2023-2024學(xué)年廣東省深圳實驗學(xué)校光明部高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳實驗學(xué)校光明部2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)第一卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列條件中，是的充分不必要條件的是（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.4.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.5.我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6.近來豬肉價格起伏較大，假設(shè)第一周?第二周的豬肉價格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的大小無法確定7.已知命題：任意，命題：存在，若“且”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有多項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.下列各組函數(shù)表示不同函數(shù)的是（）A. B.C. D.10.對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為（）A.若a>b，則ac<bc B.若，則a>bC.若a<b<0，則a2>ab>b2 D.若a>0>b，則|a|<|b|11.已知集合，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若時，則或12.下列說法不正確的是（）A.函數(shù)的最小值為2.B.函數(shù)在定義域上是減函數(shù).C.定義在上的奇函數(shù)滿足，則函數(shù)的周期為4D.若定義在上函數(shù)為增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為.第二卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.“，”的否定為___________.14.已知，則的最大值為______.15.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是______.16.定義在上的函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知全集為全體實數(shù)，集合，集合.（1）求和；（2）求和18.已知函數(shù)定義域.（1）證明在上為奇函數(shù)；（2）用定義證明在上為增函數(shù)；（3）解不等式.19.已知集合，.（1）若集合，求此時實數(shù)的值；（2）已知命題：，命題：，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.（1）求函數(shù)的解析式并畫出其圖象；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)在上的最大值為，求.21.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?2.已知函數(shù)，，（1）若，成立，求的取值范圍；（2）若對，總，使得，求實數(shù)取值范圍．深圳實驗學(xué)校光明部2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)第一卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出集合后借助并集的運(yùn)算即可得.【詳解】由，解得，故，則.故選：B.2.下列條件中，是的充分不必要條件的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義與集合間的關(guān)系判斷即可.【詳解】因為不是的真子集，所以選項A不符合題意；因為不是的真子集，所以選項B不符合題意；因為?，所以選項C符合題意；因為不是的真子集，所以選項D不符合題意.故選：C.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A，分析函數(shù)的奇偶性即可；對于B，分析函數(shù)的單調(diào)性即可；對于C，分析奇偶性即可；對于D，分析奇偶性與單調(diào)性即可.【詳解】對于A，設(shè)，則,所以不是偶函數(shù)，不符合題意；對于B，易知在上單調(diào)遞增，不符合題意；對于C，設(shè)，定義域為，則，所以是奇函數(shù)，不符合題意；對于D，設(shè)，定義域為，則，為偶函數(shù).又時，，在上單調(diào)遞減，符合題意.故選:D.4.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】由題意得，解得且，所以定義域為，故A項正確；故選：A.5.我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】確定函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性排除法確定正確結(jié)論．【詳解】的定義域是，關(guān)于原點對稱，，是偶函數(shù)，排除BC；又時，，是增函數(shù)，排除A．故選：D．【點睛】本題考查由解析式先把函數(shù)圖象，解題方法是排除法．確定函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，確定特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值變化趨勢．排除3個選項，得出一個正確的選項．6.近來豬肉價格起伏較大，假設(shè)第一周?第二周的豬肉價格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的大小無法確定【答案】C【解析】【分析】分別計算甲?乙購買豬肉的平均單價，作商法，結(jié)合基本不等式比較它們的大小.【詳解】甲購買豬肉的平均單價為：，乙購買豬肉的平均單價為：，顯然，且，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，因為兩次購買的單價不同，即，所以，即乙的購買方式平均單價較大.故選：C.7.已知命題：任意，命題：存在，若“且”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先分別求兩個命題為真命題時的取值范圍，取其補(bǔ)集即可得答案.【詳解】命題為真時恒成立，，即，，命題為真時，即，解得：或.命題“且”是真命題時，取交集部分，可得或，所以命題“且”是假命題時，可得且，故選：D.8.已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)是增函數(shù)，由解析式得，這樣利用單調(diào)性不等式化為，從而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由二次函數(shù)知識分類討論可得．【詳解】，因此在定義域上是增函數(shù)，，不等式即為，所以，所以在上恒成立，若，即，顯然成立，若，即時，由于，因此，，從而也滿足題意，綜上，，故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查不等式恒成立問題，對函數(shù)不等式解題方法一般是利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此本題關(guān)鍵點有兩個：一是確定函數(shù)的單調(diào)性，二是對函數(shù)式進(jìn)行變形：，這由函數(shù)解析式分析才能得出．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有多項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.下列各組函數(shù)表示不同函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】從定義域和對應(yīng)關(guān)系兩個方面考慮，兩者均相同為同一函數(shù)，否則表示不同函數(shù).【詳解】A選項，的定義域為R，，解得，所以的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，表示不同函數(shù)，A正確；B選項，的定義域為R，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，表示不同函數(shù)，B正確；C選項，，兩函數(shù)為同一函數(shù)，C錯誤；D選項，的定義域為R，的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，表示不同函數(shù)，D正確.