2023學年菏澤市高三數(shù)學第一學期期末試題卷附答案解析

學年菏澤市高三數(shù)學第一學期期末試題卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合A、B、C滿足A∩B＝A，B∪C＝C，則A與C之間的關系是()A.A＝CB.C≠AC.A?C D.C?A2.復數(shù)等于它共軛復數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A B. C. D.3.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時歷法中的二十四個節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為（）A B. C. D.4.已知＝3，則＝（）A. B. C. D.5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計算機科學和信息技術領域有著廣泛應用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列，若數(shù)列的前項和為，且，則的值可能是（）A.100 B.201 C.302 D.3996.如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點P、M、N分別為棱、AB、的中點，點Q為線段MN上的動點．當點Q由點N出發(fā)向點M運動的過程中，以下結論中正確的是（）直線與直線CP可能相交 B.直線與直線CP始終異面C.直線與直線CP可能垂直 D.直線與直線BP不可能垂直7.已知雙曲線C：的左右焦點分別是，，點P是C的右支上的一點（異于頂點），過作的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則（）A.隨P點變化而變化B.5C.4 D.28.物種多樣性是指一定區(qū)域內(nèi)動物、植物、微生物等生物種類的豐富程度，關系著人類福祉，是人類賴以生存和發(fā)展的重要基礎.通常用香農(nóng)-維納指數(shù)來衡量一個群落的物種多樣性.，其中為群落中物種總數(shù)，為第個物種的個體數(shù)量占群落中所有物種個體數(shù)量的比例.已知某地區(qū)一群落初始指數(shù)為，群落中所有物種個體數(shù)量為，在引人數(shù)量為的一個新物種后，指數(shù)（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.10.對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”.下列敘述正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，，則數(shù)列周期數(shù)列C.若，則數(shù)列沒有最小值D.若，則數(shù)列有最大值11.已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確的是（）A.B若A，B，C三點共線，則C.若向量與垂直，則的最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為12.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則（）/A.勒洛四面體被平面截得的截面面積是B.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C.勒洛四面體的截面面積的最大值為D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13.若函數(shù)圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位所得到，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，則__________．14.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中取3件，若X表示取得次品的件數(shù)，則________.15.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.16.已知圓，拋物線.若對于上任意一點，使得對圓上的任意兩點A，B，總有，則的取值范圍是______.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）若點在上，，，求的值.18.已知正項數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，證明：.19.已知函數(shù)，．（1）當時，證明：在上恒成立；（2）若有2個零點，求a的取值范圍．20.如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．（1）證明：平面：（2）若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．21.2023年9月23日第19屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．為研究不同性別學生對杭州亞運會項目的了解情況，某學校進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設事件“了解亞運會項目”，“學生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，．（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該校學生對亞運會項目的了解情況與性別有關?（2）現(xiàn)從該校了解亞運會項目的學生中，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學生，再從這9名學生中隨機抽取4人，設抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：，．0．0500．0100．0013．8416．63510．82822.已知橢圓C：的兩焦點分別為，并且經(jīng)過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線交橢圓C于A，B兩點，設直線與C的另一個交點分別為M，N，記直線AB，MN的傾斜角分別為，當取得最大值時，求直線AB的方程.2023學年菏澤市高三數(shù)學第一學期期末試題卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合A、B、C滿足A∩B＝A，B∪C＝C，則A與C之間的關系是()A.A＝CB.C≠AC.A?CD.C?A【答案】C【解析】【分析】分析題意，；；從而：．【詳解】根據(jù)題意，，，從而，故選C．【點睛】本題主要考查了對子集概念的理解，注意從題意中發(fā)現(xiàn)集合間的相互關系是解題的關鍵，屬于基礎題.2.復數(shù)等于它共軛復數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】令則．由得，故選B．3.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時歷法中的二十四個節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由組合結合古典概型求解即可.【詳解】由題意知：從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為.故選：C.4.已知＝3，則＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關系化正余弦為正切，最后代入數(shù)值進行計算即可.