2024-2025學年廣東省茂名市高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣東省茂名市高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知為空間中不共面的四點，且，若四點共面，則實數(shù)t的值是（

）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．5．設，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．126．已知，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．47．若函數(shù)在R上可導，且，則當時，下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．8．如圖,點,分別是雙曲線C:(,)的左、右焦點,M是C右支上的一點,與y軸交于點P,的內(nèi)切圓在邊上的切點為Q,若,則C的離心率為(

)A． B．3 C． D．二、多選題9．下列結論正確的是（

）A．是第二象限角B．函數(shù)的最小正周期是C．若，則D．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為10．一個盒子中裝有個黑球和個白球（均為不小于2的正整數(shù)），現(xiàn)從中先后無放回地取2個球.記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．11．中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．若為銳角三角形，則取值范圍是D．若為邊上的中點，則的最大值為12．函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．最小值為B．C．當時，方程無實根D．當時，若的兩根為，則三、填空題13．在3000和7000間有個沒有重復數(shù)字的5的倍數(shù)．14．已知?，則?15．已知圓：與圓關于直線：對稱，且圓上任一點與圓上任一點之間距離的最小值為，則實數(shù)的值為．16．若點P、Q分別在函數(shù)y＝ex和函數(shù)y＝lnx的圖象上，則P、Q兩點間的距離的最小值是．四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，求A的內(nèi)角平分線的長．18．（1）有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2?3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1?2?3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，求在取到的零件是次品的前提下是第1臺車床加工的概率.（2）設驗血診斷某種疾病的誤診率為5%，即若用表示驗血為陽性，表示受驗者患病，則，若受檢人群中有0.5%患此病，即，求一個驗血為陽性的人確患此病的概率19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是的中點.

