《集合》知識(shí)要點(diǎn)整合

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《第一章集合》章末復(fù)習(xí)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識(shí)要點(diǎn)整合一、集合的概念與表示1.集合的定義：一般地，我們把指定的某些對(duì)象的全體稱為集合.集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素.元素的主要特征：確定性、互異性、無(wú)序性.2.常用集合的表示：3.集合常用的表示方法：自然語(yǔ)言、列舉法、描述法.自然語(yǔ)言的特點(diǎn)是富有表現(xiàn)力，是最基本的語(yǔ)言形式，但是具有多義性，有時(shí)難于表達(dá)，適用范圍非常廣泛；列舉法的特點(diǎn)是直觀、明了，但有局限性，適用于元素個(gè)數(shù)較少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特點(diǎn)，適用于所含有元素較多的有限集或無(wú)限集.4.集合的分類：有限集、無(wú)限集、空集例1若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.0B.0或1C.1D.不能確定解析集合A中只有一個(gè)元素，有兩種情況：當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意.故集合A中只有一個(gè)元素時(shí)，a的值是0或1.答案B例2設(shè)為實(shí)數(shù)，，.記集合，.若分別為集合S,T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能正確的是（）A.且B.且C.且D.且解析當(dāng)時(shí)，，.若，則；若，則；若，則.當(dāng)時(shí)，，.若|，則；若，則|，若，則.故只有D不可能正確.答案D二、集合間的基本關(guān)系子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都屬于集合B，即若，則，那么稱集合A是集合B的子集.任何一個(gè)集合都是它本身的子集空集是任何集合的子集.集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么稱集合A與集合B相等.真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果，且，那么稱集合A是集合B的真子集.空集：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解.端點(diǎn)值：已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件，常用數(shù)軸解決此類問(wèn)題.例3（1）集合，，則下列關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.（2）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.解析（1），即A中的元素；而，即B中的元素，.（2）在數(shù)軸上標(biāo)出A,B兩集合如圖所示，結(jié)合數(shù)軸知，若，則.答案（1）B（2）C例4若集合，集合，則A與B間的關(guān)系是（）A.B.C.D.解析因?yàn)檎麛?shù)包括奇數(shù)與偶數(shù)，所以或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.答案D例5已知全集，.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析（1）求出集合A，根據(jù)全集為R，即可求出A的補(bǔ)集；（2）根據(jù)，可得，解出m的取值范圍即可.答案（1）因?yàn)椋秩?，所?（2）因?yàn)?，且，所以，所以，即?shí)數(shù)m的取值范圍是.三、集合的基本運(yùn)算集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，這也是高考對(duì)集合部分的主要考查點(diǎn)有些題目比較簡(jiǎn)單，直接根據(jù)集合運(yùn)算的定義可得答案；有些題目與解不等式或方程相結(jié)合，需要先正確求解不等式，再進(jìn)行集合運(yùn)算；還有的集合問(wèn)題比較抽象，解題時(shí)需借助Venn圖進(jìn)行數(shù)形分析或利用數(shù)軸等，采用數(shù)形結(jié)合思想方法，可使問(wèn)題直觀化、形象化，進(jìn)而能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解.例6（1）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.（2）已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3（3）已知集合，，且，則a的取值范圍是（）A.B.C.D.解析（1）因?yàn)椋?，所以?（2）聯(lián)立解得或因此中的元素個(gè)數(shù)為2.（3），.，由數(shù)軸知（如圖所示）.答案（1）A（2）C（3）A例7（1）已知集合,，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3（2）設(shè)集合，，則_____.解析（1）由題意得，集合的子集的個(gè)數(shù)為2.（2）集合，，又，.答案（1）C（2）四、必要條件與充分條件的判定1.定義法：直接判斷“若，則q”“若q，則p”的真假.2.等價(jià)法：對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法進(jìn)行判斷.3.利用集合間的包含關(guān)系判斷：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若，則A是B的充要條件.例8（1）設(shè)，則“或”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（2）設(shè)，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（3）已知命題p：，q:，若p是q的充要條件，則_____.解析（1）由或，此時(shí)得不出，但當(dāng)時(shí)，不等式或恒成立.（2）因?yàn)榍?易證，所以充分性滿足，反之，不成立，如，滿足，但不滿足且，所以且是的充分不必要條件.（3）由題意得p：，q:，因?yàn)閜是q的充要條件，所以，即.答案（1）B（2）A（3）例9已知，，其中均為實(shí)數(shù).證明：對(duì)于任意的，均有成立的充要條件是.解析要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明，充分性是由，證明對(duì)于任意的，均有；必要性是由對(duì)于任意的，均有成立，證明.答案因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，且，當(dāng)時(shí)，.先證必要性：對(duì)于任意的，均有，即，所以.再證充分性：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，y的最大值為.所以對(duì)于任意，，即.即充分性成立.五、全稱量詞命題與存在量詞命題1.在給定集合中，斷言所有元素都具有同一種性質(zhì)的命題叫作全稱量詞命題.在給定集合中，斷言某些元素具有一種性質(zhì)的命題叫作存在量詞命題.2.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.3.“一般命題的否定”與“含有一個(gè)量詞的命題的否定”的區(qū)別與聯(lián)系：（1）一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個(gè)命題；含有一個(gè)量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論的同時(shí)，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞.（2）與一般命題的否定相同，含有一個(gè)量詞的命題的否定的關(guān)鍵也是對(duì)關(guān)鍵詞的否定.