統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題限時(shí)集訓(xùn)6直線與圓拋物線橢圓雙曲線理含解析

PAGE專題限時(shí)集訓(xùn)(六)直線與圓、拋物線橢圓、雙曲線1．(2024·全國卷Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2B．3C．6D．9C[法一：因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以可設(shè)點(diǎn)A(9，yA)，所以yeq\o\al(2,A)＝18p.又點(diǎn)A到焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離為12，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))\s\up7(2)＋y\o\al(2,A))＝12，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故選C．法二：依據(jù)拋物線的定義及題意得，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)的距離為12，因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以eq\f(p,2)＝12－9，解得p＝6.故選C．]2．(2024·全國卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[法一：由題意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故選A．法二：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up7(2))＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故選A．]3．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝()A．5B．6C．7D．8D[依據(jù)題意，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)．又F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up7(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up7(→))＝(3,4)，從而可以求得eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝0×3＋2×4＝8，故選D．]4．(2024·全國卷Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))A[若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n＞0，,3m2－n＞0.))又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋n＞0，,3－n＞0，))∴－1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,n－3m2)－eq\f(x2,－m2－n)＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－3m2＞0，,－m2－n＞0，))即n>3m2且n<－m2，此時(shí)5．(2024·全國卷Ⅱ)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)B[因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，點(diǎn)(2,1)在該圓上，所以可設(shè)該圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5)，所以圓心到直線2x－y－3＝0的距離為eq\f(|2×1－1－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)或eq\f(|2×5－5－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)，故選B．]6．(2013·全國卷Ⅰ)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2).∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2).∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝eq\f(b2,a2).而kAB＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2b2，∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3eq\r(2)，∴E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.]7．(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)A[設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，則c＝eq\r(a2＋b2).如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，∴eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即離心率e＝eq\r(2).故選A．]8．(2024·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r＝3eq\r(2)，最小距離是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故選A．]9．(2024·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2B．4C．6D．8B[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)．∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.]10．(2024·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)D[由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點(diǎn)P(2c，eq\r(3)c)．∵點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故選D．]11．(2024·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B[由題意設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，連接F1A(圖略)，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(2)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B．]12．(2024·全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16B．14C．12D．