(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角的余弦值.20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．已知雙曲線的中心為坐標原點，左、右焦點分別為，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點，點是雙曲線上一點，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.22．設函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若為正數(shù)，且存在使得，求的取值范圍.1．A【分析】利用誘導公式可得，即可求值.【詳解】.故選：A2．D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，由可得且，解得，則，因此，.故選：D.3．C【分析】根據(jù)平面向量基本定理得到，進而得2，根據(jù)待定系數(shù)法即可.【詳解】∵四點共面∴必存在唯一一組有序實數(shù)對使得，∴，即∵四點不共面∴，否則三點共線，即四點共面，與題意不符，∴，則有，故而，∴.故選：C.4．C【分析】利用與的關系求出數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列的定義可得出關于的等式，解之即可.【詳解】當時，，當時，，故當時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，易知該數(shù)列的公比為，則，即，解得.故選：C.5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理推理計算作答.【詳解】，而是整數(shù)，是13的倍數(shù)，即能被13整除，因此能被13整除，而，即，所以，即.故選：B6．B【分析】根據(jù)得到，然后利用基本不等式求最值即可.【詳解】設，，則，，，當且僅當，即，時，等號成立.故選：B.7．D【分析】構造函數(shù)、，利用導數(shù)判斷單調(diào)性再比較大小可得答案.【詳解】令，則，由于的正負不確定，所以的正負不確定，不能判斷的單調(diào)性，故AC錯誤；令，由，則，所以為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即，故B錯誤D正確；故選：D.8．D【分析】利用三角形內(nèi)切圓的性質及雙曲線的定義即可獲解【詳解】如圖,設內(nèi)切圓與的兩外兩個交點為R,S,則所以,即又PO垂直平分,所以即,所以又,所以離心率.故選：D9．ABD【分析】A：根據(jù)負角的定義和象限角的范圍進行判斷即可；B：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，結合絕對值的性質進行判斷即可；C：根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式中的商關系進行求解判斷即可；D：利用弧長公式、扇形面積公式進行求解判斷即可.【詳解】解：對于A：根據(jù)象限角的范圍，為第二象限角，故A正確；對于B：因為函數(shù)的最小正周期是，所以函數(shù)的最小正周期是，故B正確；對于C：若，則，故C錯誤；對于D：若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的半徑為6，所以扇形的面積為，故D正確.故選：ABD.10．BC【分析】將一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率；第一次取黑球，第二次取黑球的概率等一一列舉出來，再利用條件概率公式即可作出判斷.【詳解】第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率第一次取黑球，第二次取黑球的概率；第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A錯誤；第一次取白球，第二次取黑球的概率；第一次取白球，第二次取白球的概率；第二次取得黑球的概率；第二次取得白球的概率；，故B正確；；，，故C正確；；故D錯誤.故選:BC11．BCD【分析】由數(shù)量積的定義及面積公式求得A角，然后根據(jù)三角形的條件求解判斷各ABC選項，利用，平方后應用基本不等式求得最大值，判斷D．【詳解】因為，所以，，又，所以，A錯；若，則，三角形有兩解，B正確；若為銳角三角形，則，，所以，，，，C正確；若D為邊上的中點，則，，又，，由基本不等式得，，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當時等號成立，D正確．故選：BCD．本題考查解三角形的應用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關鍵．在用正弦定理解三角形時可能會出現(xiàn)兩解的情形，實際上不一定要死記結論，可以按正常情況求得，然后根據(jù)的大小關系判斷角是否有兩種情況即可．12．BD【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得其單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，進而判斷出ABC的正誤．對于D，當時，若的兩根為，則，即證，設，，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其與最值即可得出結論．【詳解】解：，定義域，，或時，；當時．和時，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象如下所示：對于A．可得時，，因此函數(shù)無最小值；對于B．，函數(shù)單調(diào)遞增，，，，因此B正確；對于C．當時，方程有一個實根，因此C不正確；對于D．因為，當時，方程有兩根為，則有，故，因為，則要證，則只要證明即可，即證，即證，不妨設，則即證，令，只需證，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以，因此當時，若的兩根為，則，故D正確．故選：BD．13．392【分析】由兩個計數(shù)原理求解．【詳解】滿足5的倍數(shù)的個位為0或5，當個位是0時，千位有4種情況，共有種，當個位是5時，千位有3種情況，共有種，故共有個滿足題意的數(shù)，故39214．##【分析】先由的范圍及的值確定的范圍，再利用三角函數(shù)基本關系式中的平方關系求得，從而利用正弦的倍角求得.【詳解】因為?，所以?，又?，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以?是第一象限角，即?，所以?，所以?.故15．2或6.【詳解】分析：由兩圓對稱可得到圓的圓心坐標，然后根據(jù)圓上任一點與圓上任一點之間距離的最小值為兩圓的圓心距減去兩半徑可得實數(shù)的值．詳解：設圓的圓心為，∵圓和圓關于直線對稱，∴，解得，∴圓的圓心為．∴．∵圓上任一點與圓上任一點之間距離的最小值為為，∴，解得或．點睛：解答本題的關鍵是得到圓N的圓心坐標，然后根據(jù)幾何圖形間的關系求解．解答直線和圓、圓和圓的位置關系問題時，可充分考慮幾何圖形的性質，將問題轉化為兩點間的距離或點到直線的距離求解．16．【分析】利用兩函數(shù)互為反函數(shù)，轉化為直線到曲線的距離結合切線求解【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，故函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，兩點間的最短距離是點到直線的最短距離的2倍，設曲線上斜率為1的切線為，，由得，即切點為，兩點間的最短距離為故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式得到，進而求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先求出，從而得到，由列出方程，求出的長.【詳解】（1）因為所以，,解得，,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因為，所以．因為，所以，所以，所以，故，由題意知，，所以，即，所以．18．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率的計算公式求解作答.（2）由條件概率的公式代入計算與，進而求出和，再利用公式求解作答.【詳解】（1）記為“零件為第（）臺車床加工”的事件，為“任取一個零件為次品”的事件，，且兩兩互斥，，，所以，因此，所以在取到的零件是次品的前提下是第1臺車床加工的概率.（2）由，得，，又，得，則，所以驗血陽性的人確患此病的概率為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件可推出，利用中線的性質即可得解；（2）證明，建立空間直角坐標系，利用線面角公式求解即可.【詳解】（1）取中點，連接，則，

又因為，所以四邊形是平行四邊形，因為，，所以四邊形是正方形，所以，即是等腰三角形，則，所以，即，因為平面，平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，又因為點是的中點，所以由直角三角形性質易得（2）因為平面，平面，所以，又因為四邊形是正方形，所以，如圖，以為正交基底建立空間直角坐標系，

則，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，設直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成的角的余弦值為.20．(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列代入計算；（2）利用錯位相減法可得，討論n的奇偶結合恒成立問題運算處理．【詳解】（1）因為數(shù)列是等比數(shù)列，則可得，解得所以．因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，，則公差，所以．故，（2）由（1）得：，數(shù)列的前n項和為①所以②由①-②得：，所以．不等式恒成立，化為成立，令且為遞增數(shù)列，即轉化為當時，恒成立，取，所以．當時，恒成立，取，，所以．綜上可得：實數(shù)的取值范圍是．21．(1)或(2)【分析】（1）由點在雙曲線上求參數(shù)，即可得雙曲線方程，進而寫出漸近線方程；（2）設，由向量數(shù)量積的坐標表示得到，結合是雙曲線上一點及，整理化簡即可求值.【詳解】（1）由題意得，，解得.所以雙曲線方程為：，于是其漸近線為或，即或.（2）設，，因為，

所以，整理得.因為點在雙曲線上，所以，即，所以.22．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求導，分情況討論導函數(shù)的正負及函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可得函數(shù)，構造函數(shù)，及，求導可得函數(shù)單調(diào)性與的取值范圍.【詳解】（1），（），①當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；②當時，可知當，；當，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上