2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．03．拋物線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．若空間中三個點，則直線與直線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（

）A．3 B． C． D．6．已知兩條直線與被圓截得的線段長均為2，則圓的面積為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的右焦點為是橢圓上任意一點，點，則的周長的最大值為（

）A． B．14 C． D．8．已知是雙曲線的左?右焦點，過的直線與的左?右兩支分別交于兩點.若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．過點且與兩點距離相等的直線方程（

）A． B．C． D．10．已知圓，則下列命題正確的是（

）A．圓心坐標(biāo)為2,1B．圓與圓有三條公切線C．直線與圓相交所得的弦長為8D．若圓上恰有三個點到直線的距離為，則或11．人教A版選擇性必修第一冊在橢圓章節(jié)的最后《用信息技術(shù)探究點的軌跡：橢圓》中探究得出橢圓（）上動點到左焦點的距離和動點到直線的距離之比是常數(shù).已知橢圓：，為左焦點，直線：與軸相交于點，過的直線與橢圓相交于A，兩點（點A在軸上方），分別過點A，向作垂線，垂足為，，則（

）A． B．C．直線與橢圓相切時， D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知空間向量，且∥，則.14．如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.16．如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，，在平面中，，且，.(1)求證：面面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知，動點滿足到兩點的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.18．已知點是離心率為的橢圓：上的一點．(1)求橢圓的方程；(2)點在橢圓上，點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，直線和的斜率都存在且不為，試問直線和的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；(3)斜率為的直線交橢圓于、兩點，求面積的最大值，并求此時直線的方程．19．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡(luò)曲線的方程；(3)在（2）的條件下，過直線上的動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求原點到直線的距離的最大值.

答案1．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線，即為，可知直線的斜率為，所以傾斜角.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以直線過點，所以，解得.故選:A.3．【正確答案】C【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故，焦點坐標(biāo)為.故選:C.4．【正確答案】B【詳解】因為，所以，記直線與直線的夾角為，則.故選：B5．【正確答案】B【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由直線上的點向圓引切線，切點為A，則.要使切線長最小，則PC最小，此時.所以切線長的最小值為．故選：B.6．【正確答案】A【詳解】因為兩條直線與，所以，所以與間的距離為，所以圓心到直線的距離為1，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓的半徑為，所以圓的面積為.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】由橢圓方程得，，.設(shè)橢圓的左焦點為，

,，則的周長為,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，且在的延長線上時取等號.的周長最大值為.故選:B.8．【正確答案】C【詳解】因為，不妨令，，，因為，所以，又由雙曲線定義得：，,所以，所以，所以，所以，在直角三角形中，，又，所以，所以雙曲線離心率為.故選：C.9．【正確答案】BC【詳解】由題意得：滿足條件的直線斜率存在，可設(shè)所求直線方程為，即，因為與點距離相等，則，可得，解得或，所以所求直線方程為或.故選：BC10．【正確答案】ACD【詳解】對于選項A：由圓，可化為，可得圓心，半徑為，故A正確；對于選項B：由圓，可得圓心，半徑.，且，則.所以圓與圓不可能外切或外離，故兩圓至多有兩條公共切線，故B錯誤；對于選項C：由圓心到直線的距離為，所以相交弦長為，故C正確；對于選項D：由圓上恰有三個點到直線的距離為，則滿足圓心到直線的距離為，即，解得或，故D正確.故選：ACD.11．【正確答案】ABD【詳解】對A：由條件知,，故，故A正確；對D：作軸于，則，，所以，故D正確；對B：同D知,，因為，所以，所以，即平分，由角平分線性質(zhì)知,,即，故B正確；對C：下面證明當(dāng)且僅當(dāng)時與橢圓相切，因為，所以時,當(dāng)且僅當(dāng)，此時點A是唯一的，故與橢圓相切,當(dāng)時，，滿足條件的有兩個，即點A有兩個，此時與橢圓相交，故當(dāng)且僅當(dāng)時,與橢圓相切，此時，故C錯誤.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】由題知雙曲線的焦點在軸上，所以，即，又，聯(lián)立，求解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故13．【正確答案】【詳解】因為∥，且均不是零向量，故存在非零實數(shù)使得，此即.故，所以.故答案為.14．【正確答案】33/【詳解】不妨設(shè)點在第二象限，的內(nèi)切圓與各邊的切點分別為,設(shè),則，故，，，由于點在第二象限，，所以，故，，因此，，當(dāng)代入得（負(fù)值舍去），故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，在直線上，設(shè)，則，解得，即點坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則，解得，即，所以直線的方程為，即.

16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，，利用勾股定理證明，結(jié)合可證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直；（2）過點作，連接，由（1）可得，可證平面平面，所以即為直線與平面所成角，利用幾何法可得正弦值.【詳解】（1）如圖所示，取中點，連接，，由四邊形為菱形，且，得，，又，，，，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如圖所示，過點作，垂足，連接，由（1）得平面平面，平面平面，，平面，，，又，平面，且，平面，平面平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，又，，，即直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)Px,y，，由題意可得，兩端同時平方得，故，化簡得.故曲線的方程為.（2）直線：，即，令，解得，故直線過定點.代入點到圓的方程：，故點在圓的內(nèi)部.設(shè)圓心到直線的距離為，又，所以.又因為，，所以,解得.故的取值范圍為.18．【正確答案】(1)；(2)是，(3)最大值為，【詳解】（1），，將代入橢圓方程得，所以橢圓方程為；（2）依題意得在橢圓上，直線和的斜率都存在且不為，設(shè)，所以，，，所以直線和的斜率之積為定值；（3）設(shè)直線的方程為，，由消去，整理得，，則，則，，點到直線的距離為，，當(dāng)，即時面積最大，且最大值為，此時直線的方程為．19．【正確答案】(1)；(2)，曲線的方程為；(3).【詳解】（1）由題可得，直線族為圓M的切線，故滿足，所以滿足．（2）將點代入，可得關(guān)于的方程，因為點不在直線族上，故方程無實數(shù)解，所以，那么，故，因為區(qū)域的邊界為拋物線，下證：是的包絡(luò)曲線．證明：聯(lián)立直線與，可得，所以，故直線族：為拋物線的切線.因此直線族的包絡(luò)曲線的方程為.（3）由（2）得曲線的方程為，設(shè)Px0,則，即.設(shè)Ax易知直線的斜率