線性代數(shù)教案-第一章-行列式

重點二階與三階行列式計算，行列式的性質(zhì)，克拉默法則難點n階行列式的計算，克拉默法則行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來的，是線性代數(shù)中的一個基本概念，它在線性代數(shù)、其他數(shù)學分支以及在自然科學的許多領(lǐng)域中上都有著廣泛的應(yīng)用．在本章里我們主要討論下面幾個問題：(3)利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則).本章的重點是行列式的計算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練正確地計算三階、四階及簡單的n階行列式.計算行列式的基本思路是：按行(列)展開公式，通過降階來計算．但在展開之前往往先利用行列式性質(zhì)通過對行列式的恒等變形，使行列式中出現(xiàn)較多的零和公因式，從而簡化計算．常用的行列式計算方法和技巧有：直接利用定義法，化三角形法，降階法，遞推法，數(shù)學歸納法，利用已知行列式法.行列式在本章的應(yīng)用是求解線性方程組(克萊姆法則)．要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應(yīng)用的條件.解方程是代數(shù)中一個基本的問題，行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的．因此我們首先討論解方程組的問題.下面考察二元一次方程組12可見，方程組的解完全可由方程組中的未知數(shù)系數(shù)a,a,a,a以及常數(shù)項b,b表示出來，這就是一般二元線性方程組的解公式。但這個公式很不好記憶，應(yīng)用時十分不方便。由此可想而知，多元線性方程組的解公式肯定更為復雜。因此，我們引進新的符號來表示上述解公式，這就是行列式的稱稱注：(1)構(gòu)成：二階行列式含有兩行，兩列。橫排的數(shù)構(gòu)成行，縱排的數(shù)構(gòu)成列。行列式中的數(shù)a（i1,2;j1,2）稱為行列式的元素。行列式中的元素用小寫英文ij字母表示，元素a的第一個下標i稱為行標，表明該元素位于第i行；第二個下標j稱ij為列標，表明該元素位于第j列。相等的行數(shù)和列數(shù)2稱為行列式的階。個數(shù)均來自不同的行和不同的列。或者說：二階行列式是這樣的兩項的代數(shù)和，一項是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一項是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負號。即：033為何值時，行列式D=3【解】因為D=3【解】因為D=33aaDD222222DDEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(1),D)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(2),D)注x的分子行列式D是將系數(shù)行列式D中的第1列換成方程組的常數(shù)項而得到；x的分子行列式D則是把系數(shù)行列式D中的第2列換成方程組的常數(shù)項而得到。這樣用行列式來表示方程組的解，就得到簡便、整齊，便于記憶與運算的形式(亦稱克萊姆法則)?！纠?】求解二元線性方程組{5【解】由于系數(shù)行列式D=4即得方程組的解為45D-2D-2似乎這樣表示線性方程組的解比原來更為煩瑣，但這創(chuàng)造了多元線性方程組的解的公式及其規(guī)律性的解法，并為用電腦程序解多元線性方程組打下了良好的基礎(chǔ)。更為下一步學習矩陣知識，為學習高級、大型的管理知識做好了準備。與二階行列式相仿，對于三元一次線性方程組作類似的討論，我們得到三階行列aaaaaaaaa注（1）構(gòu)成：三階行列式含有三行，三列。橫排的數(shù)構(gòu)成行，縱排的數(shù)構(gòu)成列。行列式中的數(shù)稱為行列式的元素，相等的行數(shù)和列數(shù)3稱為行列式的階。每個項均為來自不同行不同列的三個元素之積，其符號的確定如下圖所示：aaaaaaaaa從圖中可見，三階行列式是這樣的六個項的代數(shù)和：從左上角到右下角的每條藍色連線上，來自不同行不同列的三個元素的乘積，取正號；從右上角到左下角的每條紅色連線上，來自不同行不同列的三個元素的乘積，取負號。即aaaaaaaa運算時，在整體上，應(yīng)從第一行的a起，自左向右計算左上到右下方向上的所有的三元乘積，再從第一行的a起，自左向右計算右上到左下的方向上的所有的三元乘積。對于各項的計算，應(yīng)按行標的自然數(shù)順序選取相乘的元素。這樣較為不容易產(chǎn)生2，類似于二元線性方程組的行列式求解公式，三元線性方程組也有其系數(shù)行列式以及相應(yīng)未知數(shù)的分子行列式，得到如下解法（克萊姆法則記三元線性方程組aab1b3ax的分子行列式為D=aaaaaaaaaaaaaaaaab1b2b3aab1b2b3aaaDDD【例7】求解線性方程組。