專題01 解直角三角形重要模型之實(shí)際應(yīng)用模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題01解直角三角形重要模型之實(shí)際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一（也可理解為相似三角形的一種特殊情況），直角三角形邊、角關(guān)系的知識(shí)是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時(shí)要注意三角函數(shù)的選取，避免計(jì)算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點(diǎn)講解解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用模型?！局R(shí)儲(chǔ)備】圖1圖2圖3圖4圖5如圖1，30°-60°-90°三邊比值；如圖2，45°-45°-90°三邊比值如圖3，30°-30°-120°三邊比值；如圖4，30°-45°-105°三邊比值如圖5，45°-60°-75°三邊比值。上面五個(gè)結(jié)論在于練習(xí)勾股定理和方程，沒有用到三角函數(shù)。其實(shí)三角函數(shù)相關(guān)題目的輔助線也類似，即作垂線，把角放在直角三角形中來研究。最后希望大家能夠自己動(dòng)手計(jì)算并研究這些特殊角度三角形的三邊比值。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.背靠背模型 2模型1.背靠背模型 6模型3.擁抱模型 8 12模型1.背靠背模型背靠背模型：如圖，若三角形中有已知角時(shí)，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵。圖1圖2圖3圖4圖5重要等量關(guān)系：如圖1，CD為公共邊，則AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，則CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，則AD+CE+BF=AB；如圖4，DE=BF，BD=EF，則AE+EF=AF；如圖5，BE=CF，CE=BF，則AE+EB=AB。例1．（2024·湖南邵陽·二模）香爐洲大橋項(xiàng)目位于長沙市望城區(qū)，是目前湘江上跨度最大、主塔最高的獨(dú)塔斜拉橋，預(yù)計(jì)2024年5月建成．某數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)和所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)該橋主塔的高度進(jìn)行了測(cè)量．已知他們?cè)邳c(diǎn)處測(cè)得主塔底端的俯角為，測(cè)得主塔頂端的仰角為，如圖所示，此時(shí)無人機(jī)到主塔的水平距離為200米，求香爐洲大橋的主塔高度．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】香爐洲大橋的主塔高度約為202米【分析】根據(jù)題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，在中，米，，（米，在中，，（米，（米，香爐洲大橋的主塔高度約為202米．例2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量大樓的高度．如圖，無人機(jī)在離地面40米的處，測(cè)得操控者的俯角為，測(cè)得樓樓頂處的俯角為，又經(jīng)過人工測(cè)量得到操控者和大樓之間的水平距離是80米，則樓的高度是多少米？（點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】樓的高度為米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．過作于，過作于，則四邊形是矩形，則，，由題意知，，根據(jù)求的值，根據(jù)求的值即可．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，則四邊形是矩形，∴，，由題意知，，∴，∴，∴樓的高度為米．例3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在某小區(qū)內(nèi)有兩棟樓房（A樓在B樓的左側(cè)）從A樓向B樓的樓底看去，若視線大地的夾角，從B樓向A樓樓頂?shù)淖钭髠?cè)看去，視線與樓頂?shù)膴A角，若兩樓樓體均與地面垂直，兩樓樓體均寬5米，A樓高米，求B樓的高．（可能有用的數(shù)據(jù)：、、）【答案】米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，延長交于，分別解直角三角形和直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長交于，如圖所示：，，米，米，米，又，，米，又米，米．例4．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽光線，，，點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測(cè)量，，，．（結(jié)果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長；(2)求“大碗”的高度的長．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)“大碗”的口徑的長為；(2)“大碗”的高度的長為．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）證明四邊形是矩形，利用，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；（2）延長交于點(diǎn)，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，求得的長，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，答：“大碗”的口徑的長為；（2）解：延長交于點(diǎn)，如圖，∵矩形碗底，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，答：“大碗”的高度的長為．模型2.母子模型圖1圖2圖3圖4母子模型：若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個(gè)三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。重要等量關(guān)系：如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為米的測(cè)角儀，對(duì)垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至處，于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角，的延長線交于點(diǎn)E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】17.5米【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，由題意可得四邊形是矩形，則．