2024-2025學年重慶市萬州區(qū)高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年重慶市萬州區(qū)高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．不存在2．已知雙曲線的虛軸長為，一個焦點為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若平面，則（

）A． B． C． D．4．在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C． D．5．已知拋物線，過點作弦，弦恰被點平分，則弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．6．在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，且平面底面，為線段的中點.記異面直線與所成角為，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知兩點、，若圓上存在點，使，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若是雙曲線的右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于兩點（為垂足，在線段上），且滿足，則該雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是橢圓的左、右焦點，是左、右頂點，為上異于的一點，延長交橢圓于點，則下列結論正確的是（

）A．橢圓的離心率 B．的最小值為C．的周長為 D．的面積的最大值為10．已知動點與兩定點、的距離之比為，設動點的軌跡為，下列結論正確的是（

）A．的方程為B．面積的最大值為C．最大時，D．設，則的最小值為11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，、分別是線段、的中點，是線段上的一個動點（含端點、），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．存在點，使得C．三棱錐體積的最大值是D．當點自向處運動時，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線：，則直線恒過定點.13．在棱長為的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為.14．橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓，、為其左、右焦點.是上的動點，點，且的最大值為，則.動直線為橢圓的切線，右焦點關于直線的對稱點為，則點到直線的距離的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知、、、四點.(1)求經(jīng)過、、三點的圓的方程；(2)若直線過點且與圓相切，求直線的方程.16．如圖，已知平面，底面為正方形，，、分別為、的中點.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.17．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與拋物線交于、兩點，若點滿足，求直線的方程.18．如圖1，已知正方形的邊長為，分別為的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，使得，點是線段上的動點（包含端點）.

+(1)若為的中點，直線與平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點，使二面角為？若存在，求出線段的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由.19．已知為坐標原點，是橢圓的左、右焦點，的離心率為，點是上一點，的最小值為.(1)求橢圓的方程；(2)已知是橢圓的左、右頂點，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.①證明：直線過定點；②設的面積為，求的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為直線的方程為，故軸，所以，直線的傾斜角為.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，設其標準方程為，由題意可得，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，因為平面，則，所以，，解得.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】如下圖所示：

由題意可得，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，同理可得，由空間向量的平行六面體法則可得，所以，，即.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】設點Ax1,因為點M1,1為線段的中點，則，，若直線軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，由題意可得，將這兩個等式作差可得，即，所以，直線的斜率為.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】過在平面內(nèi)作，垂足為點，因為側面是正三角形，所以是的中點，又因為平面底面，平面平面，平面，所以底面，以為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，則，，所以，，故選：C.7．【正確答案】B【詳解】設點，則，，因為，則，所以，，化簡可得，故點的軌跡方程為，由題意可知，圓與圓有公共點，兩圓圓心距為，所以，，即，因為，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為：，設過點與漸近線垂直的方程為，由，得，由，得，因為，所以，則，所以，化簡得，即，解得（舍去）或，則.故選：D9．【正確答案】AC【詳解】

對于A，由題意可得，所以，故A正確；對于B，的最小值為橢圓的通徑長，故B錯誤；對于C，由橢圓的定義可得的周長為，故C正確；對于D，因為，當三角形的高最大時面積最大，即點為短軸端點時面積最大，所以的面積的最大值為，故D錯誤；故選：AC.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A選項，設Mx,y，由題，即，整理得，A錯；對于B選項，以為底，且到的最大距離為半徑，所以面積的最大值是，B對；對于C選項，當最大時，此時，直線與圓相切，取點，則，且，由勾股定理可得，C對；對于D選項，由題意可得，則，當且僅當為線段與圓的交點時，等號成立，

所以，的最小值為，D對.故選：BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】平面，四邊形是正方形，以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，得A0,0,0、、、、、、、，對于A，假設存在點，使得，則，又，則，解得：，即點與重合時，，A對；對于B，假設存在點，使得，因為，，因為，則存在，使得，即，所以，，解得，故當點為線段的中點時，，B對；對于C選項，連接、、，設，因為，當，即點與點重合時，取得最大值，又點到平面的距離，所以，，C錯；對于D，由上分析知，，，若是面的法向量，則，令，則，設直線與平面所成的角為，因為函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，則當點自向處運動時，即逐漸增大時，直線與平面所成的角逐漸增大，D對.故選：ABD12．【正確答案】【詳解】由題意可得，令，解得，所以直線恒過定點，故13．【正確答案】【詳解】方法1：由正方體棱長為2，則，又為的中點，則.點到直線的距離為等腰三角形邊AE所對應的高，取中點為F，連接EF，則EF為邊上的高，則；方法2：如圖建立空間直角坐標系，則，，.則在上的投影向量為.則到直線的距離.故答案為.14．【正確答案】【詳解】根據(jù)橢圓定義得，所以，，當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立，因為的最大值為，且，則，解得，則.設切橢圓于點，由橢圓的光學性質(zhì)可得、、三點共線，，則點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，到直線的距離為，由圓的幾何性質(zhì)可知，點到直線的距離最小值，最大值，即.故；.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設圓的標準方程為，因為、、三點都在圓上，則，解得，因此，圓的方程為.（2）由（1）可知，圓的圓心為，半徑為,①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；②若直線的斜率存在，設直線的方程為，即，因為直線與圓相切，所以，，解得此時，直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，，設平面的法向量為，則，令，得，則，故平面.（2）由（1）知，，，設平面的一個法向量為，則，令，得，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）拋物線的準線方程為，因為點在拋物線上，且，由拋物線的定義可得，解得，因此，拋物線的方程為.（2）若直線軸，則直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意，故可設直線的方程為，設點Mx1,y1由，整理得，則，由韋達定理可得，，因為，，所以，即，即，即，解得，因此，直線的方程為，即.18．【正確答案】(1)點在的延長線上，且，證明見解析(2)存在，線段為【詳解】（1）直線平面，點在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，點在平面與平面的交線上，延長交于點，連接，如圖所示，

，為的中點，與全等，，點在的延長線上，且，連接交于點，連接，四邊形為矩形，是的中點，為的中位線，，又平面，平面，直線平面.（2）如圖，由已知可得，，又，平面，平面，又平面，平面⊥平面，，為等邊三角形，取的中點，連接，則，平面平面，平面平面，平面，平面，過點作直線，以為坐標原點，以，，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，則，設（），則，設平面的法向量為，則，即，取，則，，平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，要使二面角的大小為，則，解得，