滬教版 八年級(上)數(shù)學 秋季課程 第16講 添加輔助線(解析版)

輔助線的添加

內(nèi)容分析

當幾何題難以證明或者比較繁時，可以考慮添加輔助線，幫助解題，添加輔

助線的目的是把分散的條件集中到一個三角形或者兩個三角形中，構造出全等三

角形或者等腰三角形，運用它們的判定或者性質(zhì)解決問題，本節(jié)主要是對幾何證

明做一總結和拓展.

知識結構

模塊一：根據(jù)圖形補形添線

知識精講

1、常用的輔助線有：

（1）聯(lián)結兩個點得到線段；

（2）過某一點做平行線或者垂線；

（3）延長某一條線段，構造特殊的三角形.

例題解析

【例1】如圖，己知AD〃BC,NB=NC,求證：AB=CD.下列添加輔助線不正確的是

().

4.延長BA、C。交于點E；

B.過點A、。作AEJ_BC,DFLBC,垂足分別為E、F；

C.聯(lián)結AC、BD-.

D.過點B、C作CF1AD,垂足分別為E、F.

【答案】C

【解析】A、B、。都能夠通過全等三角形得到結論.

【總結】考察三角形全等的判定.

【例2】如圖，AB=AD,BC=CD,求證：ZABC=ZADC.

【解析】聯(lián)結AC

'：AB=AD,BC=CD,AC=AC

：.△ABC紇A4DC

NABCADC.

【總結】考察三角形全等的判定及全等三角形的性質(zhì).

【例3】如圖，五邊形ABC0E中，AB=AE,BC=DE,ZABC=ZAED,

求證：ZBCD=ZEDC.

CD

【解析】聯(lián)結AC、AD

\9AB=AE,BC=DE,ZABOZAED,

：./\ABC^/\AED

/.ZACB=ZADE,AC=AD

：.ZACD=ZADC

,/ZACB=ZADE

：.ZBCD=ZEDC.

【總結】考察三角形全等的判定和性質(zhì).

【例4】如圖，AB//EFfNB+NC+NO+NE=—

【答案】540°

【解析】聯(lián)結8。、BE

,:AB〃EF,：.ZABE+ZBEF=ISO°

???NB+NC+NO+NE

=ZABE+ZDBE+NCBD+NC+NCDB+ZBDE+NDEB^BEF

=(ZABE+/BEF)+(/DBE+ZBDE+/DEB)+(NCBD+NC+/CDB)

=180o+180o+180°

=540°

【總結】考察平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)定理.

【例5】如圖，△ABC中，點。是3c的中點，過點。的直線交AB于點E,交AC的延長

線于點E且BE=CF.求證：AE=AF.

【解析】過。作CM〃43交EF于M

4EB

?:CM"AB,：.ZMCD=ZDBE

*：CD=BD,NCDM=ZBDE,^MCD=^DBE

：./\CMD^/\BED

：.CM=EB

?：BE=CF,:.CM=CF

：.NF=NCMF

?:CM"AB

：.ZFEA=/CMF

：.ZFEA=ZF

：.AE=AF.

【總結】考察平行線輔助線的添加以及平行線的性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)的綜合運用.

【例6】如圖，已知△ABC中，AB=AC,N84C=90°,8。平分NA8C交AC于點D,

C瓦LB。交8。的延長線于點石，求證：BD=2CE.

【解析】延長8A、CE交于點、F

VZF+ZACF=90°,ZF+ZABD=90°

/.ZABD=ZACF

VZABD=ZACF9ZBAD=ZFAC,AB=AC,

：./\ABD^/\ACF

：.BD=CF

ZBEF=ZBEC,ZFBE=ZCBE,EB=BE,

：./\BEF也△BEC

/.CE=EF,即C/=2CE

,:BD=CF,：.BD=2CE

【總結】考察等腰三角形的性質(zhì).

【例7】如圖，在△ABC中，CE是NAC3的平分線，AFJ_”于點F,

求證：ZCAF=ZEAF+ZABC.