10A[法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直線l1的方程為y＝k1(x－1)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝k1x－1))，得keq\o\al(2,1)x2－2keq\o\al(2,1)x－4x＋keq\o\al(2,1)＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(－2k\o\al(2,1)－4,k\o\al(2,1))＝eq\f(2k\o\al(2,1)＋4,k\o\al(2,1))，同理，直線l2與拋物線的交點(diǎn)滿意x3＋x4＝eq\f(2k\o\al(2,2)＋4,k\o\al(2,2))，由拋物線定義可知|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝eq\f(2k\o\al(2,1)＋4,k\o\al(2,1))＋eq\f(2k\o\al(2,2)＋4,k\o\al(2,2))＋4＝eq\f(4,k\o\al(2,1))＋eq\f(4,k\o\al(2,2))＋8≥2eq\r(\f(16,k\o\al(2,1)k\o\al(2,2)))＋8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)k1＝－k2＝1(或－1)時(shí)，取等號(hào)．故選A．法二：設(shè)直線的傾斜角為α，則|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，則|DE|＝eq\f(2p,sin2α＋\f(π,2))＝eq\f(2p,cos2α)，所以|AB|＋|DE|＝eq\f(2p,cos2α)＋eq\f(2p,sin2α)＝4eq\f(1,cos2α)＋eq\f(1,sin2α)＝4eq\f(1,cos2α)＋eq\f(1,sin2α)(cos2α＋sin2α)＝42＋eq\f(sin2α,cos2α)＋eq\f(cos2α,sin2α)≥4×(2＋2)＝16.]13．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．(3，eq\r(15))[設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知M在以F1為圓心，焦距為半徑長的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以聯(lián)立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，eq\r(15))．]14．(2024·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，則C的離心率為________．2[如圖，由eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，得F1A＝AB．又OF1＝OF2，得OA是三角形F1F2B的中位線，即BF2∥OA，BF2＝2OA．由eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，得F1B⊥F2B，∴OA⊥F1A∴OB＝OF1，∠AOB＝∠AOF1，又OA與OB都是漸近線，∴∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，∴∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，又漸近線OB的斜率為eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，∴該雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))＝eq\r(1＋\r(3)2)＝2.]15．(2024·全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.2[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4x1－4x2，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB中點(diǎn)M′(x0，y0)，分別過點(diǎn)A，B作拋物線準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，設(shè)F為C的焦點(diǎn)．因?yàn)椤螦MB＝90°，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．因?yàn)镸′為AB中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸．因?yàn)镸(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2，即k＝2.]16．(2024·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.4[由直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0知其過定點(diǎn)(－3，eq\r(3))，圓心O到直線l的距離為d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1)).由|AB|＝2eq\r(3)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m－\r(3),\r(m2＋1))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(3))2＝12，解得m＝－eq\f(\r(3),3).又直線l的斜率為－m＝eq\f(\r(3),3)，所以直線l的傾斜角α＝eq\f(π,6).畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD，則∠DCE＝eq\f(π,6).在Rt△CDE中，可得|CD|＝eq\f(|AB|,cosα)＝2eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝4.]1．(2024·西城區(qū)一模)設(shè)A(2，－1)，B(4,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8A[弦長AB＝eq\r(4－22＋1＋12)＝2eq\r(2)，所以半徑為eq\r(2)，中點(diǎn)坐標(biāo)(3,0)，所以圓的方程(x－3)2＋y2＝2，故選A．]2．(2024·松江區(qū)模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)分別過點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，eq\f(\r(3),2)))，則該橢圓的焦距為()A．eq\r(3)B．2C．2eq\r(3)D．2eq\r(5)C[由題意可得a＝2，且eq\f(1,a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，解得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝4－1＝3，所以c＝eq\r(3)，所以焦距2c＝2eq\r(3)，故選C．]3．(2024·江岸區(qū)模擬)已知圓心為(1,0)，半徑為2的圓經(jīng)過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的三個(gè)頂點(diǎn)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B[由題意得，圓的方程為(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±eq\r(3)；令y＝0，可得x＝－1或3.由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上及橢圓的對(duì)稱性可得a＝3，b＝eq\r(3)，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1，故選B．]4．(2024·寶雞二模)已知圓C：x2＋y2－4x＝0與直線l切于點(diǎn)P(3，eq\r(3))，則直線l的方程為()A．