湖南省衡陽市某中學2023-2024學年高一年級上冊入學分班考試數學模擬試卷

湖南省衡陽市八中2023-2024學年度新高一入學分班考試

數學模擬卷

一.選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）

1.（3分）下列計算正確的是（）

A.Ca-b)2=a2-b2B.(-2a2)3=8/

C.a3^a2=aD.2a2+a2=3a4

2.（3分）陜西歷史博物館是中國第一座大型現代化國家級博物館，2021年春節(jié)期間累計接

待游客約37200人次，數據37200用科學記數法可表示為（）

A.372X102B.3.72X103C.3.72XI04D.0.372X105

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.a+a=aB.a6-ra3—a3

C.(-/〃)3=〃6.3D.(。+2)2=/+4

（3分）化簡分式寫嘗后得（

4.)

2aaa2a

A.----B.----C.—D.

x-yx-yx+yx+y

方學二則（x+y）?y）的值是（

5.（3分）已知二元一次方程組?)

A,?乙y一o

A.15B.-5C.5D.-15

6.（3分）已知：關于x的一元二次方程（R+r）x+$/2=o無實數根，其中心尸分別

是。01,。。2的半徑，”為此兩圓的圓心距，則的位置關系為（)

A.外離B.相切C.相交D.內含

7.（3分）如圖所示，在梯形A3CD中，AB//CD,NABC=a,ZBAD=^,則A￡＞：BC等

于（）

cosasinastripsin/3

A，麗B.----

sinp'cosa?sina

8.（3分）如圖，已知點O是等邊4ABC三條高的交點，現將△AOB繞點。至少要旋轉幾

度后與△8OC重合（）

C.240°D.360°

9.（3分）如圖是邊長為2的正方形及其內切圓和外接圓，則圖中陰影部分的總面積為（）

A.3TI-4B.n+4C.511-4D.3TT+4

10.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，在△ABC中，點C（-1,0）.點

A在x軸正半軸上，點B在第一象限內，NACB=30°,AC=A8=2g,過點B作

x軸于點Q,AE平分NBAD交BD于點E,則點￡的坐標（）

11.（3分）假設計算式表示經過計算后a的值變?yōu)閍的原值和b的原值的和：又

表示經過計算后b的值變?yōu)閎的原值和c的原值的乘積.假設計算開始時a=

0.b=1,c=1.對a,b,c同時進行以下計算：（1）a#n+6；（2）b#h,c\（3）c#a+b+c（Bp

c的值變?yōu)樗玫降腶,6的值和c的原值的和）.連續(xù)進行上述運算共三次，則計算結束

時mb,c三個數之和是（）

A.1位數B.2位數C.3位數D.4位數

12.（3分）關于x的方程有兩個不相等的實根xi,X2＞若X2=2XI,則4Z?-3ac

的最大值是（)

A.1B.2C.4D.6

二.填空題（共6小題，滿分15分）

13.（3分）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、8。相交于點0,80=8,lan/A8O=9,

Yx

14.（3分）關于x的方程——+（—）2=2,方程的所有的所有實根的和

X+lX+1

為.

15.（3分）已知實數滿足J+2a=b+2,廿+2b=a+2,則代數式2+色的值等于

ba

16.閱讀材料：如果兩個正數〃、b,即a>0,b>0,則有下面的不等式學2當且

僅當時取到等號.我們把拳叫做正數〃、b算術平均數，把點叫做正數。、》的

幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）

它們的幾何平均數.它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具.根

據上述材料，若y=3x+'（x>0）,則y最小值為.

17.（3分）若r為實數，W-4x+r-2=0的兩個非負實數根為a,6,則代數式（a2-1）（房

-1）的最小值

18.（3分）已知一次函數yi=+〃?與二次函數以=7-5x+4,若滿足yi>0且）2<0

時的自變量x的取值范圍內有且只有一個整數，則m的取值范圍

是.

