固體物理知識概要

第一章=[T+j+k)

(2)體心立方(body-centeredcubic,bcc):原胞基矢

每個晶胞有2個等效格點。常見金屬：堿金屬晶體，過渡金屬晶體，Cr,M。,W.

體心立方原胞體積為：ai(aixm)=a3/2

%=/+/一〃)

最近鄰原子數：8個

(3)面心立方(face-centeredcubic,fee)原胞基矢6=](/+〃)

每個晶胞有4個等效格點。常見金屬：貴金屬Cu、Ag、Au、Al、Ni、Pb等。

面心立方原胞體積為：ai-(52x33)=a3/4

(=-(/+A)

最近鄰原子數：12個i2

7大晶系,14種布拉菲格子，32種宏觀對稱操作。

〃3=#+力

密積累配位數

配位數：一個原子四周最近鄰的粒子數。

致密度：晶胞中粒子所占的體積與晶胞體積之比。比值越大，積累越密。

粒子被看作為有肯定半徑的剛性小球。最近鄰的小球相互相切。兩球心間的距離等于兩最近鄰粒子間的距離。

1.同種粒子構成的晶體

原子半徑相同，剛球半徑也相同.一般采納密積累。配位數為12、8。

2.不同粒子組成的晶體

(1)氯化鈉(CsCI)

Cs+離子半徑為r,Cl-離子半徑為R,則

r=0.73R配位數為8。

(2)氯化鈉(NaCI),Na+離子半徑為r,Cl-離子半徑為R,則

r=0.41R配位數為6.

晶列、晶面、密勒指數；

晶向：晶格可看成是在任意方向上由無窮多的平行直線組成的，全部的格點都落在這些直線上。每

一條這欄的直線稱為晶格的一個晶列。晶列的方向稱為晶格的晶向。

晶向的表示：晶向指數[hhh]:任取一個格點作為原點0。作晶胞基矢a、b、c,考慮某晶列上

的一個格點P,該格點的位矢為：llal+12a2+13a2且111213為三個互質整數,則該晶向指數為

[lihI3]8

晶面：晶格可在任意方向上分割成無窮多的平行平面組成，使得全部的格點都落在這些平面上。全

部相互平行的平面構成一族，稱為晶格的晶面。

晶面的表示：在晶胞基矢a、b、c下，一晶面與它們的截距分別為l'a、mbn'c

111,

—?—7?-7=/.ni.n

若有互質整數I、m、n使/mn(Imn)稱為晶體的密勒指數(Miller

indices).若某晶面指數為負數，則在此數上面加一橫杠。

若取原胞基矢,則互質整數(hlh2h3)稱為晶面指數。

=2:6:3

/-3加'=1〃三2

右圖晶面描述312晶面密勒指數為：(263)

倒格子

取原胞基矢al、a2、a3,定義三個新矢量bl、b2、b3,滿意：Qd為原胞的體積.

bl、b2、b3稱為晶體的倒格子基矢。相對地，al、a2、a3稱為晶體的正格子基矢。2九(。3X。])_27t

bl、b2、b3相互獨立，可構成一新的矢星空間，稱倒格子空間。

在倒格子空間中作矢量2n(axa)27r

Gh:b.=~l———2=—(?ixa,)

Gh=hlbl+h2b2+h3b3a}(?2x?3)Cd

當取遍全部的整數hl、h2、h3后，得到的點陣稱為倒格子點陣。bl、b2、b3構成的平行

六面體稱為倒格子原胞，其體積為Qr,

Qr=bl-(b2xb3).Gh稱為倒格矢(ReciprocalLatticeVector)0

倒格子與正格子之間的關系

[2元i=j

%4=2吟={..tj=1.2,3

(1)基矢關系01*1

(2)格矢之間的關系凡0=2加1其中m為任意整數

c,但

(3)原抱之間的關系Cd

(4)倒格子矢量Gh與晶面面間距dh的關系

設Gh=hlbl+h2b2+h3b3,dh為晶面指數為(hlh2h3)的一族晶面間的面間距,

布里淵區(qū)

