人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)整式的乘法與因式分解《乘法公式：平方差公式》公開(kāi)課教學(xué)課件

第十四章整式的乘法與因式分解平方差公式1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程,會(huì)推導(dǎo)平方差公式.2.理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活應(yīng)用平方差公式．

預(yù)習(xí)目標(biāo)

初春時(shí)節(jié)，小萌的父親在自家院子里圈了一塊地準(zhǔn)備嘗試種植臍橙，她幫父親測(cè)得這塊地長(zhǎng)是10.3米，寬是9.7米，她的父親要他幫助算一下這塊地的面積，她脫口而出面積是99.91平方米，父親驚訝地問(wèn)：“你是怎么算得這么快？”小萌說(shuō)：“我利用了數(shù)學(xué)課上剛學(xué)過(guò)的一個(gè)公式.”數(shù)學(xué)與生活多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.議一議：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則活動(dòng)一以前，狡猾的灰太狼，把一塊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給懶羊羊種植。今年，他對(duì)懶羊羊說(shuō)：“我把你這塊地一邊減少4米，另一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”懶羊羊聽(tīng)了，覺(jué)得好像沒(méi)有吃虧，就答應(yīng)了。懶羊羊回去羊村，把這件事跟大伙一說(shuō)，喜羊羊馬上就說(shuō)懶羊羊吃虧了。過(guò)了一會(huì)兒沸羊羊也說(shuō)懶羊羊確實(shí)吃虧了。這是為什么呢？喜羊羊與灰太狼小故事4米4米a米(a-4)(a+4)米相等嗎？原來(lái)現(xiàn)在面積變了嗎？面積變了嗎？a2(a+4)(a-4)

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(a+b)(a?b)=a2?b2平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

相同為a

相反為b注：這兩個(gè)數(shù)可以是兩個(gè)單項(xiàng)式也可以是兩個(gè)多項(xiàng)式．(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3aa1

0.3x1(a-b)(a+b)(0.3x-1)(1+0.3x)找一找、填一填例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算

注意

1、先把要計(jì)算的式子與公式對(duì)照2、哪個(gè)是a；哪個(gè)是b練習(xí)：

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反為b小結(jié)相同為a

適當(dāng)交換合理加括號(hào)平方差公式(1)(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；

(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).觀察上述算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？等號(hào)的左邊：兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等號(hào)的右邊：是這兩個(gè)數(shù)的平方差.=a2－4=4x2－1活動(dòng)二探究平方差公式平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.(a+b)(a－b)=a2－b2.a2－ab+ab－b2=公式變形:1、(a–b)(a+b)2、(b+a)(-b+a)3、(-a+b)(-a-b)4、(a-b)(-a-b)特點(diǎn)：

☆具有完全相同的兩項(xiàng)☆具有互為相反數(shù)的兩項(xiàng)平方差公式在結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？1、(a–b)(a+b)2、(b+a)(-b+a)3、(-a+b)(-a-b)4、(a-b)(-a-b)下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是()（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a)；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)；（6）(c2－d2)(d2+c2).（2）（5）（6）練一練

請(qǐng)從這個(gè)正方形紙板上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖1，拼成如圖2的長(zhǎng)方形，你能根據(jù)圖中的面積說(shuō)明平方差公式嗎？(a+b)(a－b)=a2－b2圖1圖2活動(dòng)三動(dòng)手操作驗(yàn)證平方差公式1、運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x＋2)(3x－2).(2)(b+2a)(2a－b).

解

(1)(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4.(2)(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.只有符合(a+b)(a－b)的形式才能用平方差公式活動(dòng)四新知運(yùn)用2.計(jì)算(1)102×98.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).解（1）102×98=(100+2)(100-2)=1002－22=10000－4=9996.解：原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)

=y2－22－y2-5y+y+5

=-4y+1.利用平方差公式計(jì)算：原式=(-2y-x)(-2y+x)=4y2－x2.解：原式=(5+2x)(5-2x)=25－4x2.解：原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=(x+6-x+6)(x+6+x-6)=12×2x=24x.解：

解：原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2+0.25)=(0.25－x2)(0.25+x2)=0.0625－x4.（4）100.5×99.5.解：原式=(100+0.5)(100-0.5)=10000-0.25=9999.75.（5）（0.5-x)(x+0.5)(x2+0.25)1．下列運(yùn)算中正確的是（）

A．B．

C．D．【解析】選B.在A中3a＋2a＝5a；C中；

D中.7.已知a-b=1,則a2－b2－2b的值為()A．4 B．3C．1 D．0【解析】選C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.活動(dòng)五達(dá)標(biāo)訓(xùn)練3.將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是___________．【解析】圖甲的面積=（a+b）(a-b)，圖乙的面積=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.答案:（a+b）(a-b)=a2-b2

原式=(100-1)(100+1)×10001=(10000-1)(10000+1)=100000000-1=99999999.4.計(jì)算99×101×10001.

