2025年廣東省初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年廣東省初中學業(yè)水平考試數(shù)學本試卷共6頁；24小題，滿分120分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號和座位號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1．下列整式與為同類項的是（

）A． B． C． D．2．面積為9的正方形，其邊可以表示為（

）A．的算術(shù)平方根 B．9的平方根C．9的算術(shù)平方根 D．9的立方根3．如圖，人字梯的支架的長度都為（連接處的長度忽略不計），則B，C兩點之間的距離可能是（

）A． B． C． D．4．如圖，這是一副“骰子”的展開圖，下列選項中的點數(shù)在骰子上相對應(yīng)的是（

）A．1和5 B．2和4 C．1和6 D．3和15．小明拿一個等邊三角形木框在太陽下玩耍，發(fā)現(xiàn)等邊三角形木框在地面上的投影不可能是（）A． B．● C． D．6．某同學在學習整式的概念后，用下列幾幅圖來表示各部分之間的關(guān)系，與其符合的是（

）A． B．C． D．7．在平面直角坐標系中，將點先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，最后所得點的坐標是（

）A． B． C． D．8．已知方程組，則（

）A． B． C． D．9．小華在商場購物，獲得兩張獎券，已知兩張獎券中獎的概率分別為，，則小華恰中張獎券的概率為（

）A． B． C． D．10．甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設(shè)工作總量為1，工作進度如右表：則完成這項工作共需（）天數(shù)第3天第5天工作進度A．9天 B．10天 C．11天 D．12天二、填空題：本大題共5小題；每小題3分，共15分．11．計算：．12．水由氫原子和氧原子組成，其中氫原子的直徑約為0.0000000001m，這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為．13．魚缸里飼養(yǎng)兩種魚，種魚的生長溫度的范圍是，種魚的生長溫度的范圍是，那么魚缸里的溫度應(yīng)該控制在范圍內(nèi)14．古希臘一位莊園主把一邊長為a米（）的正方形土地租給老農(nóng)，第二年他對老農(nóng)說：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的一邊減少4米，變成長方形土地繼續(xù)租給你，租金不變”后來老農(nóng)發(fā)現(xiàn)收益減少，感覺吃虧了．聰明的你幫老農(nóng)算出土地面積其實減少了平方米．15．如圖，在中，，為上的一點，，且交于點．連接，設(shè)的面積為，的面積為，當時，的值為．（用代數(shù)式表示）三、解答題（一）：本大題共3小題；每小題6分，共18分．16．已知函數(shù)，．求滿足條件的的取值范圍：．17．如圖，邊長為，的兩個正方形并排放在一起，當，時，用因式分解的知識求出陰影部分的面積．18．已知杜鵑花宜居在的環(huán)境中，某山區(qū)要種植杜鵑花．已知平均氣溫為，且海拔每上升米，氣溫就下降．山腳的海拔的取值范圍是多少？四、解答題（二）：本大題共4小題；每小題8分，共36分．19．某區(qū)為調(diào)查學生安全知識水平，對某一所學校選取了20人進行了測試．成績分別為圖表所示．成績/分888990919596979899學生人數(shù)21321321(1)已知統(tǒng)計圖屬于______圖，易于顯示______的差別．(2)表格中的值為______，若設(shè)測評成績及其中位數(shù)為，．若為成績合格，為成績良好，為成績優(yōu)秀．請求出圖中，以及的值．20．數(shù)學與現(xiàn)實生活密切相關(guān)，著名數(shù)學家指出：“問題是數(shù)學的心臟”，我們要學會運用數(shù)學知識解決實際問題．【問題一】已知軸上的一點到點，的距離相等．寫出點的坐標______．設(shè)立點坐標列的方程屬于______方程．【問題二】探究多邊形的性質(zhì)（1）以線段，，，為邊作多邊形，可以做______個．（2）已知一直角邊和斜邊，用尺規(guī)作直角三角形，已知線段，．求作，使，，．這個所求作的直角三角形就是唯一的三角形．（3）下列討論正確的是______（多選）a．平面內(nèi)，經(jīng)過平行四邊形對角線的交點的直線，不一定能平分它的面積b．已知的度數(shù)為，則的余角的度數(shù)為c．圓錐的三視圖中沒有矩形d．某工廠為挑出多邊形圖形瓷磚，用排除法選出不符合要求的正多邊形內(nèi)角和度數(shù)，不符合的內(nèi)角和度數(shù)為21．綜合與實踐【主題】多邊形的穩(wěn)定性【素材】平行四邊形連桿式是常見的機械部件，當連桿移動時，兩對邊始終保持平行，能方便地進行往返運動，這一設(shè)計源于平行四邊形證明的性質(zhì)．【實踐探索】如圖，這是某同學推薦的一幅實例設(shè)計圖，你認為合理嗎？請說明你的理由．如圖，一個正方形教具，使其發(fā)生形變（如圖），若正方形教具邊長為，．問：四邊形的面積減少了多少？【拓展應(yīng)用】如圖，一張多檔位可調(diào)節(jié)靠椅，其檔位調(diào)節(jié)示意圖如圖所示，已知兩支腳米，米，為上固定連接點，靠背米，檔位為Ⅰ檔時，，檔位為Ⅱ檔時，，靠背頂端向后靠的水平距離（即）為______．22．