【解析】延長AF交3C于。

VZAFC=ZDFC,ZACF=ZDCF,CF=CF,

AAFC會△DRC

:.ZCAF=ZADC

ZEAF+ZABC=ZADC

：.NCA*NEAF+NABC.

【總結】考察等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)的綜合運用.

【例8】如圖，△ABC中，點。、E分別在8C、AC的延長線上，且。是AE的中點,

ZB+ZD=180°,求證：AB=DE.

【答案】略.

【解析】過A作AM〃E。交5。于M

?:AM"ED,：.ACAM=ZE

VCA=CE,ZCAM=ZE,ZACM=ZDCE

：./\ACM^/XECD

：.ED=AM

'：AM//ED,：.ZAMC=ZD

VZB+ZD=180°,???N5+NAMC=180°,

VZAMB+ZAMC=\SO°,ZB=ZAMB

：.AB=AM

ED=AM,

：.AB=DE.

【總結】考察平行線輔助線的做法.

【例9】兩個全等的含30°、60°角的三角板AOE和三角板A8C如圖所示放置，E、A、C

三點在一條直線上，連接3。，取8。的中點M,連接ME、MC,試判斷的形狀，

并求證.

【答案】△EMC是等腰直角三角形，證明見解析.

【解析】△EMC是等腰直角三角形，聯(lián)結AM

VZE4Z)=3O°,Zfi4C=60°

，ZDAB=90°

,:AEDA鄉(xiāng)ACAB

ADA=ABfED=AC

???△D48是等腰直角三角形

???M是3。的中點

AZMDA=ZMBA=45°,AMLBD,AM=-BD=MD

2

4EDM=ZMBC=105°

???ED=AC,ZMDE=ZCAM,MD=AM

：./\MDE^/\MAC

/.NDME=ZAMC，ME=MC

ZDM4=90°

/.AEMC=AEMA+ZAMC=AEMA+ADME=ZDMA=90°

???△EMC是等腰直角三角形.

【總結】考察三角形全等的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定.

【答案】見解析

【解析】延長CE到凡使得0F=0￡>,聯(lián)結8F

VZ1=Z2,AOB=OC

又；,ABOF=NCOD,OF=OD,OB=OC//

：.ABOF^/XCOD/

:.BF=CD,ZF=Z.CDO

：NCOZ)=N1+N2=ZA,ZACE=ZACE

：.ZCDO=Z.CEA

?：ZBEF=NCEA=NCDO,：.ZF=ZBEF,:?BF=BE.

?：BF=CD,:?BE=CD.

【總結】考察三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合運用，注意輔助線的合理添加.

【例11]如圖，在直角△48C和直角△AOE中，ZOZ￡=90°,BODE,

ZBAE=ZDACfBC與DE交于點、F,求證：BF二DF.

【答案】見解析/

【解析】聯(lián)結Ab//

ZBAE^ZDAC,/L

：.NBAE+ZEAC=NDAC+ZEAC,即ABAC=ZDAE/

VZC=ZE,ZBAC=ZDAE,BC=DE,/

：.Z\AEF^/\ABCB

：.AE=AC,CB=ED

VAE=AC,AF=AF

：.AAEF^AACF

FE=CF

,:BF=CB-CF,DF=DE-EF

；?BF=DF.

【總結】考察三角形全等判定和性質(zhì)的綜合運用.

【例12]如圖，已知在△ABC中，ZC=90°,NA=45°,AB=a,在線段AC上有動點M,

在射線CB上有動點M且4M=BN,連接MV交AB于點P.

（1）當點M在邊AC（與點A、C不重合）上，線段PM與線段PN之間有怎樣的大小關系?

試證明你的結論.

（2）過點M作邊AB的垂線，垂足為點。，隨著M、N兩點的移動，線段PQ的長能確定

嗎?若能確定，請求出PQ的長；若不能確定，請簡目

【答案】（1）PN=PM；（2）線段的長能確定

【解析】（1）PN=HW.