任取一倒格點為原點，作全部倒格矢Gh的垂直平分面，這些平分面之間圍成的區(qū)域稱為

布里淵區(qū).包含有原點的區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)。

其次章

1.兩原子間的相互作用能、力表達與圖示表達。

最近鄰兩原子的距離為r,f(r)為兩者間的的相互作用力，u(r)為相應的勢能，

f(r)=-^^u(r)=_；+2

&rr式中，a、b〉0,n>m>0。第一項為吸引能，

其次項為排斥能。

f(r)=_a嗎=0

當晶體穩(wěn)定，達到平衡時，r=r0,這時有：°0cr|r'

gf(r)I=_c2u(r)I=0

臨界距離：在r=rm時有：5r憶一6r;"一

結合能Eb:肯定溫度為零時，N個原子組成晶體后的總能量E與這N個原子在自由狀態(tài)下

的總能量Ea之差：Eb=E-Ea

結合能表示了N個原子組成晶體時所向外釋放出的能量

計算出相鄰兩原子間的平衡距離r0及結合能：

Eb=U(rO)

2.晶體彈性性質

(K=l)

(1)壓相系數K與體彈性模量KK

1必7、au

定義壓縮系數：VT由絕熱狀況下dU=-PdVU即為晶體內相互作用能。

K=1=-V(—)T=v(￡2^)r

體彈性模量：又四員

(2)抗張強度

6f叫_62V「

晶體能所承受的最大張力。它應等于原子間最大的吸引力。此時r=刖。6r’?6「

P.里

抗張強度5V(V=Vm)

2.晶體結合的基本類型及特性

1.離子晶體：離子鍵(結合)：正負離子之間的靜電庫侖吸引力與電子間的庫侖排斥力共同作用下的結合力。

依靠離子鍵結合的晶體稱為離子晶體。常見有NaCI晶體，CsCI晶體

咐=±(士汕3)

