2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第5節(jié)橢圓第1課時橢圓及簡單幾何性質(zhì)教學(xué)案含解析新人教A版

PAGE1-第5節(jié)橢圓考試要求1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.駕馭橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡潔幾何性質(zhì).知識梳理1.橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2[常用結(jié)論與微點提示]1.點P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；(2)點P(x0，y0)在橢圓上?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；(3)點P(x0，y0)在橢圓外?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1.2.若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.3.焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中；(1)當(dāng)r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.4.焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).5.AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).診斷自測1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓.()(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于|F1F2|時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于|F1F2|時，不存在這樣的圖形.(2)因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以e越大，則eq\f(b,a)越小，橢圓就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(老教材選修2－1P49T1改編)若F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，點P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則P點的軌跡方程是________________________.解析因為|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，故點P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝13.(老教材選修2－1P49A6改編)已知點P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標(biāo)為________.解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x＞0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，∴P點坐標(biāo)為(eq\f(\r(15),2)，1)或(eq\f(\r(15),2)，－1).答案(eq\f(\r(15),2)，1)或(eq\f(\r(15),2)，－1)4.(2024·北京卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2C.a＝2b D.3a＝4b解析因為橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故選B.答案B5.(2024·東北三省四校調(diào)研)過點A(3，－2)且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓的方程為()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1解析由題意知c2＝5，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,λ＋5)＋eq\f(y2,λ)＝1(λ>0)，則eq\f(9,λ＋5)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.答案A6.(2024·浙江卷)已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________.解析設(shè)PF的中點為M，橢圓的右焦點為F′，連接OM，MF′，則F(－2，0)，F(xiàn)′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.依據(jù)橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.又因為|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠MFF′＝eq\f(|MF′|,|MF|)＝eq\f(\r(|FF′|2－|MF|2),|MF|)＝eq\r(15)，即直線PF的斜率是eq\r(15).答案eq\r(15)第一課時橢圓及簡潔幾何性質(zhì)考點一橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】(1)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上隨意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓(2)(2024·河北九校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，周長為18，則橢圓C的方程為________________.解析(1)連接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因為點A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，依據(jù)橢圓的定義，點Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為長軸長的橢圓.(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，又知△PF1F2的面積為9，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.又知b>0，∴b＝3，又知△PF1F2的周長為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案(1)A(2)eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1規(guī)律方法1.橢圓定義的應(yīng)用主要有：推斷平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.2.與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系.【訓(xùn)練1】(2024·福建四校聯(lián)考)已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()A.2eq\r(3) B.6 C.4eq\r(3) D.2解析由橢圓的方程得a＝eq\r(3).設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).答案C考點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)已知A(－1，0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,35)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1(2)(一題多解)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A(3，0)，并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.解析(1)由題意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2eq\r(3)>|AF|＝2，∴點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓，且a＝eq\r(3)，c＝1，∴b＝eq\r(2)，∴動點P的軌跡方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故選D.(2)法一若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.法二設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，則由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81.))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.答案(1)D(2)eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1規(guī)律方法依據(jù)條件求橢圓方程的主要方法有：(1)定義法：依據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿意橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：依據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.(3)橢圓系方程①與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1共焦點的橢圓系為eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1(k<b2).②與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有共同的離心率的橢圓系為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ>0).【訓(xùn)練2】(1)(2024·亳州模擬)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上兩動點P，Q總使PF1QF2為平行四邊形，若平行四邊形PF1QF2的周長和最大面積分別為8和2eq\r(3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(2)(2024·岳陽調(diào)研)一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為________________.