解直角三角形得到，進(jìn)而得到，據(jù)此求出即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知四邊形是矩形，．如圖，．，．，．（米）答：建筑物的高度約為米．例2．（2024·安徽合肥·三模）昌景黃高鐵于2023年底通車運(yùn)行，在設(shè)計(jì)線路圖時(shí)，有很多地方需要打隧道．如圖就是某隧道示意圖，為了測(cè)量隧道的長度，施工隊(duì)用無人機(jī)在距地面高度為200米的C處測(cè)得隧道南北兩端A、B的俯角、（已知A、B、C三點(diǎn)在同一平面上），求該隧道南北兩端A、B的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）【答案】隧道南北兩端A、B的距離約為155米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，分別過A、B兩點(diǎn)作于E，于F，解直角三角形得出（米），（米），求出結(jié)果即可．【詳解】解：分別過A、B兩點(diǎn)作于E，于F，如圖所示：在中，，米，，（米）．

在中，，，（米）．（米）．答：隧道南北兩端A、B的距離約為155米．例3．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測(cè)量無人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)A，B．無人機(jī)懸停在C處，此時(shí)在A處測(cè)得C的仰角為無人機(jī)垂直上升懸停在D處，此時(shí)在B處測(cè)得D的仰角為點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在的同側(cè)．求無人機(jī)在C處時(shí)離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，設(shè)，則，根據(jù)仰角，解直角三角形計(jì)算即可．本題考查了仰角解直角三角形，分式方程的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，設(shè)，則，在中，，則，則；在中，，則解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解．∴．答：無人機(jī)在C處時(shí)離地面．例4．（2024·廣東中山·三模）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河對(duì)岸大樹的高度，他在點(diǎn)處測(cè)得大樹頂端的仰角為，再從點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點(diǎn)，在點(diǎn)處測(cè)得樹頂端的仰角為，若斜面的坡度為：3（點(diǎn)、、在同一水平線上）．(1)求王剛同學(xué)從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中上升的高度；(2)求大樹的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)1米(2)米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)H，設(shè)米，米，在中運(yùn)用勾股定理列方程求解即可；（2）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)米，再證四邊形為矩形可得米、，進(jìn)而得到，最后根據(jù)正切函數(shù)列方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)H，由題意知米，斜面的坡度為，，設(shè)米，米，在中，，，解得：，舍，米．答：王剛同學(xué)從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中上升的高度為米．（2）解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)米，，四邊形為矩形，米，米，，米，米，，在中，，，解得：，米．答：大樹的高度是米．例5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，是南昌八一起義紀(jì)念塔，象征著革命的勝利．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們欲測(cè)量塔的高度．如圖2，他們?cè)诘谝粚涌磁_(tái)上架設(shè)測(cè)角儀，從處測(cè)得塔的最高點(diǎn)的仰角為，測(cè)出，臺(tái)階可抽象為線段，，臺(tái)階的坡角為，測(cè)角儀的高度為，塔身可抽象成線段．(1)求測(cè)角儀與塔身的水平距離；(2)求塔身的高度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．（1）延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，易得，根據(jù)勾股定理得出，最后即可解答；（2）由（1）可知，，根據(jù)題意得出，，，則，，根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，由題意可知，，，，，，答：測(cè)角儀與塔身的水平距離為；（2）解：由（1）可知，，由題意可知，，，，，，，答：塔身的高度約為．例6.（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）奇山秀水聚寶盆——湖南首屆旅游大會(huì)在張家界召開．如圖①為某景區(qū)山地剖面圖，為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在山上修建觀光索道．如圖②所示為索道的設(shè)計(jì)示意圖，以山頂為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山腳處，中途觀光平臺(tái)為，且與平行．索道與水平線的夾角為，與水平線夾角為，、兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求索道的長（結(jié)果精確到0.）；(2)求水平距離的長（結(jié)果精確到0.）．【答案】(1)的長約為600m(2)的長為1049m【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．（1）通過解可求得的長；（2）延長交于G，證明四邊形是矩形，可得，，再解可求解的長，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）在中，，，，∴，即的長約為600m；（2）延長交于G，∵，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∵，，∴，∴，即的長為1049m．模型3.