奇特的普朗克常數(shù)從理論到數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)過程

奇特的普朗克常數(shù)從理論到數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)過程一、引言普朗克常數(shù)作為量子力學(xué)中的重要物理常數(shù)，其在數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)過程一直備受關(guān)注.1900年德國物理學(xué)家普朗克在研究黑洞輻射時遇到了難題.當(dāng)時計算黑體輻射需要用到兩個公式，一個在短波輻射中適用，另一個在長波輻射中適用.然而，普朗克在一次偶然的數(shù)學(xué)計算中，將這兩個公式強行拼成了一個公式.他發(fā)現(xiàn)這個黑體輻射公式能夠很好地解釋一切波長的能量輻射問題，但前提是能量的輻射不是連續(xù)不斷的，而是一段一段的，由能量的最小單位（量子）傳遞.每一份能量子等于普朗克常數(shù)乘以輻射電磁波的頻率.這一理論的提出，開辟了物理學(xué)的新領(lǐng)域——量子力學(xué).基于此，普朗克根據(jù)能量輻射公式推導(dǎo)出了普朗克常數(shù).另一方面，海森堡于

1927年提出了不確定性原理.該原理指出，不可能同時精確確定一個基本粒子的位置和動量.粒子位置的不確定性和動量不確定性的乘積必然大于等于普朗克常數(shù)除以4π，即ΔxΔp≥h/4π.這表明微觀世界的粒子行為與宏觀物質(zhì)有很大不同.考慮到量子力學(xué)的不確定性原理，一些基本量度，如長度和時間具有不確定性，而不確定的程度由普朗克常數(shù)確定.從該常數(shù)可以定出最小的長度量子，即普朗克長度；同時作為時間量子的最小間隔即普朗克時間，也是最短的時間，沒有比這更短的時間存在.在客觀現(xiàn)實中，各種物理量之間存在著關(guān)系，這說明它們的結(jié)構(gòu)必然由若干統(tǒng)一的基礎(chǔ)成分所組成，這些基本構(gòu)成成分統(tǒng)稱為量綱.由于物理學(xué)研究物質(zhì)在時空中的演化和運動，所以一切定量問題最終離不開質(zhì)量、時間和長度這三種基本量.因此，最適宜選取

M、T、L作為這三種基本量的量綱，一切其他導(dǎo)出量的量綱可按定義或客觀規(guī)律表成這三種基本量的量綱組合.1899年馬克斯?普朗克提出了一套特殊的單位制，他試圖通過光速、約化普朗克常數(shù)、牛頓引力常數(shù)這三個基本物理學(xué)常數(shù)來構(gòu)建長度、時間、質(zhì)量、能量等基本物理量的基本單位，這些基本單位統(tǒng)稱為普朗克量綱.通過量綱分析計算可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測量物體位置的精準(zhǔn)度達到普朗克長度以下時，會出現(xiàn)一個矛盾性問題：要測量一個物體的位置，我們得用照在其上的光反射，如果對它的位置要測到很高的精確度，我們必須用更短波長的光子，但這樣這些光子的能量會更高.如果這光子的能量高到一個程度，它們就會在撞到物體時產(chǎn)生黑洞，而這個黑洞可以“吞噬掉”光子而讓實驗失敗.因此在任何結(jié)合廣義相對論與量子力學(xué)的量子引力理論中，若在時間短于普朗克時間、距離小于普朗克長度的尺度下，時間和長度等量綱就會失去意義.在氫原子中，電子和質(zhì)子作為圍繞其質(zhì)心經(jīng)典軌道運動，屬兩體問題，數(shù)學(xué)上可以通過電子相對于質(zhì)子運動的描述將兩體問題單體化，同時要求采用電子的有效質(zhì)量代替電子質(zhì)量，對電子相對于質(zhì)子的運動的計算分析結(jié)果進行修正，這是經(jīng)典理論對兩體軌道運動的標(biāo)準(zhǔn)而準(zhǔn)確處理方法.二、理論出發(fā)點1.普朗克發(fā)起的量子學(xué)理論1900年德國物理學(xué)家普朗克在研究黑洞輻射時遇到了難題.當(dāng)時計算黑體輻射需要用到兩個公式，一個在短波輻射中適用，另一個在長波輻射中適用.然而，普朗克在一次偶然的數(shù)學(xué)計算中，將這兩個公式強行拼成了一個公式.他發(fā)現(xiàn)這個黑體輻射公式能夠很好地解釋一切波長的能量輻射問題，但前提是能量的輻射不是連續(xù)不斷的，而是一段一段的，由能量的最小單位（量子）傳遞.每一份能量子等于普朗克常數(shù)乘以輻射電磁波的頻率.這一理論的提出，開辟了物理學(xué)的新領(lǐng)域——量子力學(xué).基于此，普朗克根據(jù)能量輻射公式推導(dǎo)出了普朗克常數(shù).根據(jù)普朗克提出的量子學(xué)理論，科學(xué)家們得出了物理學(xué)上最小的距離單位普朗克長度.這關(guān)系稱為普朗克關(guān)系，它由引力常數(shù)、光速和普朗克常數(shù)的相對數(shù)值決定，是物理學(xué)意義上最小的距離單位.然后，又通過普朗克常數(shù)又推斷出了普朗克溫度、普朗克時間等物理常數(shù).普朗克公式的推導(dǎo)也為我們理解普朗克常數(shù)提供了重要的線索.首先，考慮一個邊長為