3x－eq\r(3)y－6＝0 B．x－eq\r(3)y－6＝0C．x＋eq\r(3)y－4＝0 D．x＋eq\r(3)y－6＝0D[圓C：x2＋y2－4x＝0的圓心坐標(biāo)為(2,0)，所以直線PC的斜率為kPC＝eq\f(\r(3)－0,3－2)＝eq\r(3)，所以直線l的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線l的方程為y－eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－3)，即x＋eq\r(3)y－6＝0，故選D．]5．(2024·會(huì)寧縣模擬)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線6x－3y＋1＝0垂直，則該雙曲線的離心率為()A．2B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(10),2)D．2eq\r(3)B[∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線6x－3y＋1＝0垂直．∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，得4b2＝a2，c2－a2＝eq\f(1,4)a2.則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).故選B．]6．(2024·寶安區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝2，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為()A．3B．4C．5D．6D[橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中a＝5.如圖，可得OM是三角形PF1F2的中位線，∵|OM|＝2，∴|PF2|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝6，故選D．]7．(2024·吉林月考)阿基米德(公元前287年－公元前212年)不僅是聞名的物理學(xué)家，也是聞名的數(shù)學(xué)家，他利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為eq\f(\r(7),4)，面積為12π，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1D[由題意可得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，eq\f(12π,π)＝ab，因?yàn)閍2＝b2＋c2，解得a2＝16，b2＝9，又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，故選D．]8．(2024·煙臺(tái)期末)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過M的右焦點(diǎn)F(3,0)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，則橢圓M的方程為()A．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[直線AB的斜率k＝eq\f(1－0,2－3)＝－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程可得：eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，相減得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，由eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1，eq\f(x1＋x2,2)＝2，eq\f(y1＋y2,2)＝1，代入化簡得eq\f(2,a2)－eq\f(1,b2)＝0.又c＝3，a2＝b2＋c2，聯(lián)立解得a2＝18，b2＝9.∴橢圓M的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.故選D．]9．(2024·呂梁一模)直線l：mx－y＋1－4m＝0(m∈R)與圓C：x2＋(y－1)2＝25交于P，Q兩點(diǎn)，則弦長|PQA．[6,10]B．[6,10)C．(6,10]D．(6,10)C[圓C：x2＋(y－1)2＝25的圓心C(0,1)，半徑r＝5，直線l：mx－y＋1－4m＝0?m(x－4)－y＋1＝0過定點(diǎn)M(4,1)，并在圓C內(nèi)，∴|PQ|最長為直徑，PQ最短時(shí)，點(diǎn)M(4,1)為弦PQ的中點(diǎn)，即CM⊥PQ時(shí)，算得|PQ|＝2eq\r(52－42)＝6，但此時(shí)直線斜率不存在，∴取不到6，即|PQ|的范圍是(6,10]．故選C．]10．(2024·青島模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P是準(zhǔn)線l上的一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若eq\o(FP,\s\up7(→))＝3eq\o(FQ,\s\up7(→))，|QF|＝eq\f(4,3)，則p的取值為()A．eq\f(7,2)B．eq\f(5,2)C．3D．2D[由已知得焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線l：x＝－eq\f(p,2)，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，y0))，Q(x1，y1)，∵eq\o(FP,\s\up7(→))＝3eq\o(FQ,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)－\f(p,2)，y0))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(p,2)，y1))，即x1＝eq\f(p,6)，∴|QF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)p＝eq\f(4,3)，即p＝2，故選D．]11.(2024·梅河口模擬)如圖，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與雙曲線C左，右兩支分別交于點(diǎn)B，A，若△ABF1為正三角形，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\r(6)xD[設(shè)AB＝BF1＝AF1＝m，依據(jù)雙曲線的定義可知：BF2－BF1＝2a，即m＋AF2－m＝AF2＝2且AF1－AF2＝2a，即m－2a＝2a，所以m＝4a，則BF2＝6a，在△BF1F2中，cos∠F1BF2＝eq\f(BF\o\al(2,2)＋BF\o\al(2,1)－F1F\o\al(2,2),2BF1·BF2)＝eq\f(36a2＋16a2－4c2,2·4a·6a)＝eq\f(1,2)，整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a則b＝eq\r(6)a，所以漸近線方程為y＝±eq\r(6)x，故選D．]12．(2024·濰坊模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)M(3,2eq\r(3))的直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF|∶|NM|等于()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶eq\r(3)C[拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以kFM＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\r(3)x－1，))可得3x2－10x＋3＝0，所以x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|FN|,|MN|)＝eq\f(x2＋\f(p,2),x1＋x2＋p)＝eq\f(\f(1,3)＋1,3＋\f(1,3)＋2)＝eq\f(1,4).