過M作DM//CB交84于O

??DM//CB,；.ZADM=ZABC=45°

AZADM=ZA,：.AM=MD

,:AM=BN,:.BN=MD

"：BN=MD,ZN=4DMP,ZNPB=ZMPD

：.4NPB空/^MPD

：.PN=PMM

（2）線段PQ的長能確定，為;a.

；/A=45°,MQ1AB,/XAM。為等腰直角三角形

設“W=4W=3N=x,則A￡>=EX

由（1）可得：BP=PD=-BD

2

AB=a,BD=AB-AD=a-4ix

BP=-BD=-a-—x

222

'：DQ=AQ=-AD=^-x

：.PQ=PD+DQ=^a

..?線段尸2的長能確定‘為相.

【總結】考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形性質(zhì)的綜合運用.

【例13]已知：如圖，AABC是等邊三角形，BD=DC,ZBDC=\20°,NMDN=60°,

、2

求證：CxAMN=1C.BC,A

【解析】證明：延長NC至點E，使得CE=BM,聯(lián)接。石.

?：BD=DC,NBDC=120。,

???ZDBC=ZDCB=30。

丁ZTWC=ZACB=60°

ZABD=ZACD=90°

JZABD=ZDCE

?：BD=DCfZABD=ZDCF,CE=BM

：./\CDE^/\BDM

：.MD=DE,ACDE=ZBDM

VZBDC=120°,ZMDN=60°,

：.ZBDM+4CDN=60°

*.?/CDE=/BDM

???NCDE+NCDN=60。，B[JZA?E=60°

JNNDF=ZMDN

?：MD=DE,ZNDF=ZMDN,DN=DN

:?△NDE9^\NDM,可得：MN=NE,

2

v

貝lJCAAMN=3+^+MN=AM+/W+MB+NC=AB+AC=§CAA8c?

【總結】考察截長補短輔助線的添加及等腰三角形的性質(zhì).

【例14]如圖，正方形48co中，E、尸分別是A。、。。上的點，且NE"=45°,

(1)求證：AE+C尸二EF；

(2)若BF=叵,801,求BE的長.

3

【解析】(1)延長尸C至點G,使得CG=AE,連接BG.

?：NBAE=NBCG,CG=AE9AB=BC

：./\AEB^/\BCG

:?BE=BG,ZABE=ZCBG.

???ZEBF=45°JZABE+NCB/=45。

?.,Z.ABE=/CBG,.??ZCBG+NCBF=45°即ZFBG=45°

ZFBG=ZEBF

?；BE=BG,NFBG=ZEBF,BF=BF

：.ABEFmABGF：.EF=GF,

VGF=FC+CG,EF=GFfCG=AE

：.AE+CF=EF；

(2)VBF=—,BC=1,

3

ii2

由勾股定理可得：CF=~,：.DF=l--=-.

333

設A￡=x,則由(1)可得：ED=\-x,EF=x+~,

3

DE2+DF2=EF2,

(1-X)2+(g){x+j，解得：X=T

:.BE7AB\AE2當.

【總結】考察截長補短輔助線的添法和勾股定理的綜合運用.

模塊二：倍長中線

知識精講

常做輔助線:

遇到中點，通過倍長中線構造全等的三角形.

例題解析

【例15]已知，如圖△ABC中，AB=5,4c=3,則中線4。的取值范圍是

【答案】1<4)<4.

【解析】延長至點E,使得仞=即，聯(lián)結8E

,:AD=ED,ZADC=ZEDB,BD=DC

：.MDgAEDB

：.AC=3E=3

■:AB-BE<AE<AB+BE

：.2<AE<8

'：AE=2AD

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法以及三角形三邊關系的判定.

【例16]如圖，AABC中，BD=DC=AC,￡是。C的中點，求證：AO平分N8AE.

【解析】延長AE至點F,4吏得EF=AE,聯(lián)結。尸

VAE=EF,ZAEC=ZDEF,DE=EC

：./\AEC^/\FED

：.AC=DF,NC=NCDF

DC=AC,：.ACAD=ZCDA

,:ZADB=ADAC+ZC,ZADF=ZADC+/CDF

???ZADB=ZADF

?:BD=AC,AC=DF,:.BD=DF

,:BD=DF,ZADB=ZADFfAD=DA.：.XABD/9FD

：.ZBAD=ZDAF,即AO平分NBAE.

