故A項正確；故選：A.5.我國著名的數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象的特征，則函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】確定函數的定義域，奇偶性，單調性排除法確定正確結論．【詳解】的定義域是，關于原點對稱，，是偶函數，排除BC；又時，，是增函數，排除A．故選：D．【點睛】本題考查由解析式先把函數圖象，解題方法是排除法．確定函數的定義域、值域，函數的奇偶性、單調性等性質，確定特殊的函數值，函數值的正負，函數值變化趨勢．排除3個選項，得出一個正確的選項．6.近來豬肉價格起伏較大，假設第一周?第二周的豬肉價格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.的大小無法確定【答案】C【解析】【分析】分別計算甲?乙購買豬肉的平均單價，作商法，結合基本不等式比較它們的大小.【詳解】甲購買豬肉的平均單價為：，乙購買豬肉的平均單價為：，顯然，且，當且僅當時取“=”，因為兩次購買的單價不同，即，所以，即乙的購買方式平均單價較大.故選：C.7.已知命題：任意，命題：存在，若“且”是假命題，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先分別求兩個命題為真命題時的取值范圍，取其補集即可得答案.【詳解】命題為真時恒成立，，即，，命題為真時，即，解得：或.命題“且”是真命題時，取交集部分，可得或，所以命題“且”是假命題時，可得且，故選：D.8.已知函數，若對任意，不等式恒成立，，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數是增函數，由解析式得，這樣利用單調性不等式化為，從而轉化為在上恒成立，由二次函數知識分類討論可得．【詳解】，因此在定義域上是增函數，，不等式即為，所以，所以在上恒成立，若，即，顯然成立，若，即時，由于，因此，，從而也滿足題意，綜上，，故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查不等式恒成立問題，對函數不等式解題方法一般是利用函數的單調性進行轉化，因此本題關鍵點有兩個：一是確定函數的單調性，二是對函數式進行變形：，這由函數解析式分析才能得出．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有多項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.下列各組函數表示不同函數的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】從定義域和對應關系兩個方面考慮，兩者均相同為同一函數，否則表示不同函數.【詳解】A選項，的定義域為R，，解得，所以的定義域為，兩函數的定義域不同，表示不同函數，A正確；B選項，的定義域為R，的定義域為，兩函數的定義域不同，表示不同函數，B正確；C選項，，兩函數為同一函數，C錯誤；D選項，的定義域為R，的定義域為，兩函數定義域不同，表示不同函數，D正確.故選：ABD10.對于實數a，b，c，下列命題是真命題的為（）A.若a>b，則ac<bc B.若，則a>bC.若a<b<0，則a2>ab>b2 D.若a>0>b，則|a|<|b|【答案】BC【解析】【分析】結合不等式的性質、差比較法以及特殊值確定正確選項.【詳解】A選項，，若，則，所以A選項錯誤.B選項，，B選項正確.C選項，，；，所以，C選項正確.D選項，，所以D選項錯誤.故選：BC11.已知集合，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若時，則或【答案】ABC【解析】【分析】求出集合，根據集合包含關系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．【詳解】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確若，則且，解得，故B正確.當時，，解得或，故C正確.故選：ABC．12.下列說法不正確的是（）A.函數的最小值為2.B.函數在定義域上是減函數.C.定義在上的奇函數滿足，則函數的周期為4D.若定義在上的函數為增函數，且，則實數的取值范圍為.【答案】ABD【解析】【分析】由已知化，令，則，根據對勾函數的性質即可得出最小值，判斷A；由函數單調性的定義賦值或通過反比例函數圖象判斷B；通過函數奇偶性的定義對已知化簡，再結合函數周期性的公式判斷C；利用函數單調性結合函數定義域列出不等式，解出解集判斷D.【詳解】對于A，，令，則，由對勾函數的性質可知，在上單調遞增，故，則的最小值不是2，故A說法不正確；對于B，當時，，當時，，即，則根據函數單調性的定義，函數在定義域上不是減函數，故B說法不正確；對于C，是定義在上奇函數，則化為，即，則，則，則，故函數的周期為4，故C說法正確；對于D，函數是定義在上的增函數，則由得，解得，則實數的取值范圍為，故D說法不正確；故選：ABD.第二卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.“，”的否定為___________.【答案】，【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定形式直接寫出結果即可.【詳解】因為該命題是全稱量詞命題,所以命題的否定為特稱量詞命題，則該命題的否定為：，.故答案為：，.14.已知，則的最大值為______.【答案】【解析】分析】直接應用基本不等式即可得.【詳解】由，則，當且僅當，即時等號成立.故答案為：15.已知函數是上的增函數，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用分段函數的性質和單調性列不等式組解出即可.【詳解】根據題意可得，解得，故答案為：16.定義在上的函數滿足對任意的實數都有，當時，，當時，，則______.【答案】338【解析】【分析】由，得到函數的周期為6，再結合當時，，當時，，求得求解.【詳解】解：因為定義在上的函數滿足對任意的實數都有，所以函數的周期為6，又因為當時，，當時，，所以，，所以，所以，故答案為：338四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知全集為全體實數，集合，集合.（1）求和；（2）求和.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據題意，由交集與并集的定義代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，先由補集的定義可得，，然后代入計算即可.【小問1詳解】因為，且，則，.【小問2詳解】因為，，則，.18.已知函數定義域為.（1）證明在上為奇函數；（2）用定義證明在上為增函數；（3）解不等式.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由函數奇偶性的定義先得出函數定義域關于原點對稱，再由函數解析式得出，即可證明；（2）由函數單調性的定義先根據函數解析式得出，再根據不等式的性質得出當時，，即可證明；（3）根據（1）得出的奇偶性得出所求不等式等價于，即可根據（2）得出的單調性結合函數定義域列出方程組求解即可.【小問1詳解】函數定義域為，因為，都有，且，故在上為奇函數.【小問2詳解】任取，則，因為，所以，，則當時，，則，所以在上為增函數；【小問3詳解】函數是定義在上的奇函數，由，得，又因為在上為增函數，所以，解得.所以的取值范圍為.19.已知集合，.（1）若集合，求此時實數的值；（2）已知命題：，命題：，若是的充分條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集與方程之間的關系和韋達定理，即可求出的值；（2）把利用充分條件關系求參數的范圍，轉化為集合的包含關系，通過分類討論思想，列出關于實數的不等式組，解出即可.【小問1詳解】因為，所以方程的兩根分別為和，由韋達定理得，解得；【小問2詳解】因為，由于是的充分條件，則，當時，，此時不成立；當時，，因為，則有，解得；當時，，因為，則有，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.20.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.（1）求函數的解析式并畫出其圖象；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）設函數在上的最大值為，求.【答案】（1），圖象見解析（2）遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）由奇函數性質求區(qū)間上的解析式；（2）由圖象寫出函數的單調區(qū)間；（3）結合圖象可知，最大值為或，又，則分類討論與大小，確定最大值.【小問1詳解】由是定義在上奇函數，可得，設，則，因為當時，，所以函數的解析式為，圖象如下.【小問2詳解】函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；【小問3詳解】由圖象可知：當時，在上單調遞增，；時，令，解得；當時，；當時，.所以.21.為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設.（1）當時，求海報紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形