河南省漯河市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

漯河市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題.1.已知集合和集合，則等于（）A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)m，n滿足不等式，則下列不等關(guān)系成立的是（）A. B. C. D.8.已知，，且，有下列不等式：①；②；③；，其中成立的不等式的個(gè)數(shù)有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題9.下列式子不正確的是（）A. B.C. D.10.設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)11.下列說法不正確的是（）A.命題“，都有”的否定是“，使得”B.集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為C.“”是“”的充分不必要條件D.若存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍三、填空題12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則_________.13.冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則_________.14.已知函數(shù)的圖像在上連續(xù)不斷，定義：若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“函數(shù)”，若函數(shù)是上的“2函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.四、解答題15.（13分）（1）計(jì)算.（2）計(jì)算.（3）化簡(jiǎn)：.（4）已知，求的值.16.（15分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)在上的解析式；（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17，（15分）某工廠生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知總收入Q（單位：元）關(guān)于產(chǎn)量x（單位：個(gè)）滿足函數(shù)：（1）將利潤(rùn)P（單位：元）表示為產(chǎn)量x的函數(shù)；（總收入=總成本+利潤(rùn)）（2）當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)，零件的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（3）當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)，零件的單位利潤(rùn)最大？最大單位利潤(rùn)是多少元？18.（17分）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明在上單調(diào)遞增；（2）已知且，若對(duì)于任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（17分）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是上的凹函數(shù).已知二次函數(shù)（，）.（1）求證：函數(shù)是凹函數(shù)；（2）求在上的最小值，并求出的值域.參考答案題號(hào)1234567891011答案BACDADCCABBDABD1.B【詳解】，，.2.A【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為，由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A3.C【分析】首先將轉(zhuǎn)化為或，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解和，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以或，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，綜上：不等式的解集為.故選：C.4.D【詳解】因?yàn)椋ㄇ遥?，所以令，則，，所以過定點(diǎn).故選：D.5.A【分析】根據(jù)已知判斷得出函數(shù)的奇偶性，結(jié)合時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，即可得出答案.【詳解】由已知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是偶函數(shù)，故C、D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤.故選：A.6.D【解析】由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得，解不等式組即可求解.【詳解】由函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，可得，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D7.C【解析】有關(guān)函數(shù)值的不等式，要得出自變量大小關(guān)系，考慮利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化，所以先判斷函數(shù)的奇偶性，將函數(shù)化為，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】的定義域?yàn)椋?，為奇函?shù)，，，在上為增函數(shù)，且大于0，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，化為，等價(jià)于，.故選：C.8.C【分析】對(duì)于①，根據(jù)，結(jié)合即可判斷；對(duì)于②，根據(jù)，，且，可得，即可判斷；對(duì)于③，將式子變形利用基本不等式即可求解；對(duì)于④，可利用基本不等式求的最值，從而得出結(jié)果.【詳解】①因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，①正確：②因?yàn)?，，，所以，所以，②正確；③，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以③錯(cuò)誤；④，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，④正確；所以有3個(gè)不等式成立.9.AB10.BD【詳解】對(duì)于A：令，則，所以A中的函數(shù)是偶的數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，所以B中的函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確：對(duì)于C：令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，則，故D正確.故選：BD11.ABD【分析】由全稱量詞命題的否定，集合的運(yùn)算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的值域問題對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.A選項(xiàng)：命題“，都有”的否定“，使得”，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，滿足題意，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，可推出，但當(dāng)時(shí)，無法推出，故“”是“”的充分不必要條件，C正確；D選項(xiàng)：令，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，又因?yàn)?，所以時(shí)，，則，故D錯(cuò)誤；故答案：ABD.12.16【分析】根據(jù)給定的條件，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】因關(guān)于的不等式的解集為，則是方程的二根，則有，解得，，所以.故答案為：16.13.3【解析】由冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得，且為偶數(shù)，，且.解出即可，【詳解】?jī)绾瘮?shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，且為偶數(shù)，，且.解得，，且，只有時(shí)滿足為偶數(shù).，故答案為：3.14.【分析】根據(jù)函數(shù)在上恒成立，分離得在上恒成立，求出的最值，即可得解.【詳解】由題可得函數(shù)在上恒成立即在上恒成立，，故答案為15.（1）（2）5；（3）（4）【詳解】（1）（4）因?yàn)?，兩邊同時(shí)平方可得：，再將兩邊同時(shí)平方可得：，所以.16.（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題利用即可求解；（2）當(dāng)，則，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在時(shí)的解析式，進(jìn)而得到函數(shù)在上的解析式；（3）根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將原不等式變形，解不等式可得實(shí)數(shù)t的取值范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得（2）由（1）當(dāng)，又是奇函數(shù)，，，（3）由及函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得，由的圖像知為上的增函數(shù)，，，.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，及在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.17.（1）（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元（3）當(dāng)產(chǎn)量為20個(gè)，零件的單位利潤(rùn)最大，最大單位利潤(rùn)是100元【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤(rùn)公式，即可直接求得.（2）由二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，分段求出的最值，即可求出答案.（3）設(shè)零件的單位利潤(rùn)為，得到的解析式，再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.（2）當(dāng)時(shí)，；故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，故.所以當(dāng)月產(chǎn)量為300個(gè)時(shí)，自行車廠的利湤最大，最大利淘為25000元.（3）設(shè)零件的單位利潤(rùn)為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)產(chǎn)量為200個(gè)，零件的單位利潤(rùn)最大，最大單位利潤(rùn)是100元.18.（1），證明見解析（2）【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，求出，利用函數(shù)奇偶性的定義可驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）略【詳解】略19.（1）證明見解析（2），值域?yàn)椤痉治觥浚?）代入求出，的表達(dá)式，作差化簡(jiǎn)，即可得出證明；（2）先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，根據(jù)對(duì)稱軸與的關(guān)系，得出在各段上的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)