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法以及三角形全等的判定與性質(zhì)的運用.

【例17]已知：如圖，AO是△A5C的3c邊上的中線，且8E=AC,延長班:交AC于點F

求證：AF=EF.

【解析】延長EQ至點G,使得DG=DE,聯(lián)結CG

?：BD=CD,4BDE=NCDG,DG=DE,

：./\BED^/\CDG

：.BE=CG,ABED=NG

???BE=AC,/.AC=CG,/.ZFAE=ZG

VZBED=ZG,/.ZBED=ZFAE

VZBED=ZAEF,：.ZAEF=ZFAE,

：.AF=EF.

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法.

【例18]已知：如圖，A。是△A5C的中線，AB=BD,點E在BD上且BE=ED.

求證：AC=2AE.

A

【答案】見解析

【解析】延長AE至點F,使得以MAE,聯(lián)結

VAE=EF,ZAEB=ZDEF,BE=ED

/./\ABE^/\FDE，:?AB=DF,ZB=ZFDEE\/D

BD=DC,AB=BD,：.AB=CD,

VAB=DF,:.DC=FD,

■:AB=BD,：.ZBAD=ZBDA

■:ZADC=/BAD+NB,ZADF=ZADB+AFDE,：.ZADC=ZADF

,:CD=DF,ZADC=ZADF,AD=DA

:?△AFD94ACD,：.AC=AF

VAF=2AE,：.AC=2AE

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法.

【例19】已知，如圖，在△而＜:外作正方形A8OE和ACGF,M是8C的中點.

求證：AM-EF.

2

【解析】延長AM至點M使得聯(lián)結CN

■:AM=MN,ZAMB=ZCMN9BM=MC

：.AB=CN,ABCN=ZABC

VAB=AE,；.AE=CN,

■:ZACN=ZACB+ZBCN,ZBCN=ZABC

：.ZAGV=ZACB+ZABC=180°-Z^C

ZEAF=-ZEAB-ZFAC-ABAC=\S0°-ABAC

：.ZACN=ZEAF

VCA=AF,ZACN=ZEAF,AE=CN,

：.AAFE94ACN，：.EF=AN

VAN=2AM,AEF=2AM

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法及全等的綜合運用.

【例20]已知：如圖，在△ABC中，BD=DC,EDA.DF,求證:BE^CF>EF.

【解析】延長FQ至點G,使得DG=DF,

DF=DG,ZFDC=ZBDG,BD=DC

：.ABDG^/XCDF,r.CF=BG

VDF=DG,ZFDE=ZEDG,ED=DE

：.^EDG^^EDF,；.EF=EG

VBG+BE>GE,EF=EG,CF=BG

：.BE+CF>EF.

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法及三角形的三邊關系的運用.

【例21]已知：如圖，點M是△ABC的邊3c的中點，射線ME、MF互相垂直，且分別

交AS、AC于E、F兩點,連接EE

(1)求證：線段BE、CF、EF能夠成一個三角形；

(2)若NA=120°,且BE=CF,試判斷BE、CAEF所構成三角形的形狀，并證明.

線段BE、CF、EF能夠成一個三角形；

(2)等邊三角形.

；/A=120°,AZABC+ZC=60°,

,/BE=CF,CF=BG,：.BE=BG,

由(1)可得：NMBG=NC.

：.NEBG=ZABC+ZMBG=ZABC+ZC=609

,:BE=BG,；.BE、CF、EF所構成三角形的形狀是等邊三角形.

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法及三角形的成立條件.

模塊三：角平分線翻折

知識精講

遇到與角平分線相關的題目，以角平分線為對稱軸進行翻折，構造全等的三角形.

例題解析

【例22]如圖，在三角形ABC中，。是AC邊上的一點，過點。作交/ACB

的平分線于點E,交NACB的鄰補角的平分線于點尸，求證：OE=OF.

