2024-2025學(xué)年甘肅省天水市武山縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年甘肅省天水市武山縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第I卷（非選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則()。A、B、C、D、2．在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為()。A、B、C、D、3．在疫情沖擊下，地?cái)偨?jīng)濟(jì)有利于緩解部分失業(yè)人群的燃眉之急，2020年5月底中央開始鼓勵(lì)地?cái)偨?jīng)濟(jì)，某地?cái)偟娜沼鹹（單位：百元）與當(dāng)天的平均氣溫x（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：x/℃2022242123y/百元13623若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則y與x的線性回歸方程必過的點(diǎn)為（）A．（22，3） B．（22，5） C．（24，3） D．（24，5）4．已知函數(shù)，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．5．對(duì)于函數(shù)，有以下四種說法：①函數(shù)的最小值是②圖象的對(duì)稱軸是直線③圖象的對(duì)稱中心為④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的說法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且是等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列7．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、8．如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且。當(dāng)、、、共面時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為()。A、B、C、D、二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．給出下列命題，其中正確的有()。A、空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B、已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C、、、、是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)空間的一組基底，則、、、共面D、已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間的一組基底10．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，D．函數(shù)的極大值為11．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________．13．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則。14．已知是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本小題滿分13分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）函數(shù)，分析在上的單調(diào)性.（Ⅱ）若函數(shù).當(dāng)時(shí)，求的最小值；17．（本小題滿分15分）橢圓：()的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓：的直徑，且的離心率等于。直線和是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)。(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的斜率()。18.（本小題滿分17分）已知圓與拋物線在軸下方的交點(diǎn)為，與拋物線的準(zhǔn)線在軸上方的交點(diǎn)為，且點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱．（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)，是拋物線上與點(diǎn)不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．（本小題滿分17分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282024-2025學(xué)年甘肅省天水市武山縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第I卷（非選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則()。A、B、C、D、【正確答案】B2．在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為()。A、B、C、D、【正確答案】C3．在疫情沖擊下，地?cái)偨?jīng)濟(jì)有利于緩解部分失業(yè)人群的燃眉之急，2020年5月底中央開始鼓勵(lì)地?cái)偨?jīng)濟(jì)，某地?cái)偟娜沼鹹（單位：百元）與當(dāng)天的平均氣溫x（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：x/℃2022242123y/百元13623若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則y與x的線性回歸方程必過的點(diǎn)為（）A．（22，3） B．（22，5） C．（24，3） D．（24，5）【正確答案】A．4．已知函數(shù)，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【正確答案】D5．對(duì)于函數(shù)，有以下四種說法：①函數(shù)的最小值是②圖象的對(duì)稱軸是直線③圖象的對(duì)稱中心為④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的說法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】A6．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且是等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【正確答案】B7．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【正確答案】D8．如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且。當(dāng)、、、共面時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為()。A、B、C、D、【正確答案】B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．給出下列命題，其中正確的有()。A、空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B、已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C、、、、是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)空間的一組基底，則、、、共面D、已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間的一組基底【正確答案】BCD10．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，D．函數(shù)的極大值為【正確答案】ABD11．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【正確答案】AC第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________．【正確答案】13．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則?！菊_答案】14．已知是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則______.【正確答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本小題滿分13分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，則，可得，所以，因?yàn)椋?，所以，整理得，解得，所以；?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)，，，①，由①得，②，①②得，化簡(jiǎn)得.因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）函數(shù)，分析在上的單調(diào)性.（Ⅱ）若函數(shù).當(dāng)時(shí)，求的最小值；【正確答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）（i）；【詳解】（Ⅰ），則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（Ⅱ），則.（i），當(dāng)時(shí)，，，所以，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.17．（本小題滿分15分）橢圓：()的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓：的直徑，且的離心率等于。直線和是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)。(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的斜率()。(1)由題意得，∴，∵，∴，∴，2分∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；3分(2)直線：，則直線：，由，5分得，恒成立，6分設(shè)、，則，，7分∴，8分∵圓心到直線：的距離，9分又，∴，10分∵，∴，11分由，解得或，由，得。12分18.（本小題滿分17分）已知圓與拋物線在軸下方的交點(diǎn)為，與拋物線的準(zhǔn)線在軸上方的交點(diǎn)為，且點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱．（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)，是拋物線上與點(diǎn)不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【正確答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）解：將代入，得，所以，由點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可得，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得，所以拋物線的方程為．（2）證明：由（1）得，設(shè)，，直線的方程為．將直線的方程代入得，所以，所以，．因?yàn)?，所以，由題意可知，，所以．所以，即，所以，即，所以直線的方程為，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．（本小題滿分17分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828