2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)提升課學(xué)案新人教B版選修1-1

PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)提升課[學(xué)生用書P66][學(xué)生用書P67]1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率，過點P的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)．假如f′(x)＞0，那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；假如f′(x)＜0，那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．3．由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得的結(jié)論(1)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x)在(a，b)隨意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；f′(x)≤0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減．(2)f′(x)＞0(＜0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充分條件．4．函數(shù)的極值極大值與微小值：一般地，設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x0及旁邊有定義，若x0滿意f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f′(x)的值異號，則x0是f(x)的極值點，f(x0)是極值．并且假如f′(x)在x0兩側(cè)滿意“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點，f(x0)是極大值；假如f′(x)在x0兩側(cè)滿意“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的微小值點，f(x0)是微小值．[留意]在定義中，取得極值的點稱為極值點．極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．5．函數(shù)的最值一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．特殊地，若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探討曲線的切線問題時，要留意區(qū)分“在某點處的切線方程”與“過某點的切線方程”的區(qū)分．2．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性需留意的幾個問題(1)確定函數(shù)的定義域．解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)進行，通過探討導(dǎo)數(shù)值的符號，來推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，除了必需確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點外，還要留意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點或不行導(dǎo)點．(3)假如一個函數(shù)單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用“∪”連接，只能用逗號或“和”字隔開，如把增區(qū)間寫為(－∞，－2)∪(1，＋∞)是不正確的，因為(－∞，－2)∪(1，＋∞)不是一個全區(qū)間，該函數(shù)在(－∞，－2)∪(1，＋∞)上不肯定是單調(diào)遞增的．3．極值與最值的區(qū)分(1)函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點旁邊的函數(shù)值得出的．(2)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能一個都沒有，且極大值并不肯定比微小值大．(3)極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得；有極值未必有最值，有最值未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值．導(dǎo)數(shù)的幾何意義[學(xué)生用書P67]已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標(biāo)；【解】(1)由f(x)＝x3＋x－16，可得f′(x)＝3x2＋1，所以在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13，故切線的方程為y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)設(shè)切點為P(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，直線l的方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)，即y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又因直線l過點(0，0)，所以(3xeq\o\al(2,0)＋1)(0－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16＝0，解得x0＝－2.代入f(x)＝x3＋x－16中可得y0＝－26，斜率為3xeq\o\al(2,0)＋1＝13.所以直線l的方程為y＝13x，切點坐標(biāo)為(－2，－26)．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[學(xué)生用書P68]已知函數(shù)f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)當(dāng)t＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)t＞0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．【解】(1)當(dāng)t＝1時，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝－6x.(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝eq\f(t,2).因t＞0，則－t＜eq\f(t,2).當(dāng)x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，－t)(－t，eq\f(t,2))(eq\f(t,2)，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－t)，(eq\f(t,2)，＋∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－t，eq\f(t,2))．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值和最值[學(xué)生用書P68]已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－2.若a>0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．【解】對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增極大值－2減微小值－6增對a分四種狀況探討：①當(dāng)0<a<1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無微小值；②當(dāng)a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值；③當(dāng)1<a<3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有微小值f(2)＝－6，無極大值；④當(dāng)a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值．綜上可得，當(dāng)0<a<1時，f(x)有極大值－2，無微小值；當(dāng)1<a<3時，f(x)有微小值－6，無極大值；當(dāng)a＝1或a≥3時，f(x)無極值．導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用問題[學(xué)生用書P68]甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/時)的函數(shù)關(guān)系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v.(1)求全程運輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．【解】(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0＜v≤100)．(2)由(1)得Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，當(dāng)0＜v＜80時，Q′＜0；當(dāng)80＜v≤100時，Q′＞0，所以v＝80千米/時時，全程運輸成本取得微小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元)．1．已知函數(shù)f(x)＝xm－n(m，n∈Q)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝nx3，則m＋n＝()A．12 B．11C．10 D．9解析：選A.因為f(x)＝xm－n，所以f′(x)＝(m－n)xm－n－1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝n，,m－n－1＝3，))解得m＝8，n＝4，所以m＋n＝12.2．若曲線y＝x3－2ax2＋2ax上隨意點處切線的傾斜角都是銳角，則整數(shù)a的值為________．解析：f′(x)＝3x2－4ax＋2a，由題意知f′(x)>0恒成立，則Δ＝16a2－24a<0，得0<a<eq\f(3,2)，故a的值取為1.答案：13．拋物線y＝x2上的點到直線x－y－2＝0的最短距離為________．解析：設(shè)直線x－y＋m＝0與拋物線y＝x2相切，切點為(x0，xeq\o\al(2,0))，y′＝2x，故k＝2x0＝1，則x0＝eq\f(1,2)，所以切點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，又eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋m＝0，得m＝－eq\f(1,4)，所以直線x－y－2＝0與x－y－eq\f(1,4)＝0間的距離為d＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(1,4)))),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).答案：eq\f(7\r(2),8)4．設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿意f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．解：因為f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b