2024-2025學(xué)年甘肅省金昌市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省金昌市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）．A． B． C． D．2．已知，是實數(shù)，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學(xué)興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．104．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（

）A． B． C． D．5．若圓上有且僅有兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．6．如圖所示，在三棱錐P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．（多選題）下列命題中的真命題是（

）A． B．C． D．10．已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A． B．為的最小值C． D．11．我們把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實軸頂點，、是虛軸頂點，、是焦點，過右焦點且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線是黃金雙曲線B．若，則該雙曲線是黃金雙曲線C．若，則該雙曲線是黃金雙曲線D．若，則該雙曲線是黃金雙曲線三、填空題（本大題共4小題）12．.13．如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是．14．已知變量線性相關(guān)，由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)，線性回歸方程中的系數(shù)滿足，則線性回歸方程為.15．古代埃及數(shù)學(xué)中有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都可寫成若干個單分數(shù)和的形式．例如，可這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，如果每人，不夠，每人，余，再將這分2成5份，每人得，這樣每人分得．形如的分數(shù)的分解：，，，按此規(guī)律，則．四、解答題（本大題共6小題）16．已知，集合，函數(shù)的定義域為.（1）若，求的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍.17．已知點，點Р是圓C：上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點E．(1)求點E的軌跡方程；(2)若直線與點E的軌跡有兩個不同的交點F和Q，且原點О總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)m的取值范圍．18．如圖，在多面體中，底面是梯形，，，，底面，，，點為的中點，點在線段上．（1）證明：平面；（2）如果直線與平面所成的角的正弦值為，求點的位置．19．已知（）在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值.20．某公司為提高市場銷售業(yè)績，促進某產(chǎn)品的銷售，隨機調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價（單位：元/件）及相應(yīng)月銷量（單位：萬件），對近5個月的月銷售單價和月銷售量的數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，得到如下表數(shù)據(jù)：月銷售單價（元/件）91011月銷售量（萬件）1110865（Ⅰ）建立關(guān)于的回歸直線方程；（Ⅱ）該公司開展促銷活動，當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達到18萬件，若由回歸直線方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過萬件，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問：（Ⅰ）中得到的回歸直線方程是否理想？（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是5元/件，月銷售單價為何值時（銷售單價不超過11元/件），公司月利潤的預(yù)計值最大？參考公式：回歸直線方程，其中，．參考數(shù)據(jù)：，．21．已知.（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，存在正實數(shù)，使得成立，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】C由并集定義直接得到結(jié)果.【詳解】由并集定義可得.故選：C.2．【正確答案】A【詳解】若，則，即，故.取，此時，但，故推不出，故選：A.3．【正確答案】D設(shè)該女子第一天織布尺，根據(jù)題意，求得尺，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)該女子第一天織布尺，則5天共織布，解得尺，在情境模擬下，設(shè)需要天織布總尺數(shù)達到165尺，則有整理得，解得.故選：D．4．【正確答案】C根據(jù)已知式子分子和分母的規(guī)律歸納出結(jié)論.【詳解】由已知式子可知所猜測分式的分母為，分子第個正奇數(shù)，即，.故選：C.5．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可得已知圓與圓相交，由圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，列式即可得解.【詳解】由題意可得：已知圓與圓相交，∴，∴，解得且，故選：B.6．【正確答案】D【詳解】因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．過點A作AE∥CB，又CB⊥AB，則AP，AB，AE兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AE，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，?2，0)．因為D為PB的中點，所以D(2，0，1)．故=(?4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===?.設(shè)異面直線PC，AD所成的角為θ，則cosθ=|cos〈，〉|=.7．【正確答案】C求得可得的解析式，求出解析式，可得為偶函數(shù)，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案.