故選C．]13.(2024·長沙模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))，則eq\f(3,e1)＋eq\f(e2,3)的最小值為()A．6＋2eq\r(3)B．6＋2eq\r(2)C．8D．6C[設(shè)橢圓的長半軸長為a，雙曲線的半實(shí)軸長為a′，半焦距為c，則e1＝eq\f(c,a)，e2＝eq\f(c,a′)，設(shè)|PF2|＝m，由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：|PF1|＋|PF2|＝2a?a＝eq\f(m,2)＋c，|PF2|－|PF1|＝2a′?a′＝eq\f(m,2)－c，則eq\f(3,e1)＋eq\f(e2,3)＝eq\f(3a,c)＋eq\f(c,3a′)＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(m,2))),c)＋eq\f(c,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)))＝6＋eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)),c)＋eq\f(c,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)))≥6＋2eq\r(\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)),c)·\f(c,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c))))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(7,3)c時(shí)，取等號(hào)，故選C．]14．(2024·湛江模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于C，△ACF的面積為8eq\r(2)，則|AB|＝()A．6B．9C．9eq\r(2)D．6eq\r(2)B[由拋物線的方程可得焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由題意可得，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線與拋物線聯(lián)立可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))整理可得y2－2mpy－p2＝0，∴y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2，因?yàn)閑q\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－x1，－y1))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))，所以y1＝－2y2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＝2mp，,－2y\o\al(2,2)＝－p2，))可得eq\f(1,2)＝eq\f(4m2,1)，所以|m|＝eq\f(1,2\r(2))，所以|y2|＝eq\f(2p,2\r(2))＝eq\f(\r(2)p,2)，|y1|＝2|y2|＝eq\r(2)p，所以S△CFA＝eq\f(1,2)|CF|·|y1|＝eq\f(1,2)p·eq\r(2)p＝8eq\r(2)，解得p＝4，所以拋物線的方程為y2＝8x，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝m(y1＋y2)＋2p＝2m2p＋2p＝2×eq\f(1,8)×4＋8＝9，故選B．]15．(2024·贛州模擬)已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為()A．2B．3C．4D．5B[設(shè)拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標(biāo)為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，依據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的學(xué)問可知，當(dāng)C，M，E在一條直線上時(shí)，此時(shí)CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為CE＝2－(－1)＝3，故選B．]16．(2024·赤峰模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2＋9)＋eq\f(y2,a2)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn)，若對(duì)橢圓C上的隨意一點(diǎn)P，都有eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－3,0)∪(0,3)B．[－3,0)∪(0,3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C[橢圓上的點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，∠F1PF2最大時(shí)點(diǎn)P為短軸上的頂點(diǎn)，要使eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＞0恒成立，則∠F1PF2為銳角，即∠F1PO＜45°，即tan∠F1PO＝eq\f(c,b)＜1，所以c2＜b2，而c2＝a2－b2＝a2＋9－a2＝9，所以9＜a2，解得a＞3或a＜－3，故選C．]17．(2024·洛陽模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(2，eq\r(3))在雙曲線上，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為()A．x2－y2＝1 B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1A[設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－c,0)，(c,0)，因?yàn)閨PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，所以2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|＝4c，又點(diǎn)P(2，eq\r(3))在雙曲線的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a解得|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2＋c2＋\r(3)2)＝2c＋a，,\r(2－c2＋\r(3)2)＝2c－a，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋c2＋\r(3)2＝4c2＋4ac＋a2，①,2－c2＋\r(3)2＝4c2－4ac＋a2，②))，①－②得：8c＝8ac，所以又點(diǎn)P(2，eq\r(3))在雙曲線上，所以eq\f(22,a2)－eq\f(\r(3)2,b2)＝1，將a＝1代入，解得b2＝1，所以所求雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選A．]18．