擁抱模型擁抱模型：如圖，分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。圖1圖2圖3圖4重要等量關(guān)系：如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（23-24九年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期中）無影塔位于河南汝南城南，相傳冬至正午無塔影，故稱無影塔；相傳為唐代和尚悟穎所建，故又稱“悟穎塔”．無影塔被國務(wù)院批準(zhǔn)為國家級(jí)重點(diǎn)文物保護(hù)單位．某校數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)欲測(cè)量其高度，他們把測(cè)量無影塔的高度作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量．他們從無影塔頂部處測(cè)得無影塔附近一棵大樹的底部處的俯角是，從無影塔底部處測(cè)得這棵樹頂部處的仰角是，大樹的高米．為了減小測(cè)量誤差；小組在測(cè)量兩個(gè)角的度數(shù)和大樹高度時(shí)．都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表（不完整）．課題測(cè)量無影塔的高度成員組長：組員：、、測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器，皮尺等測(cè)量示意圖

說明：線段表示大樹，線段表示無影塔，點(diǎn)、在同一條直線上，且點(diǎn)、、、都在同豎直平面內(nèi)．測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次平均值5.96.1任務(wù)一：表中______，______，______；任務(wù)二：請(qǐng)你幫小組的同學(xué)求出無影塔的高度（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，，，）；【答案】任務(wù)一：，，；任務(wù)二：無影塔的高度的高度米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題以及平均數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：由平均數(shù)的定義分別列式計(jì)算即可；任務(wù)二：由銳角三角函數(shù)定義求出的長，再由銳角三角函數(shù)定義求出的長即可．【詳解】解：任務(wù)一：，，，故答案為：，，6；任務(wù)二：由題意可知，米，，，，（米，，（米，答：無影塔的高度的高度約為米．例2．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）赤水河畔的“美酒河”三個(gè)大字，是世界上最大的摩崖石刻漢字．小茜想測(cè)量絕壁上“美”字的高度，根據(jù)平面鏡反射原理可推出入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角（如圖中，），具體操作如下：將平面鏡水平放置于處，小茜站在處觀測(cè)，俯角時(shí)，恰好通過平面鏡看到“美”字頂端處（為小茜眼睛到地面的高度），再將平面鏡水平放置于處觀測(cè)，俯角時(shí)，恰好通過平面鏡看到“美”字底端處．測(cè)得，，點(diǎn)，，，在同一水平線上，點(diǎn)，，在同一鉛垂線上．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)的高度為__________，的長為__________；(2)求“美”字的高度．【答案】(1)，2(2)【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明是等腰直角三角形，即可求得，解直角三角形即可求得；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)一步求得，然后解直角三角形即可求得，即可求得．【詳解】（1）解：，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，；故答案為：，2；（2），，，由題意可知，，，在中，，，即“美”字的高度約為．例3．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某小山高412米，其斜坡的坡度為，它的前面有一座建筑物．為了測(cè)量建筑物的高度，在山頂D和坡底C測(cè)的建筑物頂端A的俯角和仰角分別為，．求建筑物的高度．（結(jié)果精確到0.1米，）【答案】建筑物的高度約為米．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．由米，斜坡的坡度為，得到米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，過A作于H，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：在中，∵米，斜坡的坡度為，∴米，在中，∵，∴，即,過A作于H，則，在中，，∴，∴．答：建筑物的高度約為米．1．（2024·河北保定·一模）如圖，為了測(cè)量空中某點(diǎn)離地面的高度，小敏利用測(cè)角儀在點(diǎn)、分別測(cè)得的仰角為，為，地面上點(diǎn)、、在同一水平直線上，，則點(diǎn)離地面的高度AD長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角函數(shù)解直角三角形．根據(jù)題意可設(shè)，再利用中即可得到本題答案．【詳解】解：由題意可知，，∴∵為，∴，∴設(shè)，∵，∴，∴在中，，解得：，點(diǎn)離地面的高度長為故選：．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）陳垣是中國杰出的歷史學(xué)家、教育家，陳垣故居位于廣東省江門市，故居的前面矗立著陳垣先生的半身塑像，如圖，從塑像正前方距離底座D點(diǎn)2米的A點(diǎn)處測(cè)量，塑像底部C點(diǎn)的仰角為，頂部B點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，則塑像的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在中，，在中，，即可求出答案.【詳解】解：由題意得，在中，，在中，，∴米．故選：C3．（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖所示，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為，看這棟樓底部C處的俯角為，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，在中，，，在中，，，，這棟樓的高度為，故選：A．4．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）圖分別是某吊車在吊一物品時(shí)的實(shí)物圖與示意圖，已知吊車底盤CD的高度為米，支架的長為米，的坡度為，吊繩AB與支架的夾角為，吊臂與地面成角，求吊車的吊臂頂端點(diǎn)距地面的高度是（