24k兩尊

兩離子間的相互作用能(2)離子晶體的總相互作用能

離子晶體特點：依靠靜電庫倫力結合，有較大的結合能，~800kJ/moL密積累。有較大的穩(wěn)定性。高熔點、高硬度，小膨

脹系數。電子定域，絕緣體?？梢妳^(qū)透亮,近紅外有特征汲取。

2.共價晶體：共價鍵：相鄰兩原子共有一對三旋相反的電子。由共價鍵結合的晶體稱為共價晶體。一些分子依靠共價鍵結合，如H2

分子、有機分子等。

共價結合具有飽和性和方向性。：飽和性即一個原子只有有限的價鍵，方向性：價鍵只發(fā)生在某個方向上。

共價晶體特點：共有化一對電子,結合能較大,102-103kJ/mol0有較大的穩(wěn)定性。高熔點、高硬度，小膨脹系數，電子定域,絕緣

體和半導體。近紅外有特征汲取。

3.金屬晶體：正離子實與共有化的價電子間的庫侖吸引力以及正離子實之間、價電子之間的庫侖排斥力共同作用下的相互作用稱為金

屬鍵或金屬結合。金屬鍵結合的晶體稱為金屬晶體。金屬鍵沒有方向性。金屬晶體一般采納密積累結構。金屬結合屬強結合，有較大

的穩(wěn)定性。堿金屬，過渡元素的晶體

特點：電子廣延。具有較好的導電性、導熱性、展延性。對電磁波有劇烈汲取。

4.分子晶體:原子或分子的電偶極矩之間的吸引力與原子分子之

情性京子校性分子.也性分子口性分子

間電子云的排斥力共同作用下的相互作用。范德瓦爾斯分子力：

@@

色散力：兩惰性原子間的相互作用能。

誘導力：極性分子與其在非極性分子上誘導產生偶極矩。u嶗時凄化

彌散力：非極性分子之間瞬時偶極之間作用力。NH3,S02,HCI

以向偈國能

5.氫鍵晶體：通過氫原子結合在一起的晶體稱為氫鍵晶體。

負電性大的原子與氫原子之間的相互作用。

色散力(倫敦力)靜電力法導力

對于0、F、N原子，其特點是獵取電子力量大,因此負電性大；

而H有矢去電子的傾向。

對存在0、F、N離子的分子簡潔與H產生氫鍵結合，

氫鍵通式：X-H……Y式中x和丫代表F,。，N等電負性大、原子半徑較小的非金屬原子.X和丫可以是兩種相同的元素，

也可以是兩種不同的元素。

特點：分子鍵與氫鍵一不交換電子。是一種弱結合，具有方向性。

3.原子負電性

原子的電離能：原子失去一個電子而成為一個正離子所需的能量。(電離一個電子所需的能量)

原子的親和能：一個原子俘獲一個電子而成為一個負離子所釋放出的能量。(俘獲一個電子所釋放的能量)

原子的負電性=0.18x(電離能+親和能)

負電性與晶體結合類型

1.堿金屬的負電性最低，價電子最簡潔擺脫原子的束縛而形成共有化電子，所以構成最典型的金屬晶體。

2.當負電性增大時，原子束縛電子的力量增加，獵取電子的力量也增加，因而易形成共價結合，構成共價晶體。

3.當一類原子的負電性較大，另一類較小時，則一般地構成離子晶體。

4.當原子具有穩(wěn)定的閉殼層結構時，電子不發(fā)生轉移，原子便依靠較弱的范德瓦爾斯力，形成分子晶體。

第三章

晶格振動假設：L晶體中的粒子僅在平衡位置(晶格格點)四周作微小的熱運動；2.這種形式的運動都可等效于三個方向上的直線振

動.

一維單原子鏈：有N個質量為m的相同原子組成的一維單原子鏈，相鄰兩原子的間距為a.a:一維晶體的晶格常數。

假定：1.振動只發(fā)生在鏈的方向；2.振幅相同；3.頻率相同

2.簡諧近似(HarmonicApproximation)與最近鄰近似(Nearest-NeighborApproximation)

晶體中的粒子都是在平衡位置四周作小運動，各粒子的位移相對晶格常數是小的，可忽視高階項，即作簡諧近似。

-u

..m/J=iPitfiCUmfl)m=P(llz+U9T-2lla)

簡諧近似后：du由最近鄰近似后：du

3.周期邊界條件：1r=4

(1).方程的解為格波解：Un

每個原子都圍繞各自的平衡位置作簡諧運動。

振幅A和頻率(，相同，位相不同。

q稱為波矢(WaveVector).

相鄰兩原子的位相差為qa0

長聲學波代表的是原胞質心的振動。

結論：波矢q的數目等于原胞數N。勻稱分布在第一布里淵區(qū)內的N個點。

一維雙原子鏈有兩支格波：一支聲學波，一支光學波。

晶體的犯立振動模式數等于晶體的自由度飄

綜合結論：設晶體有N個原胞,每個原胞內有P個不等價原子。

1.晶格版動的波矢（q的取值數）數目等于晶體的原胞數N.

2.獨立荒動模式數（。曲取值數）等于晶體的自由度數3PNO

3.格波的支數等于原胞的自由度數（3P支）。

4.聲學波支數等于晶體的維數。對于三維晶體，有3支聲學波，其余均為光學波，共3P-3支。

例1：分析由N個原胞組成的鈉晶體的振動格波。

例2:分析由N個原胞組成的氯化鈉、單晶硅晶體的振動格波。

sL

1NNNQdV_______——

旦=&'=砌■=麗=西（2兀）22兀

倒格子‘空間”中波矢q的"密度"為：三維寸_二維一維______

聲子

晶格振動的量子化能量力行稱為第i個振動模式下的聲子數。

聲子具有動量的屬性：

振動波矢q的方向代表了聲子的傳播方向，

力q稱為聲子的準動量。它不是晶格的真實動量。

聲子是一種準粒子，不滿意粒子數守恒.