三.解答題（共8小題，滿分66分）

19.（6分）【閱讀材料】：善于思考的小明在解方程組=采用了一種“整

（4%+lly=5（2）

體代換”的解法：解：將方程（2）變形：4%+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5（3）,把方

程（1）代入（3）得：2X3+y=5,所以y=-1,將y=-1代入（1）得x=4,所以原方

程組的解為z

【解決問題】：

（1）模仿小明的“整體代換”法解方程組《，~^=；Q；

（2）已知x,y滿足方程組［：：；：曹。2；：5°,求f+4）,2的值.

20.（8分）2022年的冬天，越來越多的游客選擇到山西九龍山滑雪場來放松一下自己，體

驗一下藍藍的天空，皚皚白雪的浪漫，重溫一下兒時的激情和與大自然抗爭的成就感，

更能領略一下冬天滑雪的魅力.圖1,圖2分別是一名滑雪愛好者在滑雪過程中某一時刻

的實景圖與示意圖，此時運動員的小腿EO與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，

G為頭部，且G,E,。三點共線.若滑雪杖EM長為EF^OAm,NEMD=30°,

ZGF￡=62°,求此時滑雪愛好者頭部G到斜坡AB的距離.（精確到0.1m）（參考數據：

sin620弋0.88,cos62°七0.47,tan62°弋1.88）

AC

圖1圖2

21.（8分）青島方特夢幻王國位于美麗的山東省青島市紅島海濱，由深圳華強集團投資興

建.火流星是其經典項目之一.如圖所示，尸一E-G為火流星過山車的一部分軌道，它

可以看成一段拋物線.其中OE=等米，OF=黑米（軌道厚度忽略不計）.

（1）求拋物線FfEfG的函數關系式；

（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當過山車運動到G處時，平行于地面

向前運動了藍米至K點，又進入下坡段K-H（K接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋物

線Kf”fQ的形狀與拋物線PfE—G完全相同，在G到。的運動過程中，求OH的距

禺:

（3）現需要在軌道下坡段F-E進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM、

CM、BN、DN,且要求。4=A8.己知這種材料的價格是80000元/米，如何設計支架，

會使造價最低？最低造價為多少元？

22.(8分)解方程：yjx2—7x+10-Vx2+x-6=x-2.

23.（8分）如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，。是女的中點，E為。。延長線上

一點，且/C4E=2/C,AC與交于點〃，與0E交于點F.

（1）求證：AE是。。的切線;

（2）若。。的半徑10,tanC=4求線段。H的長.

24.（8分）二次函數y=/+fct+c的圖象與x軸交于點A（xi,0）,B（必0）且XIWA?.

(1)當xi=2,且/?+c=-6時,

①求匕，c的值；

②當fWxWr+2Bj,二次函數y=x2+bx+c的最小值為It,求t的值；

3

（2）若xi=3x2,求證：-b-cW3.

2

25.（10分）（1）【探究發(fā)現】如圖1,已知點。是正方形ABCD對角線的交點，點E是CB

延長線上一點，作。FLOE交BA延長線于F點.小明探究發(fā)現，是等腰直角三

角形.請證明這個結論.

（2）【模型應用】如圖2,在（1）的結論下，延長08、FE交于點P,若8c=6,BE=

2,求8P的長.

（3）【拓展提升】如圖3,若點G是正方形ABCQ對角線上一點，DG=2BG,BC=

6,點E在C8的延長線上運動時，連接EG,作FG,EG交直線AB于F點，設BE=x,

記AEGF與正方形ABC。的重合面積為S,請直接寫出S關于x的關系式.

1)在)，軸上，連接例，，如圖1,將例，繞著，點順時針旋轉90°至點"，點”正好

落在x軸上.

(1)求％的值和點AT的坐標；

(2)若點P在反比例函數圖象上，連接HP并延長至點E,使得PE=PH,連接EM,

PM,

①如圖2,連接MP并延長交x軸于點0,當PM'軸時，試說明EM'平分NPM'

Q；

②如圖3,連接交HE于點Q,將沿著翻折，記點H的對應點為H1,

若點“恰好落在線段尸E上，求△M'H'E與△PM'。面積之比.