）米？（精確到米；參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，由題意可得，，米，米，，，由的坡度為，可得，進(jìn)而得到，即得，得到，過點(diǎn)作于，可得米，解得米，進(jìn)而解可得米，即可得到米，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，由題可知，，，米，米，，，∵的坡度為，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，過點(diǎn)作于，∴米，∵在中，米，，∴，∴米，∵在中，米，，∴，∴米，∴米，∴點(diǎn)到地面的距離為米，故選：．5．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，建筑物CD高度為，從建筑物AB的樓頂測(cè)得點(diǎn)的俯角為，測(cè)得點(diǎn)俯角為，則AB的長為．（已知，結(jié)果保留一位小數(shù)．）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形?仰角俯角問題，矩形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，過作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，得，，設(shè)，則，再根據(jù)解直角三角形和解方程即可求解，根據(jù)題意條件并結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過作于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∴，，由題意得：，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：為原方程的解，且符合題意，∴，故答案為：．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）2024年4月25日20時(shí)59分，運(yùn)載火箭托舉著神舟十八號(hào)載人飛船，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，送航天員奔赴“天宮”，如圖，神舟十八號(hào)載人飛船從地面處成功發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面處的雷達(dá)站測(cè)得米，仰角為37°，0.3秒后，飛船直線上升到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)地面處的雷達(dá)站測(cè)得處的仰角為，點(diǎn)在同一直線上，已知兩處相距460米，則飛船從A到處的平均速度為米/秒．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：）【答案】1133【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可得：,先在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而求出的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出AB的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答.【詳解】由題意得：,在中,米,,(米),，解得：米，米，∵米,∴米，在中,∠BCO=45°,∴米，米，∴飛船從到處的平均速度(米/秒),故答案為:.7．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）由綠地集團(tuán)耗資22億建設(shè)的“大玉米”位于河南省省會(huì)鄭州市鄭東新區(qū)，因?yàn)槠涫菆A柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計(jì)，因此得名，如今已經(jīng)成為CBD的一座新地標(biāo)建筑．某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)“大玉米”頂端C處的仰角是45°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)“大玉米”底部D處的俯角是30°．已知樓房AB高約是162m，根據(jù)以上觀測(cè)數(shù)據(jù)求“大玉米”的高．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【答案】280米【分析】在Rt△ABD中由邊角關(guān)系求出AD的長，在Rt△ACD中，求出CD即可．【詳解】解：如圖，由題意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，在Rt△ABD中，∵tan30°，∴AD162（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝162280（米），答：“大玉米”的高約為280米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．8．（2024·浙江·二模）高樓和斜坡的縱截面如圖所示，斜坡的底部點(diǎn)C與高樓的水平距離為30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡頂D到BC的垂直距離米，在點(diǎn)D處測(cè)得高樓樓頂點(diǎn)A的仰角為，求樓的高度（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】高樓的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中得仰角俯角問題，坡度坡角問題，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的長，從而求出，的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：如圖，過D作，∵，∴四邊形是矩形，∴米，，由題意，得，∴米，∵米，∴米，在中，，∴米，∴米．答：高樓的高度AB為17.2米．9．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，某景區(qū)為方便游客上下山，現(xiàn)在從甲山處的位置向乙山處拉一段纜繩．已知甲山上點(diǎn)到的垂直高度米；從處往處看的仰角為，乙山上點(diǎn)到河邊的距離米，從處看處的俯角為．（、、、在同一平面內(nèi)，參考值：，，，）。(1)求乙山處到河邊的垂直距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求甲山與乙山所拉纜繩的長度（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．（1）過點(diǎn)B作，垂足為E，根據(jù)已知可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)A作，垂足為F，根據(jù)題意可得：米，，從而可得，再利用（1）的結(jié)論可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長即可解答．