晶格熱運動表述為晶格聲子的產生及湮滅。熱能的傳導表述為聲子的集中.晶體熱平衡時，產生的聲子數與湮滅數達到相等。

熱平衡下平均聲子數：

_3PN]

豆=2（萬+%）方%

平均振卻能：1=1?

模式密度：刎=處出嚶dn=“密度”x兩等頻值之間的長度dq=

1

其中，模式密度一般可表示為：g⑹-PEI

NA

N=yi^a?）d3

約束條件：Vi

一維狀況

二維狀況

三維狀況

晶格熱容量。

固體熱容組成：工.晶格振動貢獻2.電子運動的貢獻。除非溫度極低，電子熱容很小。

=

4~h^―En=七F-TT/充(#、：=3ZZ:1峋卜、(/q、)1_+方*Q^(_6

晶格總能量:右圖式子，其中e一1

比熱容一般表達式：

3Pr方Sj(q)

=SJgj?"%(q>-toj(q)

g(q)

方①j(q)

g(0)dco(q)

jj加：(q)

3P

=kBZjgj(s)d%(q

j

(eklT-1)2

???經典狀況：設有N個原子構成的晶體。晶體自由度(DegreeofFreedom)=3N;平均熱運動能量=3NkfT晶體熱容量：

3Nke

實際:高溫趨向常數，低溫趨向0

愛因斯坦模型:假設品格振動頻率相同。

色

c、,=評］=3PNkB件_岫

0=

大ITJj2E~r~

則：(eF愛因斯坦特征溫度：kB

結論：在溫度較高的狀況下，即當T?0E時，Cv。3PNkB與經典狀況相同。而在低溫下,T?0E,這時有

C-3PNkB用e-T

即當溫度趨于零時，熱容量也趨于零。這基本上與試驗結果相符。

但試驗上精確當溫度趨于零時，熱容量是以T3的方式趨于零(稱為T3定律)。這是由于在低溫時，聲學波對熱容的貢獻是主要的，

而愛因斯坦模型實際忽視了這一聲學波對熱容的貢獻。

德拜(Debye)模型

假設：德拜將晶體看作為各向同性的連續(xù)介質，把格波看作為介質中的彈性波。支為縱波，速度為c+;兩支偏振方向相互垂直的橫

波，速度為C//O為簡潔起見，假定它們的都相等為c0依據彈性波理論頻率與速度和波矢間的關系為⑴=cq

/、dnVco2

g(CO)=——=----2-3co=N

模式密度：dco2TIC則由束縛條件o

方0方①nCO0nCO方

X=---------=----------------=-------n="3D

KBTkTcoTcoD

BDD德拜溫度

T，T4x

3Xe

Cv=9NkB(—)f上Jdx

%o(ex-1)2

化簡得至J

當—爭.分子上ex.l分母上expl—x

T6D/T

32

9NkB(—)fxdx=3Nk

CvxB

與經典全都。

Cv?9NkB(X)3fX%'dx二

x2

0(e-1)

%aoo

T

:生NkBocT3

5B

當溫度T很低時，TND，與試驗相符合。

第四章

方2方2

L絕熱近似。2M22M_V2+lyy_^+lyy__+

前提:一般地，m<<Ma,電子的速a2M—4兀％￡占2年管4%￡小耶

度及動能遠大于原子核的速度和動

2

7e

能。其次項為0,第四項可認為是常T①仇…，凡…)=E①。;…,J…)

數V0-記力

a

V。25盧.