解：5.化簡(jiǎn)：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)=(x16-y16)(x16+y16)=x32-y32.解：選擇選擇下列各式中,能用平方差公式運(yùn)算的是()A.(-a+b)(-a-b)B.(a-b)(b-a)

C.（100+8)(100-7)2.下列多項(xiàng)式相乘,不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(x-2y)(2y+x)B.(-x+2y)(-x-2y)C.(-2y-x)(x+2y)D.(-2b-5)(2b-5)AC火眼金睛D.(x+y-1)(x+y-1)我能行!我能行!運(yùn)用平方差公式計(jì)算：1、(m+n)(-n+m)=2、(-x-y)(x-y)=3、(2a+b)(2a-b)=4、(x2+y2)(x2-y2)=5、51×49=m2-n2位置變化y2-x2符號(hào)變化4a2-b2系數(shù)變化x4-y4指數(shù)變化2499無(wú)中生有(a+b)(a-b)=a2-b2練習(xí)3：判斷正誤練習(xí)3：判斷正誤（1）(2b+a)(a-2b)=4b2-a2()（2）(m–n)(-m-n)=-m2-n2()（3）(x+y)(-x-y)=x2-y2()（4）（a-b+c)(a-b-c)=

(a-b)2-c2

（√）a2-4b2n2-m2-x2-2xy-y2×××（5）(3b+2a)(2a-3b)=4a2-9b2()√大顯身手大顯身手

完成下列填空

1、()()=4x2-9y2

2、（5+a）()=25-a2a2-b2=(a+b)(a-b)

公式逆用（1）(a+3b)(a-

3b)=(9x2－16)

－(6x2+5x

-6)=3x2－5x-10（2）(3+2a)(－3+2a)（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)（4）(－y－2x2)(－2x2+y)計(jì)算下列各式（3）2009×2007－20082當(dāng)堂訓(xùn)練小試牛刀小試牛刀例2計(jì)算：⑴102×98;⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);⑴102×98動(dòng)腦筋！誰(shuí)是a?誰(shuí)是b?102=(100+2)98(100-2)=1002-22=10000-4=9996⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)動(dòng)腦筋！yyyy22=y2

-2215-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1靈活運(yùn)用平方差公式計(jì)算：1、(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2);2、(x+y)(x-y)(x2+y2);（）化簡(jiǎn)(x4+y4)(x4+y4)(x4+y4)拓展提升挑戰(zhàn)極限挑戰(zhàn)極限

(2+1)(22+1)(24+1)

挑戰(zhàn)極限挑戰(zhàn)極限喜羊羊同學(xué)在計(jì)算（2+1)(22+1)(24+1)時(shí)，將積式乘以（2-1）得：

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1挑戰(zhàn)極限挑戰(zhàn)極限你能根據(jù)上題計(jì)算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)的結(jié)果嗎？

運(yùn)用平方差公式解：（1）(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

==x2-4y2

例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(-x+2y)(-x-2y)；（2）．(-3x-1)(3x-1)運(yùn)用平方差公式解：（2）(-3x-1)(3x-1)(a+b)(a-b)原式=(-1+3x)(-1-3x)=(-1)2-(3x)2=1-9x2(-3x-1)(3x-1)原式=-(3x+1)(3x-1)=-［

(3x)2-12］

=-(9x2-1)

=-9x2+1

例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(-x+2y)(-x-2y)；（2）．(-3x-1)(3x-1)a2-b2(a+b)(a-b)a2-b2鞏固平方差公式例2

計(jì)算：（1）(-y+2)(-y-2)-(y-1)(y+5)

；

解：（1）(-y+2)(-y-2)-(y-1)(y+5)=(-y)2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1只有符合公式要求的乘法，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按乘法法則進(jìn)行。鞏固平方差公式例2

計(jì)算：

（2）102×98．解：(2)102×98=(100+2)×(100-2)=1002-22=10000-4=9996鞏固平方差公式練習(xí)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(6x+2)()=36x2-4；（2）

(a-b)()=b2-a2.

6x-2-a-b

初春時(shí)節(jié)，小萌的父親在自家院子里圈了一塊地準(zhǔn)備嘗試種植