【詳解】，故選：A.5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計算機科學和信息技術領域有著廣泛應用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列，若數(shù)列的前項和為，且，則的值可能是（）A.100 B.201 C.302 D.399【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出的前若干項，找出規(guī)律，從而逐一檢驗各選項即可得解.【詳解】因為，，所以，所以數(shù)列的前若干項為：，則，所以，，，.故選：C.6.如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點P、M、N分別為棱、AB、的中點，點Q為線段MN上的動點．當點Q由點N出發(fā)向點M運動的過程中，以下結論中正確的是（）A.直線與直線CP可能相交 B.直線與直線CP始終異面C.直線與直線CP可能垂直 D.直線與直線BP不可能垂直【答案】B【解析】【分析】證明平面，從而可證四點不共面，即可判斷AB；設，將分別用表示，假設直線與直線CP垂直，則，求出即可判斷C；證明平面，即可判斷D.【詳解】在正三棱柱中，因為點M、N分別為棱AB、的中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，，，所以四點不共面，所以直線與直線CP始終異面，故A錯誤，B正確；對于C，設，則，，若直線與直線CP垂直，則，即，所以，即，解得，因為，所以不存在點使得直線與直線CP垂直，故C錯誤；對于D，連接，因為為的中點，所以，又因平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，所以當點在的位置時，直線與直線BP垂直，故D錯誤.故選：B.7.已知雙曲線C：的左右焦點分別是，，點P是C的右支上的一點（異于頂點），過作的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則（）A.隨P點變化而變化B.5C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】由題設條件結合等腰三角形的性質(zhì)可得，由雙曲線的定義推出，由中位線定理可得，由雙曲線的方程可得所求值．【詳解】雙曲線的左右焦點分別是，，延長交于，是的角平分線，，在雙曲線上，，，是的中點，是的中點，是△的中位線，，即，雙曲線中，則．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運用等腰三角形的性質(zhì)和中位線定理，考查推理能力．8.物種多樣性是指一定區(qū)域內(nèi)動物、植物、微生物等生物種類的豐富程度，關系著人類福祉，是人類賴以生存和發(fā)展的重要基礎.通常用香農(nóng)-維納指數(shù)來衡量一個群落的物種多樣性.，其中為群落中物種總數(shù)，為第個物種的個體數(shù)量占群落中所有物種個體數(shù)量的比例.已知某地區(qū)一群落初始指數(shù)為，群落中所有物種個體數(shù)量為，在引人數(shù)量為的一個新物種后，指數(shù)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結合題意，對進行表示并化簡整理，借助對數(shù)運算計算即可.【詳解】記初始物種數(shù)量為，第個物種的個體數(shù)量，所以，則,,所以，在引人數(shù)量為的一個新物種后，物種數(shù)量為，所有物種的個體數(shù)量為，第個物種即為引入的新物種，個體數(shù)量為,則，，所以，結合①②可得:.故選:A.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】確定，取特殊值排除B，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】，故，對選項A：，同時除以得到，正確；對選項B：取，，，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：，，故，正確；故選：ACD10.對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”.下列敘述正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，，則數(shù)列是周期數(shù)列C.若，則數(shù)列沒有最小值D.若，則數(shù)列有最大值【答案】BD【解析】【分析】可通過的單調(diào)性或反例說明錯誤；令，可推導得到，由此整理得，知正確；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況下，根據(jù)的單調(diào)性可確定的單調(diào)性和正負，由此確定最大值和最小值，知的正誤.【詳解】對于，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，但在整個定義域上不是單調(diào)遞增，可知數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列不是單調(diào)遞增（如，則，），錯誤；對于，是常數(shù)列，可設，則，，不是常數(shù)列，，，整理得：，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，正確；對于，若，則，①當為偶數(shù)時，且單調(diào)遞增，，且單調(diào)遞增，此時；②當為奇數(shù)時，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞減，此時；綜上所述：既有最大值，又有最小值，錯誤；正確.故選：BD.11.已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確是（）A.B.若A，B，C三點共線，則C.若向量與垂直，則的最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用坐標表示向量，再結合向量的坐標運算逐項計算判斷即得.【詳解】在平面直角坐標系中，令，由，，得，，則，對于A，，因此，A正確；對于B，由三點共線，得，即，于是，解得，即，B錯誤；對于C，，由向量與垂直，得，而，則，當且僅當時取等號，C錯誤；對于D，令向量與的夾角為，，當時，，，當時，不妨令，，則，，顯然，，當且僅當時取等號，D正確.故選：AD12.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則（）/A.勒洛四面體被平面截得的截面面積是B.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C.勒洛四面體的截面面積的最大值為D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】BC【解析】【分析】求出勒洛四面體被平面截得的截面面積判斷選項；求出勒洛四面體內(nèi)切球的半徑判斷選項．【詳解】觀察幾何體知，勒洛四面體的最大截面是經(jīng)過正四面體的任意三個頂點的平面截勒洛四面體而得，勒洛四面體被平面截得的截面是正及外面拼接上以各邊為弦的三個弓形，弓形弧是以正各頂點為圓心，邊長為半徑且所含圓心角為的扇形弧，如圖所示：因此，截面面積為：，選項A錯誤，C正確；由對稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，選項B正確；勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，選項D錯誤．故選：BC．三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13.