(2024·衡水模擬)設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，則|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝()A．9B．6C．4D．3B[拋物線y2＝4x焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0)，準(zhǔn)線方程：x＝－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，點(diǎn)F是△ABC重心，則eq\f(x1＋x2＋x3,3)＝1，∴x1＋x2＋x3＝3.由拋物線的定義可知：|FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6，∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝6，故選B．]19．(2024·安慶二模)直線l是拋物線x2＝2y在點(diǎn)(－2,2)處的切線，點(diǎn)P是圓x2－4x＋y2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值等于()A．0B．eq\f(6\r(5),5)C．eq\f(6\r(5),5)－2D．eq\f(6,5)C[拋物線x2＝2y，即y＝eq\f(x2,2)，y′＝x，在點(diǎn)(－2,2)處的切線斜率為－2，則切線l的方程為y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0，所以圓心(2,0)到l的距離是eq\f(6,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5)，圓的半徑為2，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是eq\f(6\r(5),5)－2，故選C．]20．(2024·深圳二模)已知拋物線y2＝8x，過點(diǎn)A(2,0)作傾斜角為eq\f(π,3)的直線l，若l與拋物線交于B、C兩點(diǎn)，弦BC的中垂線交x軸于點(diǎn)P，則線段AP的長為()A．eq\f(16,3)B．eq\f(8,3)C．eq\f(16\r(3),3)D．8eq\r(3)A[由題意，直線l方程為y＝eq\r(3)(x－2)，代入拋物線y2＝8x整理得3x2－12x＋12＝8x，∴3x2－20x＋12＝0，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(20,3)，∴弦BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(4\r(3),3)))，∴弦BC的中垂線的方程為y－eq\f(4\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(10,3)))，令y＝0，可得x＝eq\f(22,3)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)，0))，∵A(2,0)，∴|AP|＝eq\f(16,3).故選A．]21．(2024·濟(jì)寧模擬)已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，記M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－y2))2，則()A．M的最小值為eq\f(2,5) B．M的最小值為eq\f(4,5)C．M的最小值為eq\f(8,5) D．M的最小值為eq\f(12,5)B[由題意，M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝lnx－x＋2圖象上的點(diǎn)與直線x＋2y－4－2ln2＝0上的點(diǎn)的距離的最小值的平方，由y＝lnx－x＋2，得y′＝eq\f(1,x)－1，與直線x＋2y－4－2ln2＝0平行的直線斜率為－eq\f(1,2)，令eq\f(1,x)－1＝－eq\f(1,2)，解得x＝2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，ln2)，切點(diǎn)到直線x＋2y－4－2ln2＝0的距離d＝eq\f(|2＋2ln2－4－2ln2|,\r(1＋4))＝eq\f(2\r(5),5)，即M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為eq\f(4,5)，故選B．]22．(2024·泉州模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2c，F(xiàn)1，F(xiàn)2是E的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是圓(x－c)2＋y2＝4c2與E的一個(gè)公共點(diǎn)．若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為________．eq\r(2)－1[依題意可得|F1F2|＝|PF2|＝2c，又因?yàn)椤鱌F1F2為直角三角形，所以∠PF2F1＝90°，故|PF1|＝eq\r(2)·|F1F2|，eq\r(2)·2c＋2c＝2a，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，所以e＝eq\r(2)－1.]23．(2024·淮安模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為4eq\r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為________．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1[設(shè)橢圓C的焦距為2c(c＞0)，如圖所示，由于△F2AB是面積為4eq\r(3)的等邊三角形，則eq\f(1,2)|AB|2×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝4eq\r(3)，得|AB|＝4，即△F2AB是邊長為4的等邊三角形，該三角形的周長為12＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，解得a＝3，由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，則∠AF2F1＝eq\f(π,6)且AB⊥x軸，所以|AF2|＝2|AF1|＝4，∴|AF1|＝2，∴2c＝|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3)，則b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(6)，因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.]24．[一題兩空](2024·臨沂模擬)已知圓心在直線x－3y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，且截x軸所得的弦長為4eq\r(2)，則圓C的方程為________，則點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，5))到圓C上動(dòng)點(diǎn)Q的距離最大值為________．(x－3)2＋(y－1)2＝98[設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3b＝0，,a＝r，,b2＋8＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，,r＝3，))所以圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9，設(shè)點(diǎn)P(6,5)到圓心C(3,1)的距離為d＝eq\r(6－32＋5－12)＝5，則點(diǎn)P(6,5)到圓C上動(dòng)點(diǎn)Q的距離最大值為d＋r＝5＋3＝8.]25．