圖1圖2圖3

湖南省衡陽市八中2023-2024學年度新高一入學分班考試

數學模擬卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）

1.（3分）下列計算正確的是（）

A.（?-b）2—a2-b2B.（-2a2）3=8a4

C.a3-rc^—aD.2a2+a2—3a4

【考點】完全平方公式；合并同類項；幕的乘方與積的乘方；同底數累的除法.

【分析】各式計算得到結果，即可作出判斷.

【解答】解：A、原式=J-2"+廿，不符合題意；

B、原式=-8?6,不符合題意；

C、原式="，符合題意；

D、原式=3/,不符合題意.

故選：C.

2.（3分）陜西歷史博物館是中國第一座大型現代化國家級博物館，2021年春節(jié)期間累計接

待游客約37200人次，數據37200用科學記數法可表示為（）

A.372X102B.3.72X1（）3c.3.72X104D.0.372X105

【考點】科學記數法一表示較大的數.

【分析】科學記數法的表示形式為“Xio”的形式，其中iwiavio,"為整數.確定〃的

值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相

同.

【解答】解：37200=3.72X1（）4,

故選：C.

3.（3分）下列計算正確的是（〉

A.a+ci2=aiB.a6-i-a3=ai

C.（-a2h）3="67口.（a+2）2=a2+4

【考點】完全平方公式；合并同類項；基的乘方與積的乘方；同底數累的除法.

【分析】根據合并同類項法則，同底數基的除法的運算法則，辱的乘方與積的乘方的運

算法則，完全平方公式解答即可.

【解答】解：A、。與/不是同類項，不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意;

8、原計算正確，故此選項符合題意；

C、（-辦尸=-心.，原計算錯誤，故此選項不符合題意;

D、（〃+2）2=/+4〃+4,原計算錯誤，故此選項不符合題意.

故選：B.

4.（3分）化簡分式學鳥后得（)

2aaa2a

A.---B.---c.—D.---

x-yx-yx+yx+y

【考點】約分.

【分析】先把分子和分母因式分解，再約分即可得出答案.

【解答】解：原式=播捻

a

x—y

故選：B.

5.（3分）已知二元一次方程組FWyn：,則（x+y）G-y）的值是（）

（%+2y=8J/

A.15B.-5C.5D.-15

【考點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組.

【分析】利用①-②可求出（x-y）的值，利用（①+②）+3可求出（x+y）的值，從而

可得答案.

【解答】解:fx+y=7%

卜+2y=8@

①+②得：3x+3y=15,

***x+y=5,

①-②得：x-y=-1,

:.（x+y）（x-y）=5X（-1）=-5,

故選：B.

6.（3分）已知：關于x的一元二次方程？-（R+r）x+$/2=0無實數根，其中R,r分別

是001,。02的半徑，d為此兩圓的圓心距，則。。1,。02的位置關系為（）

A.外離B.相切C.相交D.內含

【考點】圓與圓的位置關系；根的判別式.

【分析】解答本題，先要根據題意得出根的判別式，然后再針對兩圓位置關系與圓心距

以兩圓半徑R,/?的數量關系間的聯系，得出具體位置關系.

【解答】解：根據題意，方程無實數根，可得（R+r）2-/<o,

則：（R+/S-J）（R+r-d）<0,

因為R+^d>0,所以R+r-dVO,

即：d>R+r,

那么，兩圓外離.

故選：A.

7.（3分）如圖所示，在梯形A8C。中，AB//CD,ZABC^a,ZBAD=^,則AO：BC等

于（）

sin(3sin/?

C.D.

cosasina

【考點】解直角三角形；梯形.

【分析】分別過點D和點C作DE1AB交AB于點E,CF±AB交A8于點F,根據

sina=蓋，sin0=有，將兩者相比即可求出結果.

【解答】解：過點。和點。作交A8于點E,C凡LA8交A8于點F.

\'AB//CDf

：.DE=CF.

np

在RtAWE中,sinp=~

在RtZ\8C/中，sina=能.

,,ADsina

故一=----.

BCsinp

故選：B.