【解析】'.'MN//BC,：.ZOEC=AECB

?:AECO=ZECB,，ZOEC=ZECO

：.OE=OC

■:MN〃BC,:.NOFC=NFCD

'：NOCF=ZFCD,；.NOFC=NOCF

：.OF=OC

：.OE=OF.

【總結】考察平行線的性質(zhì)的綜合運用.

【例23]如圖，在四邊形ABC。中，BC>BA,AD=CD,BZ）平分NA3C,

求證：ZA+ZC=180°.

【解析】在8C上截取一點E,使得防=儡,聯(lián)結DE.

VAB=BE,ZABD=ZDBE,BD=BD

E

ZVLBD^A￡BD

，AD=DE,ZA=ZBED

*：AD=CD,:?ED=CD,

:.4C=ZDEC

VZDEC+ZBED=\S(T,4C=A>EC,ZA=ZBED

：.ZA4-ZC=180°.

【總結】考察通過角平分線構造全等輔助線的做法.

【例24]如圖，已知A0是△A8C的角平分線，ZB=2ZC.求證：AB+BD=AC.

?；BD=DE,：.BD=EC

VAC=AE+EC,AE=AB,ED=EC

：.AB+BD=AC.

【總結】考察截長補短輔助線的添加及運用.

【例25]如圖，在四邊形A8CQ中，AC平分N84D,過點C作CE_LAB于點E,并且

AE=-(AB+AD),求NABC+NAQC等于多少度？

2

【答案】180°.

【解析】在上截取一點R使得瓶=4),聯(lián)結CV

VAD=AF,ZDAC=ZFAC9AC=AC

^DAC^/\FAC,：.CD=FC,ZADC=ZAFC

:AE=-CAB+AD),：.AF+EF=-(AF+EF+EB+AF)

22

EF=FB

?；EF=FB,NCEF=NCEB,CE=CE,：./XCEF名△CE8

ZABC=Z.CFB

VZCFB+ZAFC=180°,ZADC=ZAFC,ZABC=NCFB

：.ZABC+ZS4￡>C=18O°.

【總結】考察通過角平分線構造全等輔助線的做法.

【例26]如圖，已知在△ABC中，ZB=60°,△ABC的角平分線A。、CE相交于點0,

求證：0E=。。.a

VCD=CF,AFCO=^OCD,OC=OC,：./\FCO^/\DCO

OD=FO,NFOC=ZDOC

,/ZDOC=60°,：.AFOC=60°

ZAOF=180p-ZAOE-ZFOC=60°,，ZAOE=ZAOF

VOA^OA,ZAOE=ZAOF,Z.EAO=ZFAO

：./\AEO^/\AFO,：.OE=OF

?；OD=FO,OE=OD.

【總結】考察通過角平分線構造全等輔助線的做法.

【例27]如圖所示，在△ABC中，AC是NBAC的平分線，M是BC的中點，MF//D4交

8A的延長線于點E,交AC于點F,求證：BE=CF.

【答案】見解析為

【解析】延長FM至點M使得FM=MN,聯(lián)結5M/\

BM=CM,ZBMN=NCMF,FM=MN,/\

:,ABMN^MMF/\\

:?BN=CF,ZMBN=NC,：.CF//BN/\\一

MF//DA,：.ZAFE=ADAC,/RAD=ZEDL-<<<<-----DM\

b、、、\

N

VZBAD=ZDACf：.ZAFE=ZE

■:CFI/BN,：.ZAFE=ZN

VZAFE=ZE,???N7V=2:,BE=BN

■:BN=CF,???BE=CF.

【總結】考察倍長中線輔助線的添加方法.

【例28】已知：中，ZACB=90°,CQ_LA3于Q,AE平分NCA8交C。于F,

過尸作尸”〃48,交BC于H.

求證：CE=BH.（提示:平行四邊形的對邊相等,

【解析】過上作EGJ_A8,垂足為G.