(2024·洛陽模擬)已知雙曲線C：eq\f(4,3)x2－4y2＝1的左焦點(diǎn)恰好在拋物線D：y2＝2px(p≠0)的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P(1,2)作兩直線PA，PB分別與拋物線D交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，則點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之和為________．－4[由題意知，雙曲線C的左焦點(diǎn)F(－1,0)，拋物線D的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)，由左焦點(diǎn)F(－1,0)在準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)上，故p＝2，則拋物線方程為y2＝4x.設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，則kPA＋kPB＝0?eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝0?eq\f(4,y1＋2)＋eq\f(4,y2＋2)＝0?y1＋y2＝－4.]26.(2024·平谷區(qū)一模)設(shè)直線l過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，且與圓C：x2＋y2－2y＝0相切于點(diǎn)B，那么eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝________.3[由圓C：x2＋y2－2y＝0配方為x2＋(y－1)2＝1，C(0,1)，半徑r＝1.∵過點(diǎn)A(0，－1)的直線l與圓C：x2＋y2－2y＝0相切于點(diǎn)B，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＝eq\o(AC,\s\up7(→))2－r2＝3.]27．(2024·衡水模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)(1，－2)，經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，A在x軸的上方，Q(－1,0)．若以QF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，則|AF|－|BF|＝________.4[依題意，將(1，－2)代入拋物線的方程中，可得y2＝4x，則F(1,0)，如圖，設(shè)直線l的傾斜角為α，則|AF|＝|AF|cosα＋|QF|＝|AF|cosα＋2，∴|AF|＝eq\f(2,1－cosα)，同理|BF|＝eq\f(2,1＋cosα)，∴|AF|－|BF|＝eq\f(2,1－cosα)－eq\f(2,1＋cosα)＝eq\f(4cosα,1－cos2α)，∵以QF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，∴BQ⊥BF,∴|BF|＝eq\f(2,1＋cosα)＝2cosα，即cosα＝1－cos2α，∴|AF|－|BF|＝eq\f(4cosα,cosα)＝4.]1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的距離是eq\f(\r(3),2)，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3C[拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)(1,0)到雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線bx－ay＝0的距離是eq\f(\r(3),2)，可得eq\f(b,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)，可得b2＝3a2，所以c2＝4a2，因?yàn)閑＞1，所以雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝2，故選C．]2．已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的方程不行能為()A．eq\f(x2,15)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,15)＝1C．eq\f(y2,3)－eq\f(x2,12)＝1 D．eq\f(y2,21)－eq\f(x2,7)＝1C[依題意，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x或y＝±eq\r(3)x，視察選項(xiàng)可知，雙曲線的方程不行能為eq\f(y2,3)－eq\f(x2,12)＝1.故選C．]3．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為θ，且cosθ＝eq\f(\r(5),5)，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(5)B．eq\f(\r(5),2)C．2D．4A[設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為c，由題意θ∈[0，π)，又cosθ＝eq\f(\r(5),5)，則sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，tanθ＝2，eq\f(b,a)＝2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up7(2))＝eq\r(5)，故選A．]4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，傾斜角為eq\f(π,6)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2eq\r(3)，則p的值為()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．4C[由題意設(shè)直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋t，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\f(\r(3),3)x＋t，))得eq\r(3)y2－6py＋6pt＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2eq\r(3)，則y1＋y2＝eq\f(6p,\r(3))，∴eq\f(6p,\r(3))＝4eq\r(3)，∴p＝2.故選C．]5．已知P為圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋y2＝1上隨意一點(diǎn)，A，B為直線l：3x＋4y－7＝0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝3，則△PAB面積的最大值為()A．9B．eq\f(9,2)C．3D．eq\f(3,2)B[由題意知圓(x＋1)2＋y2＝1的圓心為(－1,0)，半徑為1，則圓心到直線的距離為eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝eq\f(|－3－7|,5)＝2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為2＋1＝3，所以S△PAB的最大值為eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，故選B．]6．圓x2＋y2＝4被直線y＝eq\r(3)x＋2截得的劣弧所對(duì)的圓心角的大小為()A．30°B．60°C．90°D．