故選：ABD10.對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為（）A.若a>b，則ac<bc B.若，則a>bC.若a<b<0，則a2>ab>b2 D.若a>0>b，則|a|<|b|【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)、差比較法以及特殊值確定正確選項.【詳解】A選項，，若，則，所以A選項錯誤.B選項，，B選項正確.C選項，，；，所以，C選項正確.D選項，，所以D選項錯誤.故選：BC11.已知集合，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若時，則或【答案】ABC【解析】【分析】求出集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．【詳解】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時，，解得或，故C正確.故選：ABC．12.下列說法不正確的是（）A.函數(shù)的最小值為2.B.函數(shù)在定義域上是減函數(shù).C.定義在上的奇函數(shù)滿足，則函數(shù)的周期為4D.若定義在上的函數(shù)為增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】ABD【解析】【分析】由已知化，令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得出最小值，判斷A；由函數(shù)單調(diào)性的定義賦值或通過反比例函數(shù)圖象判斷B；通過函數(shù)奇偶性的定義對已知化簡，再結(jié)合函數(shù)周期性的公式判斷C；利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)定義域列出不等式，解出解集判斷D.【詳解】對于A，，令，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故，則的最小值不是2，故A說法不正確；對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，則根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)在定義域上不是減函數(shù)，故B說法不正確；對于C，是定義在上奇函數(shù)，則化為，即，則，則，則，故函數(shù)的周期為4，故C說法正確；對于D，函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則由得，解得，則實數(shù)的取值范圍為，故D說法不正確；故選：ABD.第二卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.“，”的否定為___________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式直接寫出結(jié)果即可.【詳解】因為該命題是全稱量詞命題,所以命題的否定為特稱量詞命題，則該命題的否定為：，.故答案為：，.14.已知，則的最大值為______.【答案】【解析】分析】直接應(yīng)用基本不等式即可得.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故答案為：15.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性列不等式組解出即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，故答案為：16.定義在上的函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則______.【答案】338【解析】【分析】由，得到函數(shù)的周期為6，再結(jié)合當(dāng)時，，當(dāng)時，，求得求解.【詳解】解：因為定義在上的函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，所以函數(shù)的周期為6，又因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，所以，所以，故答案為：338四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知全集為全體實數(shù)，集合，集合.（1）求和；（2）求和.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由交集與并集的定義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，先由補(bǔ)集的定義可得，，然后代入計算即可.【小問1詳解】因為，且，則，.【小問2詳解】因為，，則，.18.已知函數(shù)定義域為.（1）證明在上為奇函數(shù)；（2）用定義證明在上為增函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)奇偶性的定義先得出函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，再由函數(shù)解析式得出，即可證明；（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義先根據(jù)函數(shù)解析式得出，再根據(jù)不等式的性質(zhì)得出當(dāng)時，，即可證明；（3）根據(jù)（1）得出的奇偶性得出所求不等式等價于，即可根據(jù)（2）得出的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)定義域列出方程組求解即可.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，因為，都有，且，故在上為奇函數(shù).【小問2詳解】任取，則，因為，所以，，則當(dāng)時，，則，所以在上為增函數(shù)；【小問3詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由，得，又因為在上為增函數(shù)，所以，解得.所以的取值范圍為.19.已知集合，.（1）若集合，求此時實數(shù)的值；（2）已知命題：，命題：，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集與方程之間的關(guān)系和韋達(dá)定理，即可求出的值；（2）把利用充分條件關(guān)系求參數(shù)的范圍，轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，通過分類討論思想，列出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出即可.【小問1詳解】因為，所以方程的兩根分別為和，由韋達(dá)定理得，解得；【小問2詳解】因為，由于是的充分條件，則，當(dāng)時，，此時不成立；當(dāng)時，，因為，則有，解得；當(dāng)時，，因為，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.（1）求函數(shù)的解析式并畫出其圖象；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)在上的最大值為，求.【答案】（1），圖象見解析（2）遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間上的解析式；（2）由圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合圖象可知，最大值為或，又，則分類討論與大小，確定最大值.【小問1詳解】由是定義在上奇函數(shù)，可得，設(shè)，則，因為當(dāng)時，，所以函數(shù)的解析式為，圖象如下.【小問2詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問3詳解】由圖象可知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，；時，令，解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.21.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形