方程組有解，再計算各分子行列式，得212113255222493551231923二、排列及其逆序數(shù)從上節(jié)的例子我們知道，對角線法則只適用于二階與三階行列式，對四階和四階以上的行列式就不適用了.怎樣計算四階和四階以上的行列式呢?我們先從二階與三階行列式的計算中找一找規(guī)律先看二階行列式aDD二階行列式一共有兩項，每一項均由不同行不同列的元素組成。其組成的規(guī)律是再看三階行列式aa三階行列式一共有6項，每一項均由不同行不同列的元素組成。其組成的規(guī)律是如果行標都取自然數(shù)1，2，3；列標只能取1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。所以三階行列式中有6項通過上述分析，我們知道了二階行列式和三階行列式項的組成方法。1）行標取自然排列時，列標分別取全排列.2）項的個數(shù)就是全排列的個數(shù)。另外，還發(fā)現(xiàn)無論二階行列式還是三階行列式，均有一些項的前面取“+”，一些項的前面取“-”。怎樣確定那些項的前面取“+”，那些項的前面取“-”呢？我們發(fā)現(xiàn)和排列的順序有關(guān)。排列，其中自然數(shù)i為1,2,…,n中的某個數(shù)，稱作第k個元素，k表示這個數(shù)在n級排k2、逆序數(shù)數(shù)字由小到大的n級排列1234…n稱為標準次序排列．在一個排列i,i,,i中，較大的數(shù)在較小的數(shù)前面就產(chǎn)容易看出，標準次序排列的逆序數(shù)為0.逆序數(shù)的計算方法：以32415為例，從第一個數(shù)依次查起，分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).【例8】求排列{3,2,5,1,4}的逆序數(shù)【解】在排列{3,2,5,1,4}中3排在首位,逆序數(shù)為0；2的前面比2大的數(shù)只【例10】21i4j是一個5級別排逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列?？梢钥闯隼?是奇排列，例5是偶排列。自然排列123…n是偶排列。4、對換將一個排列中的某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動,這樣得到一個定理1.1對排列進行一次對換將改變其奇偶性.推論在全體n級排列(n>1)中，奇排列和偶排列各占一半，各有個。2定理1.2任意一個n級排列與12…n都可以經(jīng)過一系列對換互換，并且所作的對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。在給出n階行列式的定義之前，先來看一下二階和三階行列式的定義.aaaaaaa(1)二階行列式是2！項的代數(shù)和，三階行列式是(2)二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3)每一項的符號是：當這一項中元素的行標是按自然序排列時為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負號.通過上述分析，我們找到了構(gòu)造二階行列式和三階行列式有別于對角線法的新的方法。下面我們將用新的方法定義一般的n價行列式，當然，我們希望用新的方法定義的n價行列式可以原來解一般的n元線性方程組.EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(a),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(a),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(a),a)稱為n階行列式。它是取自不同行和不同列的n個元素的乘積2j2anjn的代數(shù)和，其中j1j2jn是1,2,,n的一個排列。當j1j2jn是偶排列時1.4）式帶有正號；當j1j2jn是奇排列時1.4）式帶有負號，也就是可寫成nnnnj1j2jnEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up25(a),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up16(11),21)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up25(a),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up16(12),22)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up25(a),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up16(1n),2n)這里Σ表示對所有n級排列求和。