120°D[由題意，設(shè)直線y＝eq\r(3)x＋2與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，則OM⊥AB，如圖所示，由圓x2＋y2＝4的圓心坐標(biāo)為O(0,0)，半徑為r＝2，得圓心O到直線y＝eq\r(3)x＋2的距離為d＝eq\f(|2|,\r(\r(3)2＋12))＝1，在直角△AOM中，cos∠AOM＝eq\f(OM,OA)＝eq\f(1,2)，所以∠AOM＝60°，所以∠AOB＝120°，即截得的劣弧所對(duì)的圓心角的大小為120°，故選D．]7．圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，則eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)的最小值是()A．2eq\r(3)B．eq\f(32,3)C．eq\f(20,3)D．eq\f(16,3)B[由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0，得圓心坐標(biāo)為(－2,6)，又圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0對(duì)稱，∴－2a－6b＝－6，即a＋3b＝3，得eq\f(a,3)＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(6,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)＋b))＝eq\f(20,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥eq\f(20,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝eq\f(32,3).當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)上式等號(hào)成立．∴eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)的最小值是eq\f(32,3).故選B．]8.如圖所示，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，滿意∠AFB＝120°，且|BF|＝2|AF|，則雙曲線C的離心率是()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(7),2)C．eq\r(3)D．eq\r(7)C[連接AF′，BF′，由條件可得|BF|－|AF|＝|AF′|－|AF|＝|AF|＝2a，則|AF|＝2a，|BF|＝4a，∠F′所以F′F2＝AF2＋BF2－2AF·BFcos60°，可得4c2＝4a2＋16a2－16a2×eq\f(1,2)即4c2＝12a2，所以雙曲線的離心率為e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(3).故選C．]9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>eq\r(3)a>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為eq\r(3)的直線過點(diǎn)F2且交C于A，B兩點(diǎn)．若|BF2|＝2|F1F2|，則C的離心率為()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(2＋\r(7),3)C．2＋eq\r(5)D．2＋eq\r(3)D[∵b＞eq\r(3)a＞0，∴eq\f(b,a)＞eq\r(3).可得過點(diǎn)F2斜率為eq\r(3)的直線C交于A，B兩點(diǎn)，A，B在異支，∵|BF2|＝2|F1F2∴|BF1|＝4c－2在△BF1F2中，由余弦定理可得：(4c－2a)2＝4c2＋16c2－2×2c×4c×eq\?c2－4ac＋a2?e2－4e＋1＝0，∵e＞1，∴e＝2＋eq\r(3)，故選D．]10．過拋物線x2＝12y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，則|BC|＝()A．4B．4eq\r(3)C．6D．8D[作BM⊥CP，AN⊥CP，BH⊥AN，如圖，因?yàn)閑q\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，不妨設(shè)BF＝x，所以AF＝3BF＝3x，AB＝4x，依據(jù)拋物線的定義可得，BM＝BF＝HN＝x，AN＝AF＝3x，F(xiàn)P＝p＝6，則AH＝AN－HN＝3x－x＝2x，所以sin∠ABH＝sin∠ACN＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(1,2)，則CF＝12，CB＝2x，則CF＝CB＋BF＝3x＝12，所以x＝4，則BC＝2x＝8，故選D．]11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，位于第一象限上的點(diǎn)P(x0，y0)是雙曲線C上的一點(diǎn)，滿意eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是y0∈eq\f(2,3)c，eq\f(4,5)c，則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A．(eq\r(2)，2) B．(2,4)C．(3,5) D．(eq\r(3)，eq\r(5))D[由eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，可得xeq\o\al(2,0)－c2＋yeq\o\al(2,0)＝0，又eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b4,c2)，由于y0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c，\f(4,5)c))，所以eq\f(2,3)＜eq\f(b2,c2)＜eq\f(4,5)，eq\f(2,3)＜1－eq\f(1,e2)＜eq\f(4,5)，eq\f(1,5)＜eq\f(1,e2)＜eq\f(1,3)，因?yàn)閑＞1，所以eq\r(3)＜e＜eq\r(5).故選D．]12．已知圓C：(x－2)2＋y2＝1與直線l：y＝eq\r(3)x，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)A，使得∠CPA＝eq\f(π,6)，則|PC|的最大值為()A．2eq\r(3)B．4C．2D．4eq\r(3)C[圓C：(x－2)2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為C(2,0)，半徑為1，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2\r(3)－0|,2)＝eq\r(3)＞1，可知直線與圓相離，由正弦定理可得三角形PAC的外接圓的直徑2R＝eq\f(|AC|,sin\f(π,6))＝2，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線PA與圓相切時(shí)，此時(shí)|PC|為外接圓的直徑，取得最大值為2.故選C．]13．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)D(3,0)的直線交拋物線C于點(diǎn)A，B，若|eq\o(FA,\s\up7(→))|－|eq\o(FB,\s\up7(→))|＝eq\r(13)，則eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝()A．－9B．－11C．－12D．2eq\r(3)A[設(shè)直線AB方程為x＝my＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|eq\o(FA,\s\up7(→))|－|eq\o(FB,\s\up7(→))|＝eq\r(13)，∴x1－x2＝eq\r(13)?