若函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位所得到，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，則__________．【答案】##【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡，根據(jù)圖象平移變換得到的表達式，結合函數(shù)的單調(diào)性確定，即可求得答案.【詳解】由題意得，則，當時，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，故，即且，則，而，故，故答案為：14.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中取3件，若X表示取得次品的件數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】利用對立事件的概率計算，古典概型及其概率的計算公式，結合組合數(shù)的公式，即可求求解.【詳解】由8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中取3件，若表示取得次品的件數(shù)，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查了概率的求法，其中解答中熟練應用對立事件概念，以及古典概型及其概率的計算公式，結合組合數(shù)的公式進行求解是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.15.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用導數(shù)幾何意義得到，從而得到，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最大值，由此得解.【詳解】因為，所以，設切點為，則，由，得，，則，代入，得，則，令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以，故.故答案為：.16.已知圓，拋物線.若對于上任意一點，使得對圓上的任意兩點A，B，總有，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意得為圓的切線時最大，設直線分別與圓M切于點，設,滿足，求解的最小值即可.【詳解】設直線分別與圓M切于點，設，因為對于上任意一點，使得對圓上的任意兩點A，B，總有，所以,即，所以，即,設，則，又，設，對稱軸，，當，即時，在時當時，此時滿足題意，當時，若時在時不合題意，所，即，所以時，在時當時，即,化簡得，解得，所以，綜上：，故答案為：.【點睛】本題關鍵分析出為圓的切線時最大，設直線分別與圓M切于點，設,滿足，轉(zhuǎn)化為求的最值.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）若點在上，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應用誘導公式和余弦的二倍角公式即可求解；（2）分別在，，中用余弦定理建立方程，再利用，即可求解.小問1詳解】因為，所以，解得或（舍去），所以，即，因為，所以.【小問2詳解】如圖，因為，，設，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以.18.已知正項數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，證明：.【答案】18.19.證明見解析【解析】【分析】（1）構造等比數(shù)列并求出通項公式，然后用疊乘法求出通項公式即可；（2）利用放縮法以及裂項相消法證明即可.【小問1詳解】由已知得，令，則，即，所以數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，所以，即，則，故；【小問2詳解】由已知得，其中，所以，當時，，當時，，所以.19.已知函數(shù)，．（1）當時，證明：在上恒成立；（2）若有2個零點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）設，對函數(shù)求導得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增且，結合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可；（2）函數(shù)有2個零點等價于函數(shù)與的圖象有2個交點，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結合圖形即可求解.【小問1詳解】當時，設，則，設，由函數(shù)和在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，所以即在上恒成立；【小問2詳解】由，得，令，則有2個零點，等價于函數(shù)與的圖象有2個交點，令，得，當時，當時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當時，，當趨向于正無窮時，趨向于正無窮的速率遠遠比大，故趨向于0，作出函數(shù)的大致圖象如下：結合圖象可知，當時，與的圖象有2個交點，故a的取值范圍是．20.如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．（1）證明：平面：（2）若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，可證為的中點且，可得，又，由線面垂直的判定可證；（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，用向量法可求解.【小問1詳解】連接，因為是底面半圓弧上的兩個三等分點，所以有，又因為，所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點為，為和的中點，因為，所以三角形為正三角形，所以，所以，因為是半球面上一點，是半球直徑，所以，因為，平面，所以平面．【小問2詳解】因為點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點，為正三角形，所以，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即兩兩互相垂直，以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，，，設平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．21.2023年9月23日第19屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．為研究不同性別學生對杭州亞運會項目的了解情況，某學校進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設事件“了解亞運會項目”，“學生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，．（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該校學生對亞運會項目的了解情況與性別有關?（2）現(xiàn)從該校了解亞運會項目的學生中，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學生，再從這9名學生中隨機抽取4人，設抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：，．0．0500．0100．0013．8