D

8.（3分）如圖，已知點。是等邊4ABC三條高的交點，現將△AOB繞點0至少要旋轉幾

度后與△BOC重合（）

A.60°B.120°C.240°D.360°

【考點】旋轉的性質；等邊三角形的性質.

【分析】先根據等邊三角形的性質得出/408=/46^=/8。7=120°,再根據旋轉的

性質得出△AOB繞點O旋轉后與△BOC重合至少要旋轉的度數.

【解答】解：??,點。是等邊4ABC三條高的交點，

AZAOB=ZAOC=ZBOC=\20°,

由旋轉的性質得出△AOB繞點。逆時針至少旋轉120度后與△BOC重合.

故選：B.

9.（3分）如圖是邊長為2的正方形及其內切圓和外接圓，則圖中陰影部分的總面積為（）

A.3n-4B.n+4C.5TT-4D.3n+4

【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算；正方形的性質；三角形的內切圓與內心.

【分析】陰影部分的面積=大圓面積減去正方形面積+小圓面積.

【解答】解：陰影部分的面積=大圓面積減去正方形面積+小圓面積=TT（魚）2-4+7T-12

=3n-4,

故選：A.

10.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，在△A8C中，點。（-1,0）.點

A在x軸正半軸上，點B在第一象限內，NACB=30°,AC=AB=2^3,過點B作8。，

x軸于點。，AE平分NBA。交8。于點E,則點E的坐標()

【分析】由AB=AC可得/ABC=NAC8,則可求得NBA￡>=60°,利用余弦可求得A。

的長度，再由角平分線的定義可得NEA￡>=30°,利用正切即可求OE的長度，從而可點

E的坐標.

【解答】解：：AC=A8=2百，N4CB=30°,

：.ZABC=ZACB=30°,

NBAD=ZABC+ZACB=60°,

；8￡>，》軸于點￡>,

.,.cosZBAD=%，

???8S6。。=翡

解得：AD=V3,

平分/BAD,

：.ZEAD=30°,

np

???lanNE4O=弟，

即tan30°=胃,

解得：DE=l,

?.?點C(-1,0),

：.AO=AC-1=2V3-1,

OD=AO+AD=3V3-1,

...點E的坐標為:(3V3-1,1).

故選：B.

11.(3分)假設計算式""#〃+/'表示經過計算后a的值變?yōu)閍的原值和b的原值的和：又

llb#b-c"表示經過計算后b的值變?yōu)閎的原值和c的原值的乘積.假設計算開始時a=

0,b—1,c—1.對a,b,c同時進行以下計算:(1)a#a+b；(2)b#b,c；(3)dta+b+c(RP

c?的值變?yōu)樗玫降腶,6的值和c的原值的和).連續(xù)進行上述運算共三次，則計算結束

時小b,c三個數之和是()

A.1位數B.2位數C.3位數D.4位數

【考點】規(guī)律型：數字的變化類.

【分析】讀懂上述運算，理解新運算的規(guī)則，按照新規(guī)則對八Ac,同時進行連續(xù)三次運

算，最后求和確定答案.

【解答】解：對〃、方、c同時進行連續(xù)三次運算后的結果如下：

運算次數123

a125

b1324

c3837

經過三次運算后，a+b+c=5+24+37=66,它是一個兩位數.

故選：B.

12.(3分)關于x的方程n/+bx+c=0有兩個不相等的實根,X2,若X2=2XI,則4b-3ac

的最大值是()

A.1B.2C.4D.6

【考點】根與系數的關系：根的判別式.

【分析】根據根與系數的關系得出xi+%2=-,,x\x2=由%2=2x1得出3x1=即

內=-急可解出處由兩根之積可得ac=款，代入代數式即可得到46-3碇=一|(6

-3)，6,從而求得-3ac的最大值是6.

【解答】解：??,關于X的方程。/+版+。=0有兩個不相等的實根處、X2,

.bc

..X\+X2=——a,X\X2=一a，

?X2=2XI，

???3x1=4即內=一品

.2b

,?X2=一打

.c2b2

，，Q-9a2，

.*?ac=電2，

-3ac=4b-3x|/=4b—|/=-|（fe-3）2+6,

2

???一尸，

：.4b-3ac的最大值是6,

故選：D.

