江蘇省南通市如東高級(jí)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

江蘇省南通市如東高級(jí)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（）A． B． C． D．2．已知拋物線,過拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．3．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像4．已知向量與的夾角為，，，則()A． B．0 C．0或 D．5．使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A． B． C． D．6．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．8．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里9．用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動(dòng)生成一個(gè)實(shí)數(shù)，且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù)，則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于的概率為（）A． B． C． D．10．集合，則（）A． B． C． D．11．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．12．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量，且，則______14．連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為______________．15．電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無(wú)悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第2個(gè)盒子里放的是丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是小明說(shuō)：“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為_________16．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金．若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知a＞0，證明：1．18．（12分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.19．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.20．（12分）在四棱椎中，四邊形為菱形，，，，，，分別為，中點(diǎn)..（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成，記二面角的大小為.（1）當(dāng)平面平面時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓，根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設(shè)內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算，難度一般.任何一個(gè)平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.2、A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點(diǎn)，先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程，求點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算量就大一些.3、B【解析】

化簡(jiǎn)到，根據(jù)定義域排除，計(jì)算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)，關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?，故不可能為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.4、B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為，得，所以，又，，，，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，若展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則，解得，當(dāng)r取2時(shí)，n的最小值為5，故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．6、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2x．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．9、C【解析】

由幾何概型的概率計(jì)算，知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為，結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.【詳解】∵每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，是一道容易題.10、D【解析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，注意常見集合的符號(hào)表示，本題屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

首先找出與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設(shè)中點(diǎn)為，連接，，可知，，同時(shí)易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1【解析】

根據(jù)原則，可得，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機(jī)變量，則期望為所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解【詳解】由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，而滿足條件的結(jié)果為：共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式，可得所求概率．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、A或D【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：假設(shè)甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則乙說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是；假設(shè)甲說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是．故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題．16、20.2【解析】

分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】

利用分析法，證明a即可．【詳解】證明：∵a＞0，∴a1，∴a1≥0，∴要證明1，只要證明a1（a）1﹣4（a）+4，只要證明：a，∵a1，∴原不等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運(yùn)用，考查推理論證能力，屬于中檔題．18、（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進(jìn)而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明，得到平面，得到證明.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，所以是等邊三角形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，所以，又，，，所以，又，，所以平面，所以，又因?yàn)槭橇庑危?，所以，又，所以平面，所?（2）由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，，平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.