解析(1)如圖，由四邊形PF1QF2周長為8，可知4a＝8，所以a＝2.當(dāng)P，Q為短軸端點時，四邊形的面積最大，故2bc＝2eq\r(3)，即bc＝eq\r(3).橢圓方程可以是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故選C.(2)∵橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，∴可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).∵P(2，eq\r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,2a＝4c，))又知a2＝b2＋c2，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝\r(6)，))∴所求橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.答案(1)C(2)eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1考點三橢圓的幾何性質(zhì)多維探究角度1橢圓的長軸、短軸、焦距【例3－1】(2024·泉州質(zhì)檢)已知橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A.8 B.7 C.6 D.5解析因為橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因為焦距為4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.答案A規(guī)律方法1.橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c.2.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要留意數(shù)形結(jié)合、分類探討思想的應(yīng)用.角度2橢圓的離心率【例3－2】(1)(2024·全國Ⅰ卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個焦點為(2，0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)(2)(2024·南陽模擬)設(shè)M是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，以M為圓心的圓與x軸相切，切點為橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于不同的兩點P，Q，若△PMQ為等邊三角形，則橢圓C的離心率為________.解析(1)不妨設(shè)a>0.因為橢圓C的一個焦點為(2，0)，所以焦點在x軸上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)∵圓M與x軸相切于焦點F，∴不妨設(shè)M(c，y)，又知點M在橢圓上，則有eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，∴圓M的半徑r＝eq\f(b2,a)，若△PMQ為等邊三角形，則eq\f(\r(3),2)·eq\f(b2,a)＝c，即eq\r(3)b2＝2ac，又知b2＝a2－c2，∴eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，兩邊同時除以a2，整理得eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，又∵0<e<1，∴e＝eq\f(\r(3),3)，即橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),3).答案(1)C(2)eq\f(\r(3),3)規(guī)律方法求橢圓離心率的方法(1)干脆求出a，c的值，利用離心率公式干脆求解.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)(2024·武漢模擬)曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等(2)(角度2)(2024·成都質(zhì)檢)設(shè)橢圓E的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點.若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為()A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1解析(1)曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，其長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，離心率為eq\f(4,5).曲線eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)表示焦點在x軸上的橢圓，其長軸長為2eq\r(25－k)，短軸長為2eq\r(9－k)，焦距為8，離心率為eq\f(4,\r(25－k)).比照選項，知D正確.(2)不妨設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如圖所示，∵△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故選A.答案(1)D(2)A考點四與橢圓定義、性質(zhì)有關(guān)的最值范圍問題多維探究角度1與橢圓定義有關(guān)的最值問題【例4－1】(2024·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一個動點，點A(1，1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.5解析易知B為橢圓的一個焦點，設(shè)橢圓的另一焦點為B′，則B′(0，1)，如圖，連接PB′，AB′，依據(jù)橢圓的定義得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)點P在AB′的延長線上時，等號成立，所以|PA|＋|PB|的最大值為5，故選D.答案D規(guī)律方法解決與橢圓定義有關(guān)的最值問題，留意應(yīng)用|PF1|＋|PF2|＝2a，同時對稱和轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關(guān)鍵.角度2與橢圓有界性有關(guān)的最值(范圍)問題【例4－2】已知點A(0，2)及橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上隨意一點P，則|PA|的最大值是________.解析設(shè)P(x0，y0)，則－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－2)2.∵eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∴|PA|2＝4(1－yeq\o\al(2,0))＋(y0－2)2＝－3yeq\o\al(2,0)－4y0＋8＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(28,3).∵－1≤y0≤1，而－1<－eq\f(2,3)<1，∴當(dāng)y0＝－eq\f(2,3)時，|PA|eq\o\al(2,max)＝eq\f(28,3)，即|PA|max＝eq\f(2\r(21),3).答案eq\f(2\r(21),3)規(guī)律方法橢圓的范圍或最值問題經(jīng)常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要留意應(yīng)用這些不等關(guān)系，同時留意應(yīng)用函數(shù)思想處理最值問題.角度3與離心率有關(guān)的最值(范圍)問題【例4－3】(一題多解)(2024·江西大聯(lián)考)橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且滿意eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.則橢圓離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析法一設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，∵eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋yeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2.①又知點M在橢圓G上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，②由①②聯(lián)立結(jié)合a2－b2＝c2解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2（c2－b2）,c2)，由橢圓的性質(zhì)可得0≤xeq\o\al(2,0)≤a2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a2（c2－b2）,c2)≥0，,\f(a2（c2－b2）,c2)≤a2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2≥b2，,c2－b2≤c2，))所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥eq\f(1,2)，又知0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1，故選D.法二∵橢圓G上存在點M使eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2，即△MF1F2是以M為直角頂點的直角三角形，∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2eq\r(2)c，∴e＝eq\f(|F1F2|,|MF1|＋|MF2|)≥eq\f(2c,2\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝eq\r(2)c時，等號成立，又知0<e<1，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).故選D.答案D規(guī)律方法解決橢圓離心率的最值或范圍問題，留意應(yīng)用橢圓的性質(zhì)建立不等關(guān)系，同時留意橢圓的離心率e∈(0，1).【訓(xùn)練4】(1)(角度1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上隨意一點，點M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________.