二.填空題（共6小題，滿分15分）

13.（3分）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、8。相交于點。，B￡>=8,tan/A8n=],

q

【考點】菱形的性質；解直角三角形.

【分析】由菱形的性質得8O=OO=；8O=4,ACJ_B￡>,再由銳角三角函數定義求出。4=

*08=3,然后由勾股定理求出A8的長即可.

【解答】解：???四邊形A8C。為菱形，BD=8,

1

：.B0=0D=^BD=4,AC±BDf

：.ZAOB=90°,

nA0

VtanZAB￡>=gg=J,

：.0A=]0B=3,

在RtZVIBC中，AO=3,0B=4,

：.AB=yJOA2+OB2=V32+42=5,

故答案為：5.

XXo

14.（3分）關于x的方程「■+（―7）2=2,方程的所有的所有實根的和為—

x+1x+1----3—

【考點】換元法解分式方程.

【分析】可根據方程特點設則原方程可化為y+V=2.解一元二次方程求y,再

求X.

【解答】解：設y=5p則原方程可化為y+y2=2.解得yi=l,yi=-2,

x

當yi=l時，---=1,無解；

%+1

X7?

當”=-2時，---=-2,x=-經檢驗工=-個是原方程的解.

X+1§3

故答案為-亨.

15.（3分）已知實數a,8滿足a2+2”=〃+2,■+26=4+2,則代數式：+2的值等于2或

ba

7.

【考點】根與系數的關系：分式的化簡求值.

【分析】分兩種情況：（1）當時；（2）當aWb時，聯立方程組，運用加減消元法

并結合完全平方公式，求得次+房和油的值，然后將原式通分化簡，代入求解.

ab

【解答】解：（1）當。=/?時，—+-=1+1=2；

ba

（2）當aHb時,聯立方程組+織，

卜2+2b=Q+2②

將①+②得：〃2+廬+2〃+2/?=/?+。+4,

整理得：a2+b2+a+b=4@,

將①-②得：/-廿+2。-2b—b-a9

整理得：a'-廿+3〃-38=0,

（〃+。）（a-b）+3（a-b）=0,

（a-b）（〃+b+3）=0,

又?：aWb,

.?.q+b+3=0,即a+b=-3④,

將④代入③，得a2+h2-3=4,即a2+h2=7,

又：Ca+b)2=J+2"+必=%

ab=\,

aba2+b27

?,?一+-=------=-=7.

baab1

綜上所述，代數式2+2的值等于2或7.

ba

故答案為：2或7.

16.閱讀材料：如果兩個正數〃、h,即〃>0,b>0,則有下面的不等式等2"k當且

僅當〃=人時取到等號.我們把等叫做正數人6算術平均數，把而叫做正數。、匕的

幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于(即大于或等于)

它們的幾何平均數.它在數學中有廣泛的應用，是解決最大(小)值問題的有力工具.根

據上述材料，若y=3x+，(x>0),則y最小值為_6>/2_.

【考點】因式分解的應用；不等式的定義.

【分析】依據題意，讀懂題目然后由公式可以得。+匕-2病，從而y》2m=6立，進而

可以得解.

【解答】解：由題意，V—>\[ab,

.,.〃+/?22

Vx>0,

6

/.3x>0,—>0,

x

...y=3x+《22J3x-|=2^=672.

故答案為：6V2.

17.(3分)若/為實數，/-4x+「2=0的兩個非負實數根為“，b,則代數式(?2-1)(^2

-1)的最小值-15

【考點】根與系數的關系.

【分析】先根據根與系數的關系可得。+匕=4,ab=t-2,將所求代數式化簡代入可得結

論.

【解答】解：???/-4"-2=0的兩個非負實數根為〃，b,

.\a+h=4fah=t-2,△=16-4(r-2)20.