我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上的點的對應(yīng)關(guān)系．用直線上的點位置刻畫圓上點為位置．如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點，，是圓上兩點（不與點A重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點、．(1)如圖1，當，弧長為時，求的長．(2)如圖2，當，時，求的值．五、解答題（三）：本大題共2小題；第23小題12分，第24小題13分，共25分．23．學習小組探究一元二次方程的新解法．（1）運用函數(shù)與方程的思想，通過觀察反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，可判斷方程的根的情況．【解答過程】∵；∴方程兩邊同時除以，得．移項，得，∴，；觀察函數(shù)圖象，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）運用轉(zhuǎn)化思想，將方程變形為后可得或，從而解得原方程的根為，，當時，方程的兩根，可使變形為．【實際應(yīng)用】運用從上方法可解方程，直接寫出因式分解的結(jié)果．（3）運用數(shù)形結(jié)合的思想，從趙爽的《勾股圖方注》解答，解為例，將其變形為，畫出四個長為，寬為的圖形．以圖1的方式拼成一個“空心大正方形”，由圖中大正方形的面積為，還可以表示四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即，可得方程，，不過這種做法只能得到方程的一個正根．對于形如的一元二次方程可用于構(gòu)造圖來解，已知圖是一個由四個面積為的全等的矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為，那么該方程的系數(shù)，分別為多少？并求得方程的一個正根，寫出完整的解答過程．24．【概念認知】：城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy，對兩點A(，)和B(，)，用以下方式定義兩點間距離：d(A，B)＝＋．【數(shù)學理解】：（1）①已知點A(﹣2，1)，則d(O，A)＝；②函數(shù)(0≤x≤2)的圖像如圖①所示，B是圖像上一點，d(O，B)＝3，則點B的坐標是．（2）函數(shù)(x＞0)的圖像如圖②所示，求證：該函數(shù)的圖像上不存在點C，使d(O，C)＝3．（3）函數(shù)(x≥0)的圖像如圖③所示，D是圖像上一點，求d(O，D)的最小值及對應(yīng)的點D的坐標．【問題解決】：（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，畫出示意圖并簡要說明理由）答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】根據(jù)同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項，結(jié)合選項求解．【詳解】解：由同類項的定義可知，a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2．A、a的指數(shù)是2，b的指數(shù)是1，與不是同類項,故選項不符合題意；B、a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2，與是同類項,故選項符合題意；C、a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是1，與不是同類項,故選項不符合題意；D、a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2，c的指數(shù)是1，與不是同類項,故選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了同類項，判斷同類項只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數(shù)是否相同．2．C【分析】本題考查了算術(shù)平方根、平方根以及立方根的求解，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：∵面積為9的正方形，其邊為，即9的算術(shù)平方根，故選：C3．A【分析】根據(jù)三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和求出的取值范圍，判斷各選項即可得的答案．本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握據(jù)三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，即．只有A選項數(shù)值滿足上述的范圍，故選：A．4．C【分析】本題考查了正方體相對兩面上的字，選擇任意一個面作為正方體的底面，將展開圖折疊即可求解．【詳解】解：若以“”為正方體的下底面，則“”為上底面；“”、“”分別為正方體的左右側(cè)面；“”、“”分別為正方體的前后面；故選：C．5．B【詳解】豎直向下看可得到線段，沿與平面平行的方向看可得到C，沿與平面不平行的方向看可得到D，不論如何看都得不到一點．故選B．6．D【分析】本題考查了代數(shù)式、整式、多項式和單項式的相關(guān)概念，代數(shù)式包含整式，整式是包含單項式和多項式的集合，而單項式和多項式是獨立的子類，不互相包含．