行列式D通?？珊営洖閐et(aij)或aijn.j1j2jn(2)n階行列式是n!項的代數(shù)和；(3)n階行列式的每個乘積項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積；(4)每一項a1j1a2j2anjn的符號為(-1)τ(j1j2...jn)；為了熟悉n階行列式的定義，我們來看下面幾個問題.【解】這一項各元素的行標是按自然順序排列的，而列標的排列為23514.【解】包含因子a11a23項的一般形式為按定義，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的項只能是a1j12j23j34j4jjjjj所以只需找出一切可能的非零項即可。第所以只需找出一切可能的非零項即可。第1行除a11類似地，上三角行列式類似地，上三角行列式的值也成立同樣的結(jié)論：a1nn1在行列式的定義中，為了確定每一項的正負號，我們把每個乘積項元素按行指標排起來。事實上，數(shù)的乘法是可交換的，因而這個元素的次序是可以任意寫的。一般地，n階行列式中的乘積項可以寫成2做了一次對換，因此由定理1.1知：它們的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.因此有j2jn)a1j1a2j2anjn由此可見，行指標與列指標的地位是對稱的.因此為了確定每一項的符號，同樣可以把每一項按列指標排起來，于是定義又可以寫成a重點n階行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用行列式的計算是行列式的重點，對于低階或者零元素很多的行列式可以用定義計算，但對于n(n≥4)階行列式來說用定義計算將非常繁瑣或幾乎不可能，因此我們有必要探究行列式的一些性質(zhì)，以簡化其運算，并且這些性質(zhì)對行列式的理論研究也有重要意義.記行列式DT是由行列式D的行與列對應(yīng)互換所得到，稱行列式DT為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。例如則可知這兩個行列式是相等的。性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT。證明因為D中元素aij位于DT的第j行第i列，所以 性質(zhì)性質(zhì)1.1表明，在行列式中行與列的地位是對稱的，因此凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對列也同樣成立，反之亦然。樣成立，反之亦然。性質(zhì)性質(zhì)2任意對換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號。證明設(shè)推論推論行列式中有兩行（或兩列）元素對應(yīng)相同，則此行列式為零。），性質(zhì)3行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式符號的外面，或者說以一數(shù)乘行列式的某行（列）的所有元素等于用這個數(shù)乘此行列式.即證明容易得出 推論1如果行列式中某行（列）元素全為零，那么行列式為零.推論2如果行列式中兩行（列）元素成比例，那么行列式為零.2-41例如，行列式D=3-63，因為第一列與第二列對應(yīng)元素成比例，根據(jù)推論2，可性質(zhì)性質(zhì)4如果某一行（列）的元素是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和，而這兩個行列式除這一行元素外全與原來行列式對應(yīng)行的元素一樣.即i)jianjnΣj1j2(-1)τ(j1jijn)a1j1jjn性質(zhì)5行列式中某行（或列）的元素k倍地加到另一行對應(yīng)元素上，此行列式的值不變。即:::ai2::a:::ai2::a:j1i2j1:j1i2j1:n2n2為使行列式D的計算過程清晰醒目，特約定以下記號：i?cj）表示交換D的第i行（列）與第j行（列i)表示用數(shù)k乘D的第i行（列）所有元素；ji）表示把D的第i行（列）元素的k倍加到第j行（列）的對應(yīng)元素上.利用行列式性質(zhì)計算：目標是化為三角形行列式，利用三角行列式的計算結(jié)論。12-11-225【解】因為第三行是第一行的2倍，所以該行列式等于0.-27-3-3【解】因為行列式的第二、三列相等，故該行列式等于0。yyyyy3232yyyyyy2323yyyyyy2323【解】將第一、二行互換，第三、五行互換，得將第一、五列互換，得3D3D=21【解】3【解】3D=21 04 7 422001—1r艸rr艸rr8r8當今大部分用于計算一般行列式的計算機都是按上述方法設(shè)計的.可以證明，利用行變換計算行列式需要進行大約2n3/3次算數(shù)運算.