<6-^-2)>0>解得:20<6,

.?.a2+Z>2=(a+6)2-2"=42-2(r-2)=-2r+20,

(a2-1)(/?2-1)—c^b2-(a2+/?2)+1=(r-2)2+2r-20+1=P-2r-15—(r-1)2

-16,

；2WfW6,

...當t=2時,代數式(a2-1)(ft2-1)有最小值，

二代數式(a2-1)(b2-1)的最小值是1-16=-15,

故答案為：-15.

1

18.(3分)已知一次函數yi=[X+根與二次函數丫2=/-5%+4,若滿足yi>0且y2Vo

時的自變量X的取值范圍內有且只有一個整數，則根的取值范圍是一|v%W-l.

【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數的性質；二次函數的性質.

【分析】令"=0可求出二次函數圖象與x軸的交點坐標，進而可得出滿足”<0時自變

量x的取值范圍，結合滿足yi>0且y2<0時的自變量x的取值范圍內有且只有一個整

數，即可得出關于，"的一元一次不等式組，解之即可得出結論.

【解答]解：令*=0,即/-5x+4=0,

解得：Xl=l,X2=4,

???滿足y2<0時自變量x的取值范圍為1VxV4.

??,滿足VI>0且V2<0時的自變量x的取值范圍內有且只有一個整數，

3

_2VmW_1.

三.解答題（共8小題，滿分66分）

19.（6分）【閱讀材料】：善于思考的小明在解方程組=時，采用了一種“整

（4%4-lly=5（2）

體代換”的解法：解：將方程（2）變形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5（3）,把方

程⑴代入⑶得：2X3+y=5,所以y=-1,將y=-1代入（1）得x=4,所以原方

程組的解為［1）］.

【解決問題】：

（1）模仿小明的“整體代換”法解方程組=：o；

（2）已知X,y滿足方程組｛；：；；；"；?；：5°，求7+4尸的值.

【考點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組.

【分析】（1）將方程②化為3x+2（3x-2y）=19,再將方程①代入可求出x的值，進而

求出方程組的解即可；

（2）將方程②義2,再與方程①相加后化簡即可.

【解答】解：（1）-2y=5父，

由②可得，3犬+2（3x-2y）=19③，

將①代入③得，3x+10=19,

解得x=3f

把x=3代入①得，9-2y=5,

解得，y=2,

所以原方程組的解為

22

⑵（3x-2xy+12y=50@；

（x2+xy+4y2=25②

②X2得，2?+2A>'+8y2=50@,

①+③得，5/+2Oy2=ioo,

所以%2+4y2=20.

20.（8分）2022年的冬天，越來越多的游客選擇到山西九龍山滑雪場來放松一下自己，體

驗一下藍藍的天空，皚皚白雪的浪漫，重溫一下兒時的激情和與大自然抗爭的成就感，

更能領略一下冬天滑雪的魅力.圖1,圖2分別是一名滑雪愛好者在滑雪過程中某一時刻

的實景圖與示意圖，此時運動員的小腿ED與斜坡A8垂直，大腿EF與斜坡AB平行，

G為頭部，且G,E,。三點共線.若滑雪杖EM長為1如EF=OAm,ZEMD=30Q,

ZGFE=62°,求此時滑雪愛好者頭部G到斜坡AB的距離.（精確到0.1”）（參考數據：

sin62°-0.88,cos62°七0.47,tan62°?1.88）

G

圖1圖2

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【分析】連接GE,貝I」GD=GE+ED,解直角△GEF,求出GE=E「tan62°弋

0.752m,解直角求出ED=±EM=0.5m,代入G￡>=GE+E￡>,計算即可.

【解答】解：如圖，連接GE',

"：DE±ABS.EF//AB,

：.EFLGD,

貝ijGE±EF,GD=GE+ED,

在直角△GEF中，

,：ZGEF=90Q,NGFE=62°,EF^OAm,

：.GE=￡Ftan62°40.752m,

在直角中，

:NEDM=90°,ZEMD=30°,EM=lm,

1

：.ED=^EM=0.5m,

；?GD=GE+EDM.3m.