247t￡08rRap

離子的波函數與電子的位置無關。

晶體波函數=電子波函數X離子實波函數

2.平均場近似、單電子近似：電子間的相互作用僅與

自身坐標有關；

3,固體物理最基本的假定：晶體周期場假定

V(f)=Q(f)+u(r)

則

V('r+Rn)7=V'(r)7Rn是晶格平移矢量。

2

h2

[,V2+V(r)]W)=Ei|/(r)

經上述近《以之后得到簡化后的方程：2m

w(r)=u(r)e設,

4.布洛赫定理：假如勢場V(r)是晶格格矢Rn的周期函數，則波函數方程的解必定滿意"k''

平移算符與哈密頓量有共同的本征函數，為叭r),

VKr)二e%i(r)

晶格中電子的波函數可表為“￡('+《！)—以(')

山⑺為晶格的周期函數。

22

%(，+/)『==u

k

可以得到在晶體中，各原胞內對應點處的電子幾率相等。？？

5,波矢〃的物理意義:波矢k用于表征電子態(tài)，不同的k對應不同的波函數和相應的能量本征值.表征晶體電子布洛赫

波波的波矢.

方A是自由電子的動量，但不是晶體中電子的動量。不是布洛赫波的動量本征值，但又具有動量的量綱和屬性。稱為晶體電子的準

動量。

(1)波矢的取值數目(=原胞數N)。N=NIN2N3

0)k在倒格子空間內(布里淵區(qū))分布的狀況.

4

NJN2N3k.Rz=27rx整數

滿怠波矢k的取值在倒格子空間表示為一個“代表

點"。這些點的分布是勻稱的。

三維二維一維io

〃的“分布密度”

6,能帶理論

能帶的一般求解：傅立葉級數法。

甲式，）=+＞（"+6）建9

波函數傅里葉級數綻開1

V（r）=X\，（&）產"V（Gz）=ljV⑺/"dr

勢能傅里葉級數綻開：Gv

代入簡化的方程運算可以得到：

力2

五(A+GAE⑸0卒％—

其次方程

det后-GJ-E⑹兒+V(G「q)=。

上述方程滿意

由此解出E與k的關系，即電子的能帶：

i

對每一個En（k）,通過式，有可解出一組ank（G）,E

即波函數、ynk（r）.能量本征值En（k）與n和k有關。

------------55（萬E$(A)

對于每個給定的n,En（k）包含了不同的k圻對應的E5---

不同的能級。

1.在這些能級中，相鄰的兩個能級間隔很小，幾乎是

E----------中4（"EK*)--------------里“⑴）

連續(xù)的（稱為準連續(xù)），形成一個能帶。4

2.在相鄰兩個能帶中（如第n個能帶和第n+1個

能帶）之間有可能不重疊，即相鄰兩個能帶之間消失匚-str)E(Ar)

33甲35（萬

了能量禁戒區(qū)，稱為禁帶。

TZTZ/右、

七2（廣）七2⑻

3.全部的En（k）稱為晶體的能帶結構。52，甲幼（力

P

7.能帶與波函數的性質：七】%Cr)Ei(A)，,次（刀

E（k）=E（-k）原子中的電子能級和波函數晶體中的電子能級

tta（能帶）和波函數41

x.心*（,）=乂-?）定態(tài)方

h2

(V2+2i^V)+V(r)u=[E(k)-E°W]u,(r)0方V+2i方左

2mk

程：

EV+GmhE”⑹

2Vn/UGm（，）=Wn式，）

波函數與能量是倒格矢Gl的周期函數.

相差］王意倒格矢的兩個狀態(tài)（波函數）描確是相同的狀態(tài)。

1.倒格子空間中（或〃空間中）相差一個或多個倒格矢的電子態(tài)表示的是同一電子態(tài)。

2.為了使〃與電子態(tài)有一一對應的關系，將倒格子空間分劃成不同的區(qū)域，并將片的

值限制在某個區(qū)域內，在這個區(qū)域中，全部的波矢k—對應與某個能帶上的電子

態(tài).