據(jù)此即可求解.【詳解】解：∵代數(shù)式包含整式，整式是包含單項式和多項式的集合，而單項式和多項式是獨立的子類，不互相包含．故選：D．7．A【分析】本題考查坐標與圖形變化．根據(jù)點的坐標平移規(guī)則“左減右加，上加下減”求解即可．【詳解】解：將點向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的點的坐標是，故選：A．8．C【分析】本題考查了解二元一次方程組，根據(jù)方程組中兩個未知數(shù)的系數(shù)和相等，把兩個方程相加可得，再把等式兩邊同時除以即可求出結(jié)果．【詳解】解：得：，等式兩邊同時除以可得：．故選：C．9．C【分析】本題考查了概率的計算，根據(jù)兩張獎券中獎的概率分別為，，進行求解即可，掌握概率的計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩張獎券中獎的概率分別為，，∴小華恰中張獎券的概率為，故選：．10．A【詳解】設(shè)乙自己做需x天，甲自己做需3÷=12天，根據(jù)題意得，2（+）=﹣解得x=24則還需÷（+）=4天所以完成這項工作共需4+5=9天故選A．11．【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)的混合運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．將特殊角的三角函數(shù)值代入求解即可．【詳解】解：，故答案為：．12．1×10-10【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義進行求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：0.0000000001m=1×10-10（m）．故答案為1×10-10．【點睛】本題考查科學記數(shù)法，其形式為：a×10n（1≤a＜10，n為整數(shù)）．13．【分析】根據(jù)題意列出不等式組，求不等式組解集的公共部分即可．【詳解】解：由題意，解得：20≤x≤25，故答案為：20≤x≤25．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出不等式組．關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：“同大取大，同小取小，大小小大取中間”進行分析求解．14．16【分析】本題主要平方差公式與幾何圖形的知識，正確理解題意列出代數(shù)式并計算是解題的關(guān)鍵．分別求出變化前后2次的面積，作差即可．【詳解】原來的土地面積為平方米，第二年的面積為，∵，∴減少了16平方米，故答案為：16．15．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，先根據(jù)平行線得出，由，，得到，設(shè)的高為h，進而得到的高為，進而即可求解．【詳解】解：，，，，，，設(shè)的高為h，同理得：的高為，，故答案為：．16．【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，涉及了一元一次不等式的求解，由題意得，即可求解；【詳解】解：∵，．∴，由解得：，17．【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用；陰影部分面積等于兩個正方形面積減去兩個直角三角形面積，整理后將與的值代入計算即可求出值．【詳解】解：根據(jù)題意得：把代入得：．故圖中陰影部分的面積為．18．米【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)這種杜鵑花應(yīng)種在比山腳的海拔高米的山坡上，根據(jù)題意列出不等式即可求解，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這種杜鵑花應(yīng)種在比山腳的海拔高米的山坡上，由題意得，，解得，答：山腳的海拔的取值范圍是米．19．(1)扇形統(tǒng)計，各部分占總體的百分比的大小(2)5，，，【分析】本題考查統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)，理解扇形統(tǒng)計圖的特點是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點解答即可；（2）由抽樣調(diào)查人數(shù)減去其它已知人數(shù)可求得a值；再根據(jù)對應(yīng)人數(shù)除以抽樣調(diào)查總?cè)藬?shù)可求解m、n值，然后利用中位數(shù)的定義求解k值即可．【詳解】（1）解：由題意，已知統(tǒng)計圖屬于扇形統(tǒng)計圖，易于顯示各部分占總體的百分比的大小，故答案為：扇形統(tǒng)計，各部分占總體的百分比的大?。唬?）解：由題意，，成績合格人數(shù)為（人），則，成績優(yōu)秀人數(shù)為（人），，∴，，∵20個數(shù)據(jù)從小到大排列，處于第10個和第11個數(shù)據(jù)都是91，∴中位數(shù)．故答案為：．20．