VZAFD+ZFAD=90°,NCEF+NC4F=90°,

ZMP=ZC4F,

:.ZAFD=/CEF

?：ZAFD=/CFE,：.ZCFE=ZCEF,ACE=CF

VAE=AE,ZFAD=ZCAF,ZACE=ZAGE

：.△ACE^/\AGE，：.CE=EG

,:CE=CF,:?EG=CF

,:FH〃AB,:?/CHF=/B,/CFH=/CDB=90。

?；NCHF=NB,/CFH=4EGB,EG=CF

：.ZXCFH^Z^EGB,:?CH=EB

VCE=CH-EH,BE=BE-EH,：.CE=BH.

【總結】考察構造全等三角形輔助線的做法.

隨堂檢測

【習題1】如圖，在△4BC中，NA=120°NABC=NC,8。是/ABC的角平分線，如果

將△ABQ沿BQ翻折過來，點A與BC邊上的點E重合，那么△(?￡>￡是.

角形.

【答案】直角.

【解析］\'ZA=120°,NABC=NC,

二ZC=30°

VZB￡D=ZA=120°,ZBED=NC+ZEDC

：.Z￡DC=90°.

【總結】考察三角形的外角性質(zhì)及內(nèi)角和定理的綜合運用.

【習題2】如圖，已知4C=B￡>,ND=NC,求證：ZA=ZB.

【解析】延長CA、DB交于點E

:.EC=ED

'：AC^BD,AEA=EB

：.ZEAB=ZEBA

VZA=\800-ZEAB,ZB=1800-ZEBA

：.ZA=ZB.

【總結】考察等腰三角形的輔助線的添法.

【習題3】如圖，在三角形ABC中，ZABC=2ZC,ADLBC,求證：AB+BD=DC.

【答案】見解析

【解析】在CO上截取一點￡使得。E二08,聯(lián)結AE

?；BD=DE,ZADB=ZADE,AD=DA

：./\ADB^Z\ADE

：.AB=AE,ZABC=ZAEB

?.?ZABC=2ZC,,2ZC=ZAEB

VZA￡B=ZC+ZC4E=2ZC,/.ZC=ZC4E,/.CE=AE

VAB=AE,AAB=CE

■:DE+CE二CD,AB=CE9BD=DE,

：?AB+BD=DC.

【總結】考察截長補短的輔助線的添加.

【習題4】如圖，A。是△ABC的角平分線，AC=AB+BDfZC=30°.求N84C的度數(shù).

【答案】見解析

【解析】在CA上截取一點E使得4E=A8,聯(lián)結DE

VBA=AE,ZBAD=ZDAE,AD=DA

：.AAD^gAADE

：.BD=DE,ZB=ZAED

9

\AC=AB+BDfAE=AB,AC=AE+EC,

:.CE=DB

?；BD=DE,：.CE=DE

：.NC=4CDE

：.ZAED=/C+/CDE=2/C

VZB=ZA￡B,：.ZB=2ZC.

：.Zfi4C=180°-ZB-ZC=180°-3ZC=90°.

【總結】考察截長補短的輔助線的添法.

【習題5】以△A3C的邊A從AC為邊分別向外作正方形ABDE、ACGF,DP上BC于點

P,GQJ_BC于點。，求證：DP+GCBC.

【答案】見解析

【解析】過A作AML3C垂足為M

PBMCQ

???ZBDP+ZDBP=90。，ZDBP+ZABM=90°f

：.ZBDP=ZABM

VZBDP=ZABM,ZDPB=ZBMA,DB=AB

：./\DBP^/\BAM

???DP=BM

也可以用同樣的方法證明出???/\ACM^/\CGQ,：.GQ=CM

?：BC=BM+MC,DP=BM,GQ=CM

:.DP+GQ=BC.

【總結】考察三角形全等的構造方法及全等三角形性質(zhì)的綜合運用.

【習題6】已知：如圖，正方形A5CQ中，E、/分別是A￡＞、。。上的點，且AE+CF=EF,

求證：/EBF=45°.

【答案】見解析

【解析】證明：延長尸。至點G,使得CG=A￡，聯(lián)接8G.