3.這個區(qū)域外的波矢可通過平移一個或多個倒格矢，使在區(qū)域中的一個等價波矢對應

與其他相應能帶的電子態(tài)。這樣的區(qū)域稱為布里淵區(qū)。

4.用于代表全部電子態(tài)的波矢k,并包含有原點的區(qū)域，稱為第一布里淵區(qū)。

…八(2兀)3

bx^b2xb3)=——

第一布里淵區(qū)體積為：V

k=K4+k?3+k3b3=U4+蜻％+

N1

N風（在布里淵區(qū)則:

4,赳吟，得今%吟，/%與吟,

2

N=N1N2N3=晶體原胞數

K取值有

k的取值數等于晶體總的原胞數。

每個能帶中共有N不同的電子態(tài)，考慮到自旋，則共有2N個不同的電子態(tài)。

1)能帶的簡約圖式

將k限制在第一布里淵區(qū)內，各能帶都有相

應的能量對應，每個能帶都用第一布里淵區(qū)

中的k值表示。

(2)能帶的擴展區(qū)圖式

按能量的大小，把各能帶分別限制在第一、

其次、第三等區(qū)域內。

(3)能帶的重復圖式

將每個能帶在第一布里淵區(qū)的圖形作周期性

重復綻開。

能及分布的特點：(1)k空間中能帶在布里淵區(qū)邊界附件外凸(畸變)；

(2)k空間中能帶在布里淵區(qū)邊界兩側不連續(xù)(突變)；

(3)等能面與布里淵區(qū)邊界正交。

由于：

8?由電子近似

模型特點：晶格對電子的影響除了個別地方(格點四周)外，其相互作用是較小的。

電子的行為在大部分區(qū)域都類似于自由電子.

晶格周期勢對電子的作用是個小量，可以表示為微擾作用。

(1)k、k'距布里淵較遠：

E±=E：±|Vn|=*出土1Vli|

(2)k、k在邊界上：a

AEn=2|Vn|AEn即為禁帶寬度Eig

能量產生突變：

IVlV(,)—V(G產

其中II即為Q中的'⑹)。

使用傅里葉反變換。

微擾結果：在k=(nn/a)處能量發(fā)生了突變。

突變的大小為2|Vn|,即為周期勢場中第n個傅立葉重量肯定值的2

倍。

這能量發(fā)生突變的區(qū)域稱為能隙(或稱禁帶).