問題一：，一元一次；問題二：（1）無數(shù)；（2）見解析；（3）、【分析】問題一：設(shè)，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得解；問題二：（1）根據(jù)四邊形的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)尺規(guī)作圖—基本作圖的方法，結(jié)合題意作圖即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、余角、圓錐、多邊形的內(nèi)角和公式逐項分析即可得解．【詳解】解：問題一：設(shè)，∵軸上的一點到點，的距離相等，∴，∴，整理得：，∴，∴；設(shè)立點坐標列的方程屬于一元一次方程；問題二：（1）根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性可得：以線段，，，為邊作多邊形，可以做無數(shù)個；（2）如圖：即為所作，；（3）a．平面內(nèi)，經(jīng)過平行四邊形對角線的交點的直線，一定能平分它的面積，故原說法錯誤，不符合題意；b．已知的度數(shù)為，則的余角的度數(shù)為，故原說法錯誤，不符合題意；c．圓錐的三視圖中沒有矩形，原說法正確，符合題意；d．令，解得：，不是整數(shù)，故某工廠為挑出多邊形圖形瓷磚，用排除法選出不符合要求的正多邊形內(nèi)角和度數(shù)，不符合的內(nèi)角和度數(shù)為，原說法正確，符合題意；故正確的有、．【點睛】本題考查了兩點間的距離、平行四邊形的性質(zhì)、作圖—基本作圖、多邊形內(nèi)角和公式、求余角等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．21．合理，理由見解析；；米．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，當連桿移動時，始終保持：，，所以四邊形是平行四邊形，兩組對邊始終保持平行；過點作，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可以求出，根據(jù)菱形的面積公式求出，根據(jù)正方形的面積公式可以求出，從而可以求出它們的面積之差；過點作，過點作，作于點，交DE于點，可得四邊形和是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得它們的對邊相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求出，利用全等三角形的性質(zhì)可得米，米，從而可以求出米．【詳解】解：合理．理由：如下圖所示，其中是平行四邊形，，，當連桿移動時，始終保持：，，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可得：四邊形是平行四邊形，兩組對邊始終保持平行，這個同學的設(shè)計合理；解：如下圖所示，過點作，四邊形是正方形，，當四邊形發(fā)生形變時，始終不變，四邊形是菱形，，，，，又，四邊形的面積減少了；解：如下圖所示，過點作，過點作，作于點，交DE于點，則四邊形和是矩形，，，米，米，米，米，，，，在和中，，米，，，，，，，在和中，，米，米．故答案為：米．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長公式即可求出度數(shù)，利用切線的性質(zhì)和解直角三角形即可求出的長；（2）根據(jù)等弧所對圓周角相等推出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理推出，利用直角三角形的性質(zhì)即可求出，通過等量轉(zhuǎn)化和余弦值可求出答案．【詳解】（1）解：連接，設(shè)的度數(shù)為，，長為，，，即，，直線l是的切線，，，即，解得；（2）如圖2，連接，過點作于，為直徑，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形以及三角函數(shù)、切線的性質(zhì)定理、扇形的弧長公式，角平分線性質(zhì)定理等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理和相關(guān)計算公式．23．（），，兩函數(shù)圖象有兩個交點；（），；（），，方程的一個正根為或．【分析】（）根據(jù)等式的性質(zhì)和函數(shù)圖象性質(zhì)即可求解；（）按照仿例即可求解；（）按照仿例即可求解；本題考查了函數(shù)圖象與一元二次方程，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）解：由得，∵；∴方程兩邊同時除以，得．移項，得，設(shè)，，∴觀察函數(shù)與圖象，∴兩函數(shù)圖象有兩個交點，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，故答案為：，，兩函數(shù)圖象有兩個交點；（）解：∵當時，方程的兩根，，可使，∴，故答案為：；∵，∴，∴，∴，∴，，故答案為：，；（）解：∵，∴，如圖，設(shè)四個全等小矩形的長為，寬為，面積設(shè)為，大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加中間小正方形的面積，即，∵圖是一個由四個面積為的全等的矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為，∴，，解得：，當時，，∴，解得：，∴方程的一個正根為；當時，，∴，解得：，∴方程的一個正根為；∴方程的一個正根為或．24．（1）【數(shù)學理解】：①3，②(1，2)；（2）見解析；（3）有最小值3，此時點的坐標是（2，1）；【問題解決】：（4）先沿方向修建到處，再沿方向修建到處，見解析.【分析】