L的正方體盒子，里面充滿了電磁輻射，能夠發(fā)出形成受盒子大小限制的駐波.波長可以表示為：i=2L/ni（ni是非零自然數(shù)，i代表笛卡爾坐標(biāo)系的三個維度）.根據(jù)量子力學(xué)，一個給定態(tài)的能量可以用：En=N+1/2hc2/λ2，其中h代表普朗克常量，N代表這種態(tài)的個數(shù)，或是光子數(shù)，或是給定能量數(shù).其次考慮光子氣的統(tǒng)計力學(xué).為了推導(dǎo)光子氣的能量密度，我們首先需要知道在給定溫度下，一種光子氣的能量狀態(tài)可能和哪些物理量有關(guān).我們求助于統(tǒng)計力學(xué)，揭示的公式如下：PN=e??/??/Z(β)，這里β代表的是熱力學(xué)能量的倒數(shù)，即：

β=1/kBT，Z（β）是一個因子，被稱為分割函數(shù).其公式如下：Z=∑?????e??/??=1/1-e??/??，其中：

ε=hc2/λ2=hc/λ=hν，即單個光子的能量.根據(jù)統(tǒng)計力學(xué)，一種給定態(tài)的平均能量（其和平均光子數(shù)有關(guān)）可表示為：ε=-dlnZ/dβ=e??/??/1.光子氣的能量密度為：U=∫???Eg(ε)dε=∫???e??/??/1g(ε)dε，g(ε)是指狀態(tài)密度的函數(shù)，它給出了在單位能量間隔和+dε中，允許存在的態(tài)的個數(shù).可表示為：g(ε)dε=8πL3h3c3/ε2dε，所以單位體積的能量為：

U/L3=∫???8πh3c3/ε2e??/??/1dε，被積函數(shù)是光譜能量密度，該式還可以用波長和頻率表達：

U/L3=∫???u(λ,T)dλ=∫???u(ν,T)dν.黑體輻出度假設(shè)黑體的一側(cè)被挖了一個小孔，所有從這個小孔輻射出的輻射波都以光速前進.而且這些輻射出的波以

2π的半球立體弧度均勻分配，并且有一半能量是朝外發(fā)射的.所以光譜輻出度可以被定義為：U(λ,T)=1/2u(λ,T)c2=2hc2/λ?/ehc/λkBT-1.2.基于不確定性原理1927年海森堡提出不確定性原理，即不可能同時精確確定一個基本粒子的位置和動量，其乘積必然大于等于普朗克常數(shù)除以4π.由該原理可定出最小長度量子即普朗克長度，以及最短時間量子即普朗克時間.不確定性原理反映了微觀粒子運動的基本規(guī)律，是物理學(xué)中一個極為重要的關(guān)系.它包括多種表示式，其中有兩個是：ΔxΔp≥h/4π和ΔEΔt≥h/4π.前一式子表明，當(dāng)粒子被局限在

x方向的一個有限范圍?x內(nèi)時，它所對應(yīng)的動量分量Px必然有一個不確定的數(shù)值范圍?Px，兩者的乘積滿足ΔxΔp≥h/4π.換言之，假如x的位置完全確定，那么粒子可以具有的動量Px的數(shù)值就完全不確定.當(dāng)粒子處于一個