任何一臺現(xiàn)代微型計算機都可以在幾分之一秒內(nèi)計算出50階行列式的值，運算量大約為83300次.111【解】方法一r-r020-231-【證明】把2,3列同時加到第4列上去，則得【例9】計算行列式【解】根據(jù)行列式的特點，可將第一列加至第二列，然后將第二列加至第三列，再將第三列加至第四列，目的是使D中的零元素增多.00-a00-a0-a0-a10-a222223333333100-a0a20200a3300-a0a20200a334=4=3=23331三、復習思考答案[x+(n-1)a](x-a)n-1b（答案（答案(a2b2)n）目的要求掌握利用行列式展開法計算行列式重點難點行列式按行（列）展開的應(yīng)用aaaaaaaa問題：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n－1階行列式來計算？對于高階行列式是否都可用較低階的行列式表示呢？為了回答這個問題，先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念.定義在行列式中劃去元素中劃去元素aij所在的第i行與第j列，剩下的(n-1)2個元素按原來的排法構(gòu)成一個n-1階行列式行列式的每個元素aij分別對應(yīng)著一個余子式和代數(shù)余子式.顯然元素aij的余子行列式的每個元素aij分別對應(yīng)著一個余子式和代數(shù)余子式.顯然元素aij的余子式和代數(shù)余子式只與元素aij的位置有關(guān)，而與元素aij本身無關(guān)，并且有關(guān)系M=-MMijij例如，四階行列式lMij,當i+j為偶數(shù)時當i+j為奇數(shù)時AAij于是，本節(jié)開頭的三階行列式可用代數(shù)余子式表示為于是，本節(jié)開頭的三階行列式可用代數(shù)余子式表示為A為了把這個結(jié)果推廣到為了把這個結(jié)果推廣到n階行列式，我們先證明一個引理.引理若n階行列式D中第i行的所有元素除aij外都為零，那么這個行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即D=aijAij.證明當aij位于D的第一行第一列時，即aaijn2由上節(jié)例題的結(jié)果可知由上節(jié)例題的結(jié)果可知下面證明一般情形，設(shè)j1,,2,1列交換后換到第一列，得D而元素而元素aij在D1中的余子式就是aij在D中的余子式Mij，利用前面的結(jié)果有i+jDi+j1ijijijij定理定理1（行列式展開定理）行列式等于它的任一行（或列）的各個元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即:EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(i),:)1或或1j1j1jA1j2jA2jnjAnj:2j:2j證明證明i1inn2000ain這就是行列式按第這就是行列式按第i行展開的公式.類似的可證行列式按第j列展開的公式，即njAnj定理2行列式中的某一行（或列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即i1j1i2j2injni≠j或1i1j2i2jninji≠j證明構(gòu)造行列式inj行其中第i行與第j行的對應(yīng)元素相同，可知D1=0。而D1與D僅第j行元素不同，從而可知，D的第j行元素的代數(shù)余子式與D的第j行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同，即將1D按j行展開11i1j1i2j2injn類似地，有2iA2j+inAjn1iA1j一般地說，利用行列式的展開定理不是計算行列式值的好方法，以一個五階行列式，估算它的計算量。利用行列式的展開定理計算五階行列式的計列式需算5個四階行列式，一個四階行列式需算4個三階行列式，一個三階行列式需算3個二階行列式，這樣計算一個五階行列式需算5×4×3=60個二階行列式。但是，如果行列式的某行（或列）中零元素較多，那么這個行列式就可以選擇這行（或列）【解】方法1利用對角線法則方法2利用行列式的性質(zhì)rrr3r211021方法3利用行列式按一行（列）展開【例2】計算行列式D=【解】0052100【例3】利用行列式的展開計算行列式D=002041【解】一般應(yīng)選取零元素最多的行或列進行展開，以簡便計算211212+4020【例4】計算行列式D=【解】11D=03 00 00按第三行展開，有13032r+3r3032133【例5】計算行列式1x211xx221xx23【解】首先，根據(jù)行列式的性質(zhì)，分別將第一行的一1和第三行，從而將第一列的元素除a=1以外，都變?yōu)?，即1011按第一列展開，有11EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)xx2nijxx2nijEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),2)n其中記號“Π”表示全體同類因子的乘積。即n階范德蒙德ij