VBA=BC,ZBAE=ZBCG,CG=AE

：./\ABE%AdBCG

:.BE=BG,ZABE=ZCBG

■:AE+CF=EF,AE=CG,：.EF=FG

VEF=FG,BF=FB,BE=BG

：./\BEF^/XBGF

：.ZEBF=ZGBF

???ZABE+NEBC=90。,ZABE=ZCBG

：.NCBG+ZEBC=90°,即ZEBG=90°

?；ZEBG=ZEBF+NGBF,ZEBF=ZGBF

：.ZEBF=450.

【總結】考察截長補短輔助線的添法及全等三角形性質(zhì)的運用.

【習題7]已知，如圖，。為等邊AABC內(nèi)一點,DA=DC,P為等邊△ABC外一點，PC=AC,

且CO平分NBCP,求NP的度數(shù).

【答案】30°.

【解析】連接3D

PC=AC,BC二AC,：.PC=BC

?：PC=BC,DC=DC,ZPCD=ZBCD

，APCD^ABDC

/.ZP=ZDBC

?；DA=DC,DB=DB9AB=CB,

AADB^/\CDB

：.ZABD=ZDBC,即ZDBC=-ZABC=30°

2

:NP=ZDBC,：.ZP-30°

【總結】考察全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用.

【習題8]如圖，在△ABC中，ACBC,NC=90°,A￡?_L8。交于點Q,3。與AC相交

于點E,當BE=24。時，求證：平分ZABC.

【解析】延長8C、A。交于點F

VZF+ZC4F=90°,ZF+ZEBC=90°

:.Z.CAF=ZEBC

Z.CAF=AEBC,ZACB=NBCE,AC=BC,

：./\ACF沿ABCE

：.BE=AF

'：BE=2AD,：.AF=2AD,B|JAD=FD

'：ZBDF=ZBDA,AD=FD,DB=BD，

：./\BDA^/\BDF

：.ZABD=ZDBF,即BD平分ZABC.

【總結】考察等腰三角形的性質(zhì).

【習題9]如圖，已知在正方形A8CQ中，E是A。的中點，BF=CD+DF,若NABE為a,

求NCBF的度數(shù).

【答案】NCBF=2a

【解析】延長BC到G,使得CG=DF,連接FG交CD于點H,連接BH

,:NGCH=/￡>=90。，ZCHG=ZDHF,CG=DF,

：./\CGH^/^DHF

/.CH=DH,GH=FH

'：AE=CH,AB=BC,ZBAE=ZBCH

，/\ABE^ACBH

:.NCBH=ZABE=a

;BF=CD+DF,BG=CB+CG,BC=CD,CG=DF,

：.BF=BG,'：FH=GH,：.ZFBH=ZGBH

,:NCBH=a,INCBF=2a

【總結】考察截長補短輔助線和等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用.

【習題10】在△ABC中，AB^AC,。是△ABC外一點，且NABD=60°,ZACD=60°.

求證：BD+DC=AB.

【解析】延長8。到凡使得8尸=84連接AACF

VZABD=60°,BF=BA

...△ABF為等邊三角形

AAF=AB-AC=BF,ZAFB=60°

/.ZACF=ZAFC

VZACD=60°,ZA^B=ZAC￡>=60°

:.ZDFC=ZDCF,；.CD=DF

BD+CD=BD+DF=BF=AB即BD+DC=AB.

【總結】考察截長補短輔助線的做法.

【習題11]如圖，在△ABC中，E是BC邊上一點,點。在BC的延長線上且CD=AB,

NBAE=ND,AC平分/EAQ.求證：AD=2A￡.

【答案】見解析

【解析】在A。上取一點尸，使得AF=4E,連接CF

'：AE=AF,/FAC=/FAC,AC=AC,

：.AACE^AA/C

ZAEC=ZAFC

VZAEC=ZBAE+ZB,ZAFC=ZFCD+ZD,ZBAE=ZD,

：.ZB=ZFCD

'：AB=CD,ZB^AFCD,NBAE=ND,

/\ABE%/\DCF

：.AE=DF

VAF=AE,

???AD=AF'+FD=AE+AE=2AE

【總結】考察截長補短輔助線的添法.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】如圖，將aABC的中線AO加倍到點E,聯(lián)結CE后，以下結論錯誤的是

().