Px數(shù)值完全確定的狀態(tài)時，我們就無法在x方向把粒子固定住，即粒子在x方向的位置是完全不確定的.后一式子表明，若一粒子在能量狀態(tài)E只能停留?t時間，那么，在這段時間內(nèi)粒子的能量狀態(tài)并非完全確定，它有一個彌散；只有當(dāng)粒子的停留時間為無限長時（穩(wěn)態(tài)），它的能量狀態(tài)才是完全確定的.關(guān)于基本粒子的不確定原理，有人指出對于基本粒子：

ΔxΔp=h.基本粒子是相互繞轉(zhuǎn)的兩個正、負元電荷，遵循的規(guī)律是

M2R=Q=3.95×10???，其中M是基本粒子的質(zhì)量、R是基本粒子的空間半徑、Q是常數(shù).基本粒子的角動量：

L=mvR=h，所以h=mvR，這個結(jié)論可以變形為ΔRΔp=h，即基本粒子位置的不確定性和動量不確定性的乘積等于普朗克常數(shù)，這樣就把海森堡的不確定性原理推向極致，即基本粒子位置的不確定性和動量不確定的乘積是確定的.同時也論證了不存在完全相同的兩個基本粒子.海森堡不確定性原理也被認(rèn)為是純數(shù)學(xué)現(xiàn)象.傅里葉變換是描述時間信號和頻率信號之間雙重關(guān)系的工具，信號可以用時間或頻率表示的正弦波來構(gòu)造，所有波和物質(zhì)（共軛變量）都必須遵從一系列的不確定性原理，真正導(dǎo)出這些原理的是一個數(shù)學(xué)事實.傅里葉變換的標(biāo)度特性意味著，如果我們在時間上壓縮信號，相當(dāng)于在頻率空間（水平）上擴展信號，反之亦然.通過維度進行分析可以看出，如果把時間展寬變大，頻率展寬就會變小，反之亦然.普朗克時間是物理學(xué)中最短的時間尺度，約為

5.391247×10???秒.它是由自然常數(shù)組合而成的一種時間單位.通常通過以下公式定義：tP=√(hG/c?)，其中G是引力常數(shù)，表示兩個質(zhì)量間的引力作用；h是普朗克常數(shù)，表征量子力學(xué)中能量與頻率的關(guān)系；c是光速，表示光在真空中的傳播速度.普朗克時間與量子力學(xué)中的不確定性原理緊密相關(guān)，當(dāng)時間間隔極其短暫（接近普朗克時間的數(shù)量級），那么系統(tǒng)的能量不確定性將非常大，甚至達到無限大.這會導(dǎo)致時空的極端彎曲，可能形成黑洞或其他極端時空結(jié)構(gòu).普朗克時間可以被視為量子效應(yīng)和引力效應(yīng)共同作用下的一個極限時間.超過這一極限，時空結(jié)構(gòu)可能不再遵循經(jīng)典物理學(xué)的規(guī)則，而需要新的量子引力理論來描述.在廣義相對論中，時空不是固定的，而是可以根據(jù)質(zhì)量和能量的分布發(fā)生彎曲和扭曲.在普朗克尺度下，時空的這種彎曲和扭曲達到了極限，時空不再是連續(xù)的，而是量子化的.普朗克時間的推導(dǎo)基于普朗克單位制，這是一組使用自然常數(shù)的單位系統(tǒng).普朗克單位制中的單位完全由引力常數(shù)、普朗克常數(shù)、光速和庫侖常數(shù)決定.這些常數(shù)通過數(shù)學(xué)組合可以推導(dǎo)出普朗克時間.普朗克時間具有重要的物理意義，在普朗克時間尺度下，時空充滿了量子漲落，可能會產(chǎn)生微小的黑洞或其他極端現(xiàn)象.同時，普朗克時間也為我們提供了一種理解宇宙起源的新視角，在大爆炸理論中，宇宙誕生時的極短瞬間稱為“普朗克時代”，這個時期的時間尺度恰好是普朗克時間.雖然目前的科技手段還無法直接測量這么短的時間，但科學(xué)家們通過測量自然界中的其他物理常數(shù)來推導(dǎo)普朗克時間，并在粒子加速器實驗中，通過研究高能物理現(xiàn)象和極端條件下的粒子行為，能夠間接驗證普朗克尺度的理論預(yù)測.三、普朗克尺度的推導(dǎo)過程量綱分析可檢查物理方程計量正確性并尋找規(guī)律線索.物理學(xué)研究物質(zhì)在時空中的演化和運動，選取