答：此刻滑雪者頭部G到斜坡AB的距離約為13%.

G

M

D

A

21.（8分）青島方特夢幻王國位于美麗的山東省青島市紅島海濱，由深圳華強集團投資興

建.火流星是其經典項目之一.如圖所示，F-為火流星過山車的一部分軌道，它

可以看成一段拋物線.其中0E=等米，0F=玲米（軌道厚度忽略不計）.

（1）求拋物線FfE—G的函數關系式;

（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當過山車運動到G處時，平行于地面

向前運動了7米至K點，又進入下坡段K-4（K接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋物

線K-H-Q的形狀與拋物線P-E-G完全相同，在G到。的運動過程中，求0”的距

離；

（3）現需要在軌道下坡段F-E進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架4M、

CM、BN、DN,且要求0A=A8.已知這種材料的價格是80000元/米，如何設計支架，

會使造價最低？最低造價為多少元?

【考點】二次函數的應用.

【分析】（1）用待定系數法求函數解析式即可;

（2）先求出P,G坐標，再求出PG長度，通過拋物線Kf4一。的形狀與拋物線PfE

-G完全相同，平移長度為PG+GK,可得拋物線K一〃一。解析式，可得結論；

（3）先設出4,8橫坐標，再代入解析式，分別求出M,N的縱坐標，然后求出AM,

CM,BN,￡W之和的最小值，從而求出最低造價.

【解答】解：（1）由圖象可設拋物線解析式為y=“（尤一第）2,

把尸（0,于）代入，得：

16

125259

----a（0--Q-）2,

168

解得：?=

?,?拋物線?jG的函數關系式為尸卷*等)2；

（2）當y=5時，5=[（x—等）2

解得：R二|，X2=等

545

：.P（一，5）,G（―,5）,

88

45540

I.PG=T-8=-8-=5,

:拋物線—Q的形狀與拋物線尸一EfG完全相同，

二拋物線K-4一Q由拋物線P-E-G向右平移(PG+GK)個單位,

二拋物線Kf"f。為(x-等一5-竽)2=1(x-10)2,

令y=0,則x=10,

.?.OH=10；

(3)設O4=4B=a,A(a,0),B(2a,0),

4,25、242—125

)”耳(。一石)=鏟--5a+記’

4/c25、2162125

yjv=耳(2a—g-)=-1in0。+不彳，

：?l=AM+CM+BN+DN

4,125,16s1251c

=耳2一~~—I—g-Q2”-10。++2。

42sli25

=4Q--12〃+-3-

o

_z3、2?53

=44（a-2）

V4>0,

...開口向上，

n53

.??當4=5時，/最短，最短為

28

80000X=530000（元），

當OA=AB=|時，造價最低，最低造價為530000元.

22.（8分）解方程：V%2—7%4-10—V%2+%—6=x-2.

【考點】無理方程.

【分析】首先分別設立2一7%+10=/t/+x—6=〃；將上述兩式平方后相減，得

至ljM-『=x-2；化簡后得入=七盧，代入上式并整理得到：3X2-8X-60=0,解該方程

即可解決問題.

［解答］解：設—7%+10=九y/x2+X—6=〃，

則入之-仔=-8x+16?；入-口=元-2②；

當x-2#0時，由①+②得：入+|1=-8③，

由②+③得：2A=x-10,人=土/，

?

.(%-10)Z

.?x2—7x+10=--彳，

整理得：3/-8%-60=0,

解得：Xl=6,X2=一學，

經檢驗：xi=6,%2=-當均是原方程的增根，

當x=2時，經檢驗x=2是方程的根，

Ax-2.

23.(8分)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，。是衣的中點，E為。。延長線上

一點，且NC4E=2NC,AC與B。交于點”，與。E交于點尸.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若。。的半徑10,tanC=*,求線段ZW的長.

【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；垂徑定

理；圓周角定理；切線的判定與性質.

