2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．若橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B．2 C．或2 D．或3．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，若，則（

）A．6 B． C．6或 D．或34．已知空間向量，若向量共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，則線段的長為（

）A．5 B． C． D．6．若圓上恰好有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，則整數(shù)的取值個(gè)數(shù)共有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)7．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，使的面積為的直線恰有3條，則為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，當(dāng)時(shí)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)為橢圓上的任意點(diǎn)，下列說法正確的有（

）A．B．的最大值為25C．的最小值為9D．若，則的面積為10．已知圓，直線過點(diǎn)，且交圓于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．的最小值為C．若的方程是，則圓上僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3D．圓在兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)軌跡方程為11．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿著直線翻折得到.記二面角的平面角為，當(dāng)?shù)闹翟趨^(qū)間0,π范圍內(nèi)變化時(shí)，下列說法正確的有（

）A．存在，使得B．存在，使得C．若四棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D．若直線與所成的角為，則三、填空題12．原點(diǎn)到動(dòng)直線距離的最大值為.13．已知橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為．14．若為平面上兩個(gè)定點(diǎn)，則滿足為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是直線，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓.將此性質(zhì)類比到空間中，解決下列問題：已知點(diǎn)為空間中四個(gè)定點(diǎn)，，且兩兩的夾角都是，若動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是.四、解答題15．如圖，在四棱錐中，平面，，，且．(1)求直線與直線所成角的大小；(2)求直線PD與平面PAC所成角的正弦值．16．已知圓.(1)若直線與圓相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為和.①求四邊形面積的最小值；②當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為4時(shí)，求直線的方程.17．已知橢圓上的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.18．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.

(1)若平面平面，證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.19．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值；(2)求面積的最大值；(3)當(dāng)，直線斜率為1，且點(diǎn)在直線的上方時(shí)，的內(nèi)心是否在定直線上？若是，求出該定直線，不是，請說明理由.答案：1．D【詳解】由題意，直線，可得直線的斜率，即，又∵，所以，故選．2．D【詳解】當(dāng)，即焦點(diǎn)在軸上，則,故，解之可得，當(dāng)，即焦點(diǎn)在軸上，，，解之可得，綜上可得的值為或.故選：D3．A【詳解】因?yàn)?，所以，解得：?當(dāng)時(shí)，，平行；當(dāng)時(shí)，，可判斷此時(shí)重合，舍去.故選：A4．A【詳解】顯然不共線，故可設(shè)，即，從而，，，故.故選：A.5．C【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即線段的長為.故選：C6．B【詳解】命題等價(jià)于到的距離屬于，即，從而.故的所有可能取值為，共個(gè).故選：B.7．B【詳解】由題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，令，得；令，得，則，所以的面積為，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，得，解得；當(dāng)時(shí)，得，此方程無解，所以滿足條件的直線有2條，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，得，解得；當(dāng)時(shí)，得，解得，所以滿足條件的直線有3條，故B正確；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，得，解得；當(dāng)時(shí)，得，解得，所以滿足條件的直線有4條，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，得，解得；當(dāng)時(shí)，得，解得，所以滿足條件的直線有4條，故D錯(cuò)誤.故選：B.8．C【詳解】依題意，，設(shè)橢圓的半焦距為，點(diǎn)，令的內(nèi)切圓切的切點(diǎn)分別為，，聯(lián)立解得，則，消去得：，所以橢圓的離心率.故選：C9．AB【詳解】設(shè)Px,y，則，.對(duì)于A，有，，故A正確；對(duì)于B，有，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C，有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，此時(shí)，所以.從而，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．ABD【詳解】由題意可得，圓心，半徑，對(duì)于A，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過圓心，此時(shí)，故A正確；對(duì)于B，易知當(dāng)時(shí)，PQ最小，且，此時(shí)，故B正確；對(duì)于C，若的方程是，則圓心到直線的距離，所以圓上僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，設(shè)Mx,y，，且，，則，，，，所以，化簡可得①，，化簡可得②，①②可得，且在圓上，滿足，即，因此可得，故D正確；故選：ABD11．ACD【詳解】A選項(xiàng)，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，故即為二面角的平面角，即，當(dāng)時(shí)，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榫匦蜛BCD中，，，M是AD的中點(diǎn)，所以，故為等腰直角三角形，故，，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，存在，使得，A正確；B選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，垂直于此平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故，故不存在，使得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，平面，此時(shí)四棱錐的體積最大，此時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，故點(diǎn)到平面的距離，C正確；D選項(xiàng)，，故，D正確.故選：ACD.12．【詳解】設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則.當(dāng)時(shí)，.所以原點(diǎn)到直線的距離的最大值為2.故2.13．【詳解】如圖所示，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為P，交于直線于點(diǎn)M，直線的斜率為，即△MOF是一個(gè)的直角三角形，因?yàn)樵c(diǎn)O為FF'的中點(diǎn)，且M為FP的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF'F的中位線，所以，△PF'F也是一個(gè)直角三角形，且，從而，又.可得，又因?yàn)閨FF'|＝2c，所以|PF|2+|PF'|2＝|FF'|2，所以，故離心率為．故答案為14．【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)為，一方面，有.所以.另一方面，有.所以，故，即.這就得到.當(dāng)，時(shí)，代入即可驗(yàn)證滿足條件，且.所以的最小值是.故答案為.15．(1)(2)【詳解】（1）由于平面，平面，所以，由于，所以兩兩相互垂直.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)直線與直線所成角為，則，由于，所以.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線PD與平面PAC所成角為，則.16．(1)(2)①；②【詳解】（1）命題等價(jià)于到直線的距離小于，即，解得的取值范圍是.（2）①易知，所以，等號(hào)對(duì)成立，故最小值是；②因?yàn)?，所以四點(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以圓的半徑為，方程為，即，直線AB為兩圓公共弦所在直線方程，兩圓方程相減整理得直線AB的方程為.17．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)，則，得，又，故，故橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意；②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx聯(lián)立方程則得，故直線的方程為，即.18．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅握叫?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?又因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?由，得.所以.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)到平面的距離為，

點(diǎn)到平面的距離為.則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得.設(shè)平面的法向量為，則，取，可得.設(shè)平面與平面的夾角為，則令，則.當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最大值為，此時(shí)，.故平面與平面的夾角的余弦值的最大值為.19．(1)(2)(3)是，【詳解】（1）依題意可得得，故由于，故當(dāng)時(shí)，，即求