數(shù)字信號處理-證明題(3道)-

題干證明DFT的對稱定理，即假設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，證明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)答案證：因為：所以：由于：所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－1題干如果X(k)=DFT［x(n)］，證明DFT的初值定理：答案證:由IDFT定義式：可知：題干證明:若x(n)為實序列，則X(k)為共軛對稱序列，即。答案證:由DFT的共軛對稱性。將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n)則：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其難：Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共軛對稱分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共軛反對稱分量。所以：如果x(n)為實序列，則Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即。題干證明：若x(n)實偶對稱，即x(n)=x(N－n)，且則X(k)也實偶對稱。答案證明：由DFT的共軛對稱性可知，如果

x(n)=xep(n)+xop(n)則：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］

則：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以：當(dāng)x(n)=x(N－n)時，等價于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有實部，即X(k)為實函數(shù)。又實序列的DFT必然為共軛對稱函數(shù)，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)實偶對稱。題干證明：若x(n)實奇對稱，即x(n)=－x(N－n)，且則X(k)為純虛函數(shù)并奇對稱。答案證明：由DFT的共軛對稱性可知，如果

x(n)=xep(n)+xop(n)則：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］

則：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以：當(dāng)x(n)=－x(N－n)時，等價于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有純虛部，且由于x(n)為實序列，即X(k)共軛對稱，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),為純虛奇函數(shù)。題干證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)：設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，則答案證：令m=k+l,則題干證明離散帕塞瓦爾定理。若X(k)=DFT［x(n)］，則答案證：題干若X(K)=DFT[x(n)]N,證明X(K)是隱含周期的，其周期為N。答案證明：，題干其中:k,m為整數(shù)，N為自然數(shù)答案題干答案證明：題干答案證明：題干答案證明：題干答案證明：題干答案證明：題干證明:答案證明：題干證明：答案證明：題干證明：答案證明：題干證明：答案證明：題干證明答案證明：題干證明DFT的線性性質(zhì)即：若則：其中：a、b為常數(shù)答案證明：題干證明FT的線性性質(zhì)。即設(shè)X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么式中,a，b是常數(shù)答案證明：題干將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，證明：答案證明：實序列的Fourier變換具有共軛對稱性題干將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，證明：答案證明：虛數(shù)Fourier變換具有共軛反對稱性題干證明：答案證明：序列x(n)的共軛對稱部分xe(n)對應(yīng)著X(ejω)的實部XR(ejω)題干證明：答案證明：序列x(n)的共軛反對稱部分xo(n)對應(yīng)著X(ejω)的虛部(包括j)。題干證明時域卷積定理，即設(shè)y(n)=x(n)*h(n)則：Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）答案證明：令k=n－m，則:題干設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，則答案證明：因此：題干設(shè)w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］Rx－<|z|<Ry+1證明;W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)Rw－<|z|<Rw+Rw+=min［Rx+,Ry+］Rw-=max［Rx-,Ry-］答案證明：W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。題干設(shè)m(n)=ax(n)+by(n)a,b為常數(shù)X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+則:M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z) Rm-<|z|<Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］答案證明：Rm-<|z|<Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］題干證明：FT的周期性。即證明FT的周期是。答案證明：Ｍ為整數(shù)題干證明線性卷積服從交換律。即證