【詳解】，，所以為偶函數(shù)，所以，因為，所以，所以．故選：C．8．【正確答案】B分離變量，利用導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用得到函數(shù)在無零點，則有兩個零點，利用函數(shù)最值得到參數(shù)范圍【詳解】當(dāng)時，，∴不是函數(shù)的零點.當(dāng)時，由，得，設(shè)，，則在?∞,0上單調(diào)遞減，且.所以時無零點當(dāng)時，等價于，令，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.因為有2個零點，所以.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】指數(shù)函數(shù)值域為，所以，A選項正確；當(dāng)時，，所以是假命題，B選項錯誤；當(dāng)時，，所以，C選項正確；函數(shù)值域為R，所以，D選項正確.故選：ACD.10．【正確答案】AC【詳解】利用和與項的關(guān)系，分和分別求得數(shù)列的通項公式，檢驗合并即可判定A;根據(jù)數(shù)列的項的正負情況可以否定B;根據(jù)前16項都是正值可計算判定C;注意到可計算后否定D.【詳解】,,對于也成立，所以，故A正確；當(dāng)時，,當(dāng)n=17時,當(dāng)時，,只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；因為當(dāng)時，,∴，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.本題考查數(shù)列的和與項的關(guān)系，數(shù)列的和的最值性質(zhì)，絕對值數(shù)列的求和問題，屬小綜合題.和與項的關(guān)系,若數(shù)列的前項為正值，往后都是小于等于零，則當(dāng)時有，若數(shù)列的前項為負值，往后都是大于或等于零，則當(dāng)時有.若數(shù)列的前面一些項是非負，后面的項為負值，則前項和只有最大值，沒有最小值，若數(shù)列的前面一些項是非正，后面的項為正值，則前項和只有最小值，沒有最大值.11．【正確答案】BCDA選項，，不是黃金雙曲線；通過計算得到BCD是黃金雙曲線.【詳解】A選項，，不是黃金雙曲線；B選項，，化成，即，又，解得，是黃金雙曲線；C選項，∵，∴，∴，化簡得，由選項知是黃金雙曲線；D選項，∵，∴軸，，且是等腰，∴，即，由選項知是黃金雙曲線.綜上，BCD是黃金雙曲線.故選：BCD.12．【正確答案】1直接利用指數(shù)冪的運算法則求解.【詳解】,,故答案為:113．【正確答案】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.如下圖所示，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點、、、，所以，，，，設(shè)向量滿足，，由題意可得，解得，取，則，，可得，因此，.故答案為.關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將長度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線、的距離，實際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標(biāo)，再利用距離公式求解即可.14．【正確答案】【詳解】由題知，點在回歸直線上，則，又，所以，即回歸直線方程為.故答案為.15．【正確答案】【分析】根據(jù),，，…進行歸納推理.【詳解】由題意得，，即，，即，，即，由此歸納出．經(jīng)驗證，結(jié)論成立，∴．故答案為.方法點睛：由數(shù)列的前項歸納通項公式時，首先要分析項的結(jié)構(gòu)，然后再探究結(jié)構(gòu)中的各部分與項的序號間的函數(shù)關(guān)系，進而求得通項公式．16．【正確答案】（1）；（2）.（1）化簡集合，求出集合，由可得的取值范圍；（2）是的必要不充分條件，即是的真子集，列不等式求出的取值范圍即可．【詳解】令，即（1）∵，∴且，即；（2）由題知是的真子集，故且，即.17．【正確答案】(1);(2)【詳解】（1）由題意知，，所以，所以E的軌跡是以C，A為焦點的橢圓，設(shè)橢圓E的方程為，則，，所以，所以E的軌跡方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去y得，由得①，所以，．因為原點О總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，所以，即．而，所以，即，所以，且滿足①式，所以m的取值范圍是．18．【正確答案】（1）證明見解析；（2）點與點重合．【詳解】（1）證明：在梯形中，∵，且，∴，，∴，∵點為的中點，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，，∴，又∵底面，底面，∴，又平面，平面，，∴平面；（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則、、、、，∴，，，設(shè)()，則，則，，設(shè)平面的法向量為，由得，令得，則平面的一個法向量為，則，所以，整理得，解得或，因為，所以應(yīng)舍去，所以，即，∴當(dāng)點與點重合時直線與平面所成的角的正弦值為．19．【正確答案】（1）1；（2）增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（3）最大值為9，最小值為.（1）求導(dǎo)，由已知得，解得的值，再代入檢驗可得結(jié)論.（2）由（1）得，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)取得正負的區(qū)間可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）由（2）得出的函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的極值，從而求得函數(shù)的最值.【詳解】（1），由于在處取得極值，故，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，在處取得極值，故.（2）由（1）得，，由得或；由得.故的單調(diào)增區(qū)間為，，單減區(qū)間為.（3）由（2）得函數(shù)的極大值為，得函數(shù)的極小值為，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.20．【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）可以認為所得到的回歸直線方程是理想的．（Ⅲ）該產(chǎn)品單價定為元時，公司才能獲得最大利潤【詳解】（Ⅰ）因為，．所以，所以，所以關(guān)于的回歸直線方程為：．（Ⅱ）當(dāng)時，，則，所以可以認為所得到的回歸直線方程是理想的．（Ⅲ）設(shè)銷售利潤為，則，所以時，取最大值，所以該產(chǎn)品單價定為元時，公司才能獲得最大利潤．21．【正確答案】（1