原先連續(xù)的自由電子能量分布(能譜)分裂為被各能隙分開的很多不

同的能帶。由于波矢k的取值是不連續(xù)的，所以各能帶是有密集分布

的很多能級構成的。參見下圖。

例題：

V(x)m*b2_(x_na)2]na-b<x<na+b

0(n-l)a+b<x<na-b

(i)畫出勢能曲線，并求平均值。

(2)用近電子模型求第一，其次禁帶的寬度。

9緊束縛近似，物理思想

假如晶格中的電子受鄰近離子的相互作用較強，則它主要受到該離子的作用，電子基本上在這離子四周運動(受該離子的束縛)，而

其他離子產生的晶格場對該電子的作用較小，可看作為一個小的微擾作用。這樣的一種模型稱為緊束縛近似。

由于電子在離子四周運動，作為零級近似，將它們看作為一原子系統(tǒng)，零級波函數為這一原子中的電子本征波函數

最近鄰近似下的能帶表達式和］計算

J(Pi*(r)AU(r)(Pi(r)dr=—p

v

P為晶體場積分'n為相互作用積分原子的能級￡i

求解過程

熟悉一維、二維情況。

畫出晶格格點一＞任取一點作為原點一

找出最近鄰，寫出坐標一＞寫出各項。對稱點

一＞化簡，寫出最后表達式E(k)函數

―作略圖表示

X

例3.二維正方格子的晶格常數為a,用緊秘近似求s態(tài)電子能譜E（k）（只計算最近鄰相互作用）、帶寬以及帶頂、帶底的有效質量。

能帶與原子能級：

晶體中電子的能帶是由孤立原子的能級演化而來。

孤立原子中的每一能級，在結合為晶體的過程中，由于各個原子之間產生了相互作用，使得分裂為能帶。

原子間間距越小，相互作用就越大，能級分裂也就越寬。

每一能級演化為一個能帶；不同的能級分期能帶寬度各有不同；

相鄰的能帶可能回發(fā)生重疊。

對于s態(tài)電子，形成一個能帶。對于三重簡并的p電子，形成3個交疊的能帶。而對于d電子,則由于是五重簡并，因而形成5個交

疊的能帶。

10準經典運動

一、晶體中電了的平均速度

有確定的能量；

沒有確定的動量，或沒有確定的速度;

但有確定的速度取某肯定值的幾率;

或,有確定的平均速度。

v=v/+vy+vAr=

xyz1

1V=-VAE(ZT)

h

-d（軟）

外場與波矢的關系、準動量dt

倒有效質量張量、有效質量與能帶的關系。mn

切力?國偌異舛付：P'=一i為V+i力VInu

有效質量與質量區(qū)分：

有效質量不同于性質量.有效質量包含了晶格場對電子的作用。

由于電子在晶格中不同的位置，受到的晶格場的方向與外力的方向不同，所以它與電子的方向有關，或者說與電子的波矢k有關，也

因此它在一般的狀況下是個張量。

當晶格場與外力的方向全都時，有效質量是正的；

當方向相反而大4而等時，它的值為無窮大；

當方向相反時，并且晶格場大于外力時,它具有負的值。

只有在自由空間中，有效質量等于慣性質量。這時，準動量也等于電子的真實動量。

平均加速度m_____

由準經典運動方程，平均加速度與外力的關系，力中僅與外力有關，與晶格場無關。

晶格場是周期場，接近離子實的地方遠大于外場，而在兩離子實之間可小于外場。

因此當外場晶格場方向相同，大小相等或不等時m*>0

當外場晶格場方向相反，大小相等時mx=0

當外場晶格場方向相反，且晶格場大于外場時m*=8

11.滿帶電子在外電場作用下的導電性。

單電子近似下，每個價電子占據波矢為k的電子態(tài)的幾率相同；

在滿意泡利原理的要求下，電子從小到大依次占據各能級的電子態(tài)（波矢k）;

在熱平衡時，電子占據k態(tài)和-k態(tài)的幾率相等。

E(A)=E(—A)

由能帶理論，能量E是波矢k的偶函數，速度v是波矢k的奇函數

假如在同一能級上有一k態(tài)的電子和一?k態(tài)的電子，則由它們所貢獻的電流為零。

f二Y￡

當給晶體施加一外電場后，晶體中的電子我IJ—電場力

dkes

電子的波矢k隨時間的變化為dth電子的波矢k隨時間的變化為常數。

在k空間(或倒格子空間)中，電子的狀態(tài)代表點都以相同的“速度"運動。

狀態(tài)的分布保持不變，只是將原先勻稱分布的代表點作整體的平移。

I.滿帶狀況

在電場作用下，全部的波矢在k空間內勻稱地從一個狀態(tài)遷移到另一個狀態(tài)。某一個電子波矢可以越過布里淵區(qū)的邊界遷移到另一布

里淵區(qū)。

這相當于移出的電子又從邊界的另一邊移入該布里淵區(qū)。整個的電子狀態(tài)的分布及對稱性不變。

滿帶電子不導電。該能帶稱為價帶

II.未滿帶狀況：

在這種狀況中，電子只占據了部份能級。在外電場作用下，電子的移動轉變了原先的對稱分布，使得在沿電場方向的電子數目與逆電

場方向的電子數目不相等，因而只能部份》無肖電子的電流，從而總的電流不為零。因此：未滿帶電子可以導電.相應地該能帶也稱之

為導帶。

12.固體導電性的能帶解釋

一個晶體是的導電性，取決于該晶體中電子在能帶中的分布狀況.