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)B作，垂足為E，∵從處往處看的仰角為，∴，∴設(shè)米，則米，在中，（米），∵米，∴，∴米，∴乙山B處到河邊的垂直距離為米；（2）如圖，過點(diǎn)A作，垂足為F，由題意得：米，，∴，∵米，∴（米），在中，（米），∴甲山與乙山所拉纜繩的長度約為米．10．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）【綜合與實(shí)踐】如圖1，光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，其中代表入射角，代表折射角．學(xué)習(xí)小組查閱資料了解到，若，則把稱為折射率．（參考數(shù)據(jù)：，）【實(shí)踐操作】如圖2，為了進(jìn)一步研究光的折射現(xiàn)象，學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：將激光筆固定在處，光線可沿照射到空容器底部處，將水加至處，且時(shí)，光點(diǎn)移動(dòng)到處，此時(shí)測(cè)得，四邊形是矩形，是法線．【問題解決】(1)求入射角的度數(shù)；(2)請(qǐng)求出光線從空氣射入水中的折射率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用正切函數(shù)解答即可；（2）作于點(diǎn)，利用勾股定理，折射率的定義解答即可．【詳解】（1）解：如圖2，，，入射角約為．（2）解：如圖2，作于點(diǎn)，在中，，在中，，光線從空氣射入水中的折射率，光線從空氣射入水中的折射率．【點(diǎn)睛】本題考查了跨學(xué)科綜合，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，與物理的融合，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是某校九（1）班的勞動(dòng)實(shí)踐基地，經(jīng)測(cè)量，，，，，求的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

【答案】的長約為【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．證明四邊形是矩形．則，，．證明是等腰直角三角形．在中，得到，則，得到．再求出．即可得到．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．

又∵，∴四邊形是矩形．∴，，．∵，∴．∴是等腰直角三角形．在中，，，．∴∴，．在中，，，∴．∴，即的長約為．12．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）貴陽烏當(dāng)惜字塔位于貴陽市烏當(dāng)區(qū)，它是貴陽當(dāng)?shù)貧v史悠久的古塔之一，也是唯一一座與愛惜文字有關(guān)的古塔．某校九年級(jí)的一個(gè)班級(jí)利用周末時(shí)間開展“測(cè)量烏當(dāng)惜字塔高度”的實(shí)踐活動(dòng)，想得到烏當(dāng)惜字塔的高度．如圖，烏當(dāng)惜字塔垂直于地面，在塔的兩側(cè)不遠(yuǎn)處取C，D兩點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)之間的距離為，并測(cè)量出，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，結(jié)果保留一位小數(shù)．）

(1)求烏當(dāng)惜字塔的高度；(2)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在塔身第三層的位置鐫嵌著“過”、“化”、“存”、“神”四個(gè)大字，于是在D點(diǎn)觀察第三層時(shí)測(cè)量到，求四個(gè)大字所在的第三層距離地面的高度．【答案】(1)(2)四個(gè)大字所在的第三層距離地面的高度約為．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)，分別解和求出，，進(jìn)而可得，解方程即可得到答案；（2）由（1）可得，再解求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，解得，∴烏當(dāng)惜字塔的高度約為；（2）解：由（1）得，，∴，在中，，∴，∴四個(gè)大字所在的第三層距離地面的高度約為．13．（2024·安徽合肥·三模）一大型建筑如圖所示，，測(cè)得米，米．分別求的長．參考數(shù)據(jù)：．【答案】米；53.5米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)作于于，列式得出米，米，然后再在中，，代入數(shù)值計(jì)算，得米．米，最后米，即可作答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于于，在中．米．米，米，米，（米）．．在中，，米．米，（米），答：的長分別約為50米，53.5米．14．（2024·山西·三模）學(xué)校操場(chǎng)的主席臺(tái)安裝了如圖1所示的遮陽棚，其截面示意圖如圖2所示，其中四邊形是矩形，主席臺(tái)高米．上午某時(shí)刻經(jīng)過點(diǎn)E的太陽光線恰好照射在上的點(diǎn)F處，測(cè)得，遮陽棚在主席臺(tái)陰影區(qū)域的寬度米；一段時(shí)間后，經(jīng)過點(diǎn)E的太陽光線恰好照射在上的點(diǎn)G處，測(cè)得，遮陽棚在主席臺(tái)陰影區(qū)域的寬度米，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均在同一豎直平面內(nèi)，求點(diǎn)E距離地面的高度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】點(diǎn)距離地面的高度約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)的長度為米，在中，利用三角函數(shù)求得，在中，利用三角函數(shù)求得，再根據(jù)列方程，求出a值，即可得到答案．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，米，設(shè)的長度為米，由題意得，在中，，，，，在中，，，，，米，米，米，米，即，解得，米．答：點(diǎn)距離地面的高度約為5.8米．15．