(x1＋x2)2－4x1x2＝13聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋3，,y2＝4x，))可得y2－4my－12＝0.∴y1＋y2＝4m，y1y2∵(y1y2)2＝16x1x2，∴x1x2＝9，∴x1＋x2＝7.則eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝－9.故選A．]14．設(shè)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)C[由題意可得右頂點(diǎn)A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，設(shè)B(－x1，－y1)，C(x1，y1)，因?yàn)橹本€BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋x1,2)，\f(y1,2)))，所以B，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，即eq\f(y1,c＋x1)＝eq\f(\f(y1,2),\f(x1＋a,2)－c)，可得c＋x1＝x1＋a－2c，可得a＝3所以離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，故選C．]15．設(shè)橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,1)，M(3,3)在橢圓外，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若|PM|－|PF1|的最小值為2，則橢圓的離心率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)A[由通用的定義可得|PF1|＝2a－|PF2所以|PM|－|PF1|＝|PM|＋|PF2|－2a，當(dāng)且僅當(dāng)P，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF2|－2所以|PM|－|PF1|的最小值為|MF2|－2a再由題意c＝1，F(xiàn)2(0，－1)，|MF2|＝eq\r(32＋3＋12)＝5，所以2a＝5－2＝3，即a＝eq\f(3,2)，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\f(3,2))＝eq\f(2,3)，故選A．]16．已知點(diǎn)B(4,0)，點(diǎn)P在曲線y2＝8x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在曲線(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，則eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值為()A．eq\r(3)B．4C．eq\r(5)D．6B[如圖，設(shè)圓心為F，則F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，設(shè)P(x，y)，由拋物線的定義得|PF|＝x＋2，要使eq\f(|PB|2,|PQ|)最小，則|PQ|需最大，如圖，|PQ|最大時(shí)，經(jīng)過圓心F，且圓F的半徑為1，∴|PQ|＝|PF|＋1＝x＋3，且|PB|＝eq\r(x－42＋y2)＝eq\r(x2＋16).∴eq\f(|PB|2,|PQ|)＝eq\f(x2＋16,x＋3)，令x＋3＝t(t≥3)，則x＝t－3，∴eq\f(|PB|2,|PQ|)＝t＋eq\f(25,t)－6≥4，當(dāng)t＝5時(shí)取“＝“，此時(shí)x＝2.∴eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值為4.故選B．]17．P是雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為()A．eq\r(3)B．2C．eq\r(7)D．3A[如圖所示F1(－eq\r(7)，0)，F(xiàn)2(eq\r(7)，0)，設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，與PF1，PF2的切點(diǎn)分別為M，N，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，由圓的切線長定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H故|MF1|－|NF2|＝2eq\r(3)，即|HF1|－|HF2|＝2eq\r(3)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，即點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，故(x＋eq\r(7))－(eq\r(7)－x)＝2eq\r(3)，所以x＝eq\r(3).]18．已知雙曲線C過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\r(2)))且漸近線為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()①C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1；②C的離心率為eq\r(3)；③曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個(gè)焦點(diǎn)；④直線x－eq\r(2)y－1＝0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)．A．①②B．①③C．①②③D．①③④B[對(duì)于①：由已知y＝±eq\f(\r(3),3)x，可得y2＝eq\f(1,3)x2，從而設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(1,3)x2－y2＝λ，又由雙曲線C過點(diǎn)(3，eq\r(2))，從而eq\f(1,3)×32－(eq\r(2))2＝λ，即λ＝1，從而①正確；對(duì)于②：由雙曲線方程可知a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，從而離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，滿意y＝ex－2－1，從而③正確；對(duì)于④：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0，,\f(x2,3)－y2＝1，))整理，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，由Δ＝(2eq\r(2))2－4×2＝0，知直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，④錯(cuò)誤．故選B．]19．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若F1，M是線段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(2\r(5),5)D．eq\f(\r(5),5)D[由已知可知，若F1，M是線段AB的三等分點(diǎn)，則M為AF1的中點(diǎn)，所以AF2∥OM，所以AF2⊥x軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(b2,2a)))，M，B關(guān)于F1對(duì)稱，易知B點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(b2,2a)))，將其代入橢圓方程得a2＝5c2，所以離心率為eq\f(\r(5),5)，故選D．]20