【分析】(1)由垂徑定理得出OO-L4C,進而得出NMO+NAOF=90°,由圓周角定理

結合已知條件得出NAOF=NC4E,得出/以O+/C4E=90°,即NOAE=90°,即可

證明AE是。0的切線；

(2)連接AD,利用解直角三角形得出tanB=錯=,，設4O=3x,則BD=4x,AB=5x,

由。。的半徑10,得出AB=5x=20,求出x=4,求出AC=12,BD=\f>,繼而證明^

ADH^/XBDA,利用相似三角形的性質即可求出OH的長.

【解答】（1）證明：如圖1,

圖1

是祀的中點，

：.ODYAC,

：.ZAFO=90°,

AZFAO+ZAOF=90°,

VZAOF=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZAOF^ZCAE,

NMO+NC4E=90°,即NO4E=90°,

VOA是半徑，

???AE是。。的切線；

(2)解：如圖2,連接A。，

圖2

3

VZC=ZJB,tanC=

3

tanB=tanC=彳，

VAB是直徑，

AZADB=90°,

.AD3

..tanBB=麗=4,

設AQ=3x,則B￡>=4x,AB=5x,

：。。的半徑10,

：.AB=5x^20,

.*.x=4,

???AO=3X4=12,50=4X4=16,

???￡)是尼的中點，

：.AD=CD=12f

：.ZDAC=ZC,

*：/B=4C,

：.ZDAC=ZBf

*.?NADH=NBDA

???XADHs/\BDA,

ADBD「1216

/.---=---，即---=—，

DHADDH12

：.DH=9.

24.(8分)二次函數的圖象與x軸交于點A(xi,0),B(x2,0)且xiWx2.

(1)當xi=2,且b+c=-6時，

①求。，。的值；

②當，《+2時，二次函數y=W+"+c的最小值為23求/的值；

3

(2)右XI=3X2,求證：-b—cW3.

2

【考點】二次函數綜合題.

【分析】⑴①當xi=2,則拋物線過點A(2,0),且6+c=-6,于是得已匯；「6c，

解方程組求得Ac的值分別為2、-8；

②由y=/+2x-8=(x+1)2-9,得該拋物線的頂點為(-1,-9),再分三種情況討論，

一是1+2W-1,即rW-3,則當x=f+2時，y最小=2f,于是得(f+2+l)2-9=2/；二是f

<-1<f+2,即-3</<-1,則當x=-1時，ya小=2f,于是得(-1+1)~-9=2/；三

是彥-1,則當x=f時，y最小=2/,于是得(什1)2-9=2/,解方程求出相應的符合題意

的f值即可；

（2）由11=3x2,且X1W%2,可證明X2W0,由一元二次方程根與系數的關系得Xl+X2=-

b,貝3x2+x2=-6,所以12=—3,貝!1（一，）2+〃?（-%）+c=0,可求得。=/貝I」

p-c=”一磊廬=一磊（6-4）2+3<3.

【解答】（1）解：①當川=2,則拋物線>=/+勿;+0經過點A（2,0）,且b+c=-6,

?電港6解得『=2

（4+2b+c=0lc=-8

:.b、c的值分別為2、-8.

②?；y=x2+2x-8=（x+1）2-9,

???該拋物線的頂點為（-1,-9）,

若什2<-1,即W-3,如圖1,當x=f+2時，y山、=2/,

（f+2+l）2-9=2Z,

解得“=-4,或〃=0（不符合題意，舍去）；

若fV-l<f+2,即-3<y-l,如圖2,當x=-l時，y垃小=2f,

（-1+1）2-9=2f,

解得仁一3（不符合題意，舍去）；

若彥-1,如圖3,當x=r時，用小=2。

（r+1）2-9=26

解得力=2迎，f2=-2V2（不符合題意，舍去），

綜上所述：，=4或/=2/.

（2）證明：VXI=3x2,且X1#A2,

??3x2^X2f

"WO,

Vxi>X2是一元二次方程/+灰+。=0的兩個根，

.*.Xl+X2=-b,

3X2+X2=-b,

.1,

??X2=一聲

:.（一/）2+〃?（-3）+c=0,

c=

-b-c=一磊(f