例10（1）下列命題不是全稱量詞命題的是（）A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.高一（1）班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D.每一個(gè)實(shí)數(shù)都有大?。?）命題p:“”，則（）A.p是假命題；命題p的否定是：B.p是假命題；命題p的否定是：C.p是真命題；命題p的否定是：D.p是真命題；命題p的否定是：解析（1）A中命題可改寫(xiě)為：任意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫(xiě)為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫(xiě)為：高一（1）班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，故C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫(xiě)為：任意的一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題.（2）由于不成立，故“”為假命題.根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“”的否定是“”.答案（1）C（2）B例11（1）下列命題不是存在量詞命題的是（）A.有些實(shí)數(shù)沒(méi)有平方根B.能被5整除的數(shù)也能被2整除C．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有些一元二次方程無(wú)解D.有一個(gè)m使與異號(hào)（2）命題“能被7整除的數(shù)是奇數(shù)”的否定是_____.解析（1）選項(xiàng)中都含有存在量詞，故皆為存在量詞命題，選項(xiàng)B中不含存在量詞，故不是存在量詞命題.（2）原命題即為“所有能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)”，是全稱量詞命題，故該命題的否定是“存在一個(gè)能被7整除的數(shù)不是奇數(shù)”.答案（1）B（2）存在一個(gè)能被7整除的數(shù)不是奇數(shù)六、不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1.利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假，從條件入手利用性質(zhì)看能否推出結(jié)論，一定要注意不等式性質(zhì)成立的條件；對(duì)于假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.2.利用不等式的性質(zhì)來(lái)確定某個(gè)代數(shù)式的取值范圍是一類常見(jiàn)的綜合問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題要注意：“同向不等式的兩邊才可以相加”，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，當(dāng)在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時(shí)，就有可能擴(kuò)大真實(shí)的取值范圍，解題時(shí)務(wù)必小心、謹(jǐn)慎，應(yīng)先建立待求范圍與已知范圍的等量關(guān)系，最后通過(guò)不等關(guān)系的性質(zhì)運(yùn)算求得待求式子的取值范圍.例12如果滿足且，則下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A.B.C.D.解析，，.對(duì)于A：，A正確.對(duì)于B：，B正確.對(duì)于C:，C錯(cuò)，即C不一定成立.對(duì)于D:，D正確.答案C例13（1）若且，則下列不等式中正確的是（）A.B.C.D.（2）若，，則的取值范圍為_(kāi)____.解析（1）由及知.又，.（2）.又，.答案（1）A（2）七、基本不等式及應(yīng)用1.利用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正”“二定”“三相等”“一正”，即所求最值的各項(xiàng)必須都是正值；“二定”，即含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；“三相等”，即必須具備不等式中等號(hào)成立的條件，才能取得最大值或最小值利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知條件和欲求式子，運(yùn)用“拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件，具體可歸納為：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；二不定，應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般需用其他方法多次使用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)能否成立.2.利用基本不等式證明不等式應(yīng)注意，累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；對(duì)不能直接使用基本不等式的證明問(wèn)題可重新組合，使題干轉(zhuǎn)化成基本不等式的形式，再使用有附加條件的不等式的證明，應(yīng)注意觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系.例14已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y取得最小值b，則_____.解析，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以.答案3例15某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同的速度v行駛，單位：m/s）、平均車長(zhǎng)l（單位：m）的值有關(guān)，其公式為.（1）如果限定車型，，則最大車流量為_(kāi)____輛/小時(shí);（2）如果限定車型，，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加_____輛/小時(shí).解析（1），則.由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），得（輛/小時(shí)）.（2），則·由基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取號(hào)），得（輛/小時(shí)），比（1）中的最大車流量增加（輛/小時(shí)）.答案（1）1900（2）100八、一元二次不等式及其應(yīng)用只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)、方程之間存在著密切的聯(lián)系，即給出了一元二次不等式的解集，則可知不等式中二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和對(duì)應(yīng)一元二次方程的根在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化；要注意一元二次不等式的解集與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系解有關(guān)不等式的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清題目中錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，將題目中的不等關(guān)系用不等式表示出來(lái)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.例16解關(guān)于x的不等式.解析解含參數(shù)的一元二次不等式，需按參數(shù)分類討論.答案方程的解為,函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，則當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式