假如晶體中的能帶要么被電子全部占據,要么沒有被電子全部占據(空帶)，而且相鄰的能帶沒有發(fā)生重疊，則該晶體是絕緣體；

假如晶體中的能帶只是被電子部分占據，則該晶體為導體。

由原子中內殼層電子構成的能帶都是滿帶，所以它們不導電；晶體的導電性僅取決于由價電子能級綻開的能帶的狀況。

由能帶理論知，若晶體有N個原胞，則每個能帶共有N個不同的波矢k,每個波矢k可允許2個自旋相反的電子。因此每個能帶可

容納2N個電子。

對于有N個原子組成的一價堿金屬(Li、Na、K、Cs等，價電子為ns電子)，由于它們采納的是體心立方或面心立方結構，所以原

胞數等十原子數N。晶體共有N個價電子。

由ns能級演化成的能帶中的狀態(tài)只被這些電子占據了一半，這能帶是半滿的，因而這類晶體是典型的金屬晶體。

對于二價堿土金屬(Ba、Ca、Mg、Zn等，價電子為ns2),雖然晶體共有2N個價電子，但由于它們的上下兩個ns和nd構成的能

帶是重疊的，所以這兩個能帶都是部份填滿的(半滿)，因此這些晶體仍舊是金屬晶體。

對于金剛石類(C、Si、Ge等)的晶體，每個原胞有2個不等價的原子，每個原子共有4個價電子.

13空穴

在半導體一類的晶體中，當價帶中的一個電子被熱激發(fā)到上能帶上后，價帶中的電子數為2N-1個。

設被激發(fā)的電子的波矢為k,它的速度為v(k),其電流為-ev(k);其余2N-1個電子對外界的宏觀電流為I2N-1,在沒有外電場的狀

況下，晶體的總電流應為零,即

+[YV(4)]=0即12NT二ev(左)

空穴的物理意義周旨：一個k狀態(tài)空看的能帶所產生的電流與一個帶正電荷e,以該狀態(tài)k、速度為v(k)運動著的粒子所產生的電流

或其他性質相同.

空穴也是一種準粒子。它也有相應的有效質量、動量、能量等單粒子的物理屬性。

dv(k)_eE

dt%*(左)

空穴的有效質量為mh*(k),在外場E作用下，它的運動方程為

m*(^)=-m*(Zr)

穴的有效質量與電子的有效質量符號相反，即he

14.能態(tài)密度

電子在能帶中的填充狀況，不僅是要知道其中的電子數目，更重要的是要了解電子在E

能帶中分布，即在每個能級上電子占據的狀況，準確地說是每個能級上有多少個電子

可占據的狀態(tài)。

設某能級上有3(E)個狀態(tài)(不計自旋態(tài))，

帶頂

總狀態(tài)數=?>(E)=N(N為原胞數)

E=帶底

這樣可表述為在某個能量值四周，單位能量間隔中有多少個狀態(tài)。這就是能態(tài)密度。

明顯，能態(tài)密度也是能量E的函數。

能帶的狀態(tài)密度gn(E)定義為

由于電子的能量E是k的函數。所以，在k空間中，E(k)=常數1是一個等能面。E

(k+dk)=E(k)+dE=常數2是另一個等能面。

=—^-yxdVk

（2兀）3

兩等能面間的狀態(tài)數dsn為

AVk=ldSdkJLa，為等能面上的面積元，du為兩等能面間的垂直距離

VVr

dc）=---xdV.=----xJdSdk,二

nnrkr1

（2兀）3（2兀）3

dEn

二—xfdS

（2兀）3|V,E