M、T、L作為基本量綱.普朗克提出特殊單位制，試圖通過光速、約化普朗克常數(shù)、牛頓引力常數(shù)構(gòu)建基本物理量單位，即普朗克量綱.首先，通過量綱分析計算可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測量物體位置的精準(zhǔn)度達到普朗克長度以下時，會出現(xiàn)一個矛盾性問題.要測量一個物體的位置，我們得用照在其上的光反射，如果對它的位置要測到很高的精確度，我們必須用更短波長的光子，但這樣這些光子的能量會更高.如果這光子的能量高到一個程度，它們就會在撞到物體時產(chǎn)生黑洞，而這個黑洞可以“吞噬掉”光子而讓實驗失敗.許多資料中都對普朗克尺度的量綱分析進行了深入探討.例如，在“簡析普朗克尺度的推導(dǎo)過程”中提到，統(tǒng)一信息論采信了普朗克尺度等量綱，主要是因為普朗克量綱是建立在一個接近于純自然化的過程.通過量綱分析可以看出，普朗克質(zhì)量的意義大約是一個史瓦西半徑等同于康普頓波長的黑洞所帶有的質(zhì)量，這黑洞的半徑大約是普朗克長度.在“以量綱分析重新發(fā)現(xiàn)普朗克公式-”和“以量綱分析重新發(fā)現(xiàn)普朗克公式-”中，強調(diào)量綱分析在黑體輻射研究中的重要性，以及如何通過量綱分析輔助推導(dǎo)出正確的輻射公式.同時，還提到了量綱分析往往會產(chǎn)生一些無量綱的未知函數(shù)或未知系數(shù)，這時需要借助其他知識諸如已知特例或?qū)嶒炓?guī)律.“普朗克尺度和普朗克時間”中指出，普朗克通過三個基本物理學(xué)常數(shù)：光速、約化普朗克常數(shù)和牛頓引力常數(shù)來構(gòu)建長度、時間、質(zhì)量、能量等基本物理量的基本單位.普朗克尺度和普朗克時間在量子力學(xué)和引力理論中具有重要意義.綜上所述，通過量綱分析可發(fā)現(xiàn)，在任何結(jié)合廣義相對論與量子力學(xué)的量子引力理論中，若在時間短于普朗克時間、距離小于普朗克長度的尺度下，時間和長度等量綱就會失去意義.四、結(jié)論普朗克常數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程復(fù)雜而神秘，通過不同的理論出發(fā)點和推導(dǎo)方法，我們可以更深入地理解這個重要的物理常數(shù)在量子力學(xué)中的地位和作用.首先，從普朗克發(fā)起的量子學(xué)理論和海森堡提出的不確定性原理這兩個關(guān)鍵的理論出發(fā)點，以及量綱分析和羅教明教授的推導(dǎo)方法等多個角度來看，普朗克常數(shù)的推導(dǎo)過程豐富多樣且相互印證.普朗克發(fā)起的量子學(xué)理論為普朗克常數(shù)的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ).通過對黑體輻射問題的研究，普朗克發(fā)現(xiàn)能量的輻射是不連續(xù)的，而是以量子的形式傳遞.這一理論的提出，不僅開辟了量子力學(xué)這一新領(lǐng)域，還讓我們能夠根據(jù)能量輻射公式推導(dǎo)出普朗克常數(shù).同時，基于普朗克常數(shù)，我們又可以推斷出普朗克長度、普朗克溫度和普朗克時間等物理常數(shù).海森堡的不確定性原理也為普朗克常數(shù)的推導(dǎo)提供了重要線索.該原理指出，不可能同時精確確定一個基本粒子的位置和動量，其乘積必然大于等于普朗克常數(shù)除以

4π.這表明微觀世界的粒子行為與宏觀物質(zhì)有很大不同，而普朗克常數(shù)則在其中起到了關(guān)鍵的作用.通過不確定性原理，我們可以定出最小長度量子即普朗克長度，以及最短時間量子即普朗克時間.普朗克時間與量子力學(xué)中的不確定性原理緊密相關(guān)，當(dāng)時間間隔極其短暫，接近普朗克時間的數(shù)量級時，系統(tǒng)的能量不確定性將非常大，甚至達到無限大.這會導(dǎo)致時空的極端彎曲，可能形成黑洞或其他極端時空結(jié)構(gòu).量綱分析在普朗克常數(shù)的推導(dǎo)過程中也發(fā)揮了重要作用.通過量綱分析可以檢查反映物理現(xiàn)象規(guī)律的方程在計量方面是否正確，甚至可以尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索.普朗克提出了一套特殊的單位制，試