A.4ABD合AECD；B.AD^DC-,

C.CE=AB；D.AB//CE.

【答案】B

【解析】A、C、。都可以根據(jù)三角形全等得到是正確的.

【作業(yè)2】已知：AQ是AABC的角平分線，NC=2NB,將ZiAC￡)沿AO翻折，點C落在

AB邊上的E處,AEBD是；AB、AC、CZ)之間的數(shù)量關系是

【答案】等腰三角形；AB=AC+CD.

【解析】：AC=AE,Zft4￡>=ZC4￡>,AD=AD

AACD^AAED(S.AS)

AZC=ZAED,CD=DE

VZC=2ZB,,AZ4￡D=2ZB

VZAED=ZB+ZEDB,：.ZB=ZEDB,：.ED=EB

VCD=DE,:.BE=DC

VAB=AE+EB,AE=AB,BE=DC

：.AB=AC+CD

【總結】考察截長補短輔助線的添法.

【作業(yè)3】已知：在△ABC中，AC=BC,NA05=90°,A。平分NB4C交5c于點D

求證：AB=AC+CD.

【解析】過。作。ELA3,垂足為E

?：ZACD二ZAED,ZCAD=ZEAD,AD=AD

:.ACAD^ZXJEAD

:?CD=DE,AC=AE

u

\AC=BCfZACB=90°,，ZB=45。

9：DELAB,：.ZB=ZBDE,：.DE=BE

,:CD=DE,：.CD=BE

VAB=AE-vBE,CD=BE,AC=AE

：.AB=AC+CD.

【總結】考察截長補短輔助線的添法.

【作業(yè)4】已知△ABC和均為等邊三角形，求證：BD+DC=AD.

【解析】VZABC=ZEBD=60°

,ZABE+ZEBC=/EBC+/CBD,ZABE=ZCBD

'：AB=BC,ZABE=NCBD,EB=BD

：./\ABEdCBO(S.AS),

AAE=CD,Z1=Z2

?；AD=AE+ED，AE=CD,BD=ED

：.BD+DC=AD.

【總結】考察三角形全等三角形判定和性質(zhì).

【作業(yè)5】己知直角△48C中，NCA8=900點拉、E在邊8C上，NCAE=/B,E是CD

的中點，且AQ平分N8AE；求證：BD=AC.

：.AC=AD,ZCAE=ZDAE

U

：ZCAE=ZB,：.ZB=ZDAEf

■:NDAE=NDAB,：.ZB=ZDAB

：.DA=DB

VAC=AD,：.BD=AC.

【總結】考察角度之間的關系的處理方法主要利用三角形的外角性質(zhì)和角的和差進行說明.

【作業(yè)6】如圖，已知點。是A3的中點，點石在CQ上，AE=BD,求證：ZAEC=ZCDB.

【答案】見解析

【解析】延長EC至點P,使得CT=CE,聯(lián)結8P

VCE=CF,ZACE=ZBCF,AC=CB

：./\AECQ/XBFC

:?AE=BF,AF=ZAEC

\*AE=BDf:?BF=BD,：.ZCDB=ZF

VZF=ZAEC,:?/AEC二/CDB.

【總結】考察倍長中線輔助線的做法.

【作業(yè)7】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,點。是A8上一點，E是AC延長線上一

點，聯(lián)結OE交8C于點M'求證：BD=CE.

【答案】見解析

【解析】過。作。尸〃AE交8C于尸

DF//AE,：.ZDFM=ZMCE

?：DM二ME,NDFM=ZMCE,/EMC=ADMF

JAECM^/\DFM

：.FD=CE

,:DF〃AE,：.ZDFB=ZACB

u

：AB=ACf：.ZB=ZACBf

：.ZB=ZDFB