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某興趣小組想利用所學(xué)過的測(cè)量知識(shí)來測(cè)量學(xué)校內(nèi)旗桿和居民樓的高度，首先在旗桿與居民樓之間的A點(diǎn)放置測(cè)角儀，記為，測(cè)得點(diǎn)C和點(diǎn)E的仰角分別為和，然后向居民樓方向前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)B處放置測(cè)角儀，記作，測(cè)得點(diǎn)C和點(diǎn)E的仰角分別為和，已知所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)D、B、A、F在同一直線上，測(cè)角儀的高度為米，求旗桿的高度和居民樓的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】旗桿高度為米，居民樓高度為米【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，連接并延長分別交于點(diǎn)H、G，證明，再證明，得到.在中，，得到.證明四邊形是矩形，則，即可得到，在中，，設(shè)，，則，在中，.則.得到，解得，則，由四邊形是矩形，得到，即可得到．【詳解】解：連接并延長分別交于點(diǎn)H、G，則，，∴四邊形是矩形.∴，根據(jù)題意得到，.∴.∴，∴.在中，，∴.∵∴四邊形是矩形，∴，∴在中，，設(shè)，，∴，在中，.∴.∴∴，∵四邊形是矩形，∴，∴.答：旗桿高度為米，居民樓高度為米16．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，，壩高，斜坡的坡度為，斜坡的坡角，求壩底的長．【答案】【分析】根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，坡比的意義，解直角三角形的知識(shí)解答即可．本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，坡比的計(jì)算，解直角三角形，熟練掌握坡比的計(jì)算，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：四邊形為矩形，∴，在中，，，∴．∵斜坡的坡度為，∴，則，答：壩底的長為．17．（23-24九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期中）隨著南海局勢(shì)的升級(jí)，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機(jī)場(chǎng)，設(shè)立雷達(dá)塔．某日，在雷達(dá)塔A處偵測(cè)到東北方向上的點(diǎn)B處有一艘菲律賓漁船進(jìn)入我方偵測(cè)區(qū)域，且以30海里/時(shí)的速度往正南方向航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了1小時(shí)10分到達(dá)點(diǎn)A南偏東方向的C處，與此同時(shí)我方立即通知（通知時(shí)間忽略不計(jì)）與A、C在一條直線上的中國海警船往正西方向?qū)υ摑O船進(jìn)行偵測(cè)攔截，其中海警船位于與A相距100海里的D處．(1)求的距離和點(diǎn)D到直線的距離；(2)若海警船航行速度為40海里/時(shí)，可偵測(cè)半徑為25海里，當(dāng)海警船航行1小時(shí)時(shí)，是否可以偵測(cè)到菲律賓漁船，為什么？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)的距離為25海里，點(diǎn)D到直線的距離為60海里(2)可以偵測(cè)到菲律賓漁船，理由見解析【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用：（1）作于E，于F，根據(jù)方向角和銳角三角函數(shù)的定義求出，求出，根據(jù)題意求出，根據(jù)正弦的定義求出；（2）設(shè)1小時(shí)后，海警船到達(dá)點(diǎn)，菲律賓漁船到達(dá)點(diǎn)，分別求出的長，勾股定理求出的長，判斷即可．【詳解】（1）解：作于E，于F，由題意得，，設(shè)海里，∵，∴，∴，解得，，∴，∴，∴，∴，答：的距離為25海里，點(diǎn)D到直線的距離為60海里；（2）能，理由如下：設(shè)1小時(shí)后，海警船到達(dá)點(diǎn)，菲律賓漁船到達(dá)點(diǎn)，則，，由（1）知，∴，，由勾股定理，得：故可以偵測(cè)到菲律賓漁船．18．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設(shè)立在邊的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點(diǎn)到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】(1)，(2)2.0千米(3)【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）求出正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；（3）連接并延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：，∴，；故答案為：；（2）過點(diǎn)作，垂足為．在中，，，．在中，，．答：點(diǎn)到道路的距離為2.0千米．（3）連接并延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．正八邊形的外角均為，在中，．．又，，．∵，∴，，即，，．答：小李離點(diǎn)不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響．19．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖．圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個(gè)主視圖．圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時(shí)點(diǎn)E落在上，已知，，點(diǎn)D、F、G、J在上，、、、均與所在直線平行，，．點(diǎn)N在上，、的長度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖，此時(shí)、重合，點(diǎn)、、、、、在上的位置如圖所示．【分析問題】（1）如圖5，用圖中的線段填空：_________；（2）如圖4，_________，由，且的長度不變，可得與之間的數(shù)量關(guān)系為_________；【解決問題】（3）求的長．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）；（2）可推出四邊形是平行四邊形，從而，從而，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）作于，解直角三角形求得和，進(jìn)而表示出，在直角三角形中根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：（1），，故答案為：；（2）、、、均與所在直線平行，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，故答案為：，；（3）如圖，作于，，，，，設(shè)，則，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段