(2)(角度2)設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿意∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)(3)(角度3)(2024·豫南九校聯(lián)考)已知兩定點A(－1，0)和B(1，0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5) C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(2\r(10),5)解析(1)由橢圓的方程可知F2(3，0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點共線且P在線段MF2上時取得等號，又|MF2|＝eq\r(（6－3）2＋（4－0）2)＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5.(2)①當(dāng)焦點在x軸上，依題意得0<m<3，且eq\f(\r(3),\r(m))≥taneq\f(∠AMB,2)＝eq\r(3).∴0<m<3且m≤1，則0<m≤1.②當(dāng)焦點在y軸上，依題意m>3，且eq\f(\r(m),\r(3))≥taneq\f(∠AMB,2)＝eq\r(3)，∴m≥9，綜上，m的取值范圍是(0，1]∪[9，＋∞).(3)不妨設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，與直線l的方程聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq\r(5)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a)≤eq\f(\r(5),5)，所以e的最大值為eq\f(\r(5),5).答案(1)－5(2)A(3)AA級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(2024·張家口調(diào)研)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦點坐標(biāo)為()A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)解析依據(jù)橢圓方程可得焦點在y軸上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦點坐標(biāo)為(0，±3).答案B2.(2024·蘭州一中月考)若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓，則m的取值范圍是()A.(－3，5) B.(－5，3)C.(－3，1)∪(1，5) D.(－5，1)∪(1，3)解析由方程表示橢圓知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))解得－3<m<5且m≠1.答案C3.已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(3)，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.答案D4.(2024·湖北重點中學(xué)聯(lián)考)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為()A.eq\f(4,3) B.1 C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)解析不妨設(shè)A點在B點上方，由題意知：F2(1，0)，將F2的橫坐標(biāo)代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，可得A點縱坐標(biāo)為eq\f(3,2)，故|AB|＝3，所以由S＝eq\f(1,2)Cr得內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(2S,C)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)(其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長).答案D5.(2024·全國Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點.如圖.不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由點B在橢圓上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案B二、填空題6.若橢圓eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，則k的值為______.解析(1)若焦點在x軸上，即k＋8>9>0時，a2＝k＋8，b2＝9，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(k－1,k＋8)＝eq\f(1,4)，解得k＝4.(2)若焦點在y軸上，即0<k＋8<9時，a2＝9，b2＝k＋8，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1－k,9)＝eq\f(1,4)，解得k＝－eq\f(5,4).綜上，k＝4或k＝－eq\f(5,4).答案4或－eq\f(5,4)7.(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________.解析不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，則|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2eq\r(36－20)＝8，因為△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2為底邊的等腰三角形.故點M在以F1為圓心、焦距為半徑長的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上.因為點M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以聯(lián)立方程可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因為點M在第一象限，所以點M的坐標(biāo)為(3，eq\r(15)).答案(3，eq\r(15))8.(2024·昆明診斷)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時，點P的坐標(biāo)是________.解析記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.則m＝|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.∴點P的坐標(biāo)為(－3，0)或(3，0).答案(－3，0)或(3，0)三、解答題9.已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo).解橢圓方程可化為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，m>0.∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(m（m＋2）,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3)，∴a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(m（m＋2）,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴橢圓的長軸長和短軸長分別為2a＝2和2b＝1，焦點坐標(biāo)為F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四個頂點的坐標(biāo)分別為A1(－1，0)，A2(1，0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).10.(2024·福建四地七校調(diào)研)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若橢圓上一點P與其中心及長軸一個端點構(gòu)成等腰直角三角形.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，若直線l與橢圓相交于A，B，且AB是圓(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一條直徑，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.解(1)由題意不妨設(shè)橢圓上的點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)))，代入橢圓方程可得eq\f(1,4)＋eq\f(a2,4b2)＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)得橢圓E的方程為eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，易知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1）－1，,x2＋3y2＝3b2))?(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.∴x1＋x2＝eq\f(6k（k＋1）,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3（k＋1）2－3b2,3k2＋1).又x1＋x2＝2，∴k＝eq\f(1,3)，∴x1x2＝eq\f(16－9b2,4)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(10),3)eq\r(4－4·\f(16－9b2,4))＝2eq\r(5)，∴b2＝eq\f(10,3)，則a2＝10，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,\f(10,3))＝1.B級實力提升11.(2024·德陽診斷)設(shè)P為橢圓C：eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，且△PF1F2的重心為點G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為()A.24 B.12 C.8 D.6解析∵P為橢圓C：eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2eq\r(49－24)＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心為點G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面積為8.答案C12.(2024·合肥模擬)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在橢圓C上，且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，則直線PA1斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))解析設(shè)P(x，y)，由eq\f(x2,4)