專題10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型解讀與提分精練（全國）

專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的?？停⑶倚问蕉鄻?，內容新穎，能較好地考查同學們的應用意識和思維能力。在歷年中考當中，很多考生因為在處理等腰三角形和直角三角形有關的多解問題時，常常考慮不全面，導致漏解丟分。在學習等腰或直角三角形的性質和判定時，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認真對待。本專題將把特殊三角形分類討論情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型 2模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型 5模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型 13模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型 15 26模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角與底角兩種情況進行分類討論。當然有時候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和腰的原理相同。2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上高與底邊高、界內高與界外高兩種情況進行分類討論。例1．（24-25九年級上·山東·期末）若等腰內接于，，，則底角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或例2．（2023·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．例3．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對例4．（2024八年級上·湖北·專題練習）等腰三角形三邊長分別為，，，則等腰三角形的周長為（

）A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4例5．（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習）等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型1）等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結合三角形三邊關系分腰與底邊兩種情況進行分類討論。2）坐標系中的等腰三角形的分類討論。等腰三角形的兩種分類討論方法方法1.

“兩圓一線”；（一般符合“兩個定點一個動點”的等腰三角形）。如圖：已知，兩點是定點，在坐標軸上找一點構成等腰。①以已知線段為底作它的垂直平分線，與坐標軸的交點即為點P（有2個）；②以已知線段為腰：用線段的兩個端點為圓心，線段長為半徑，分別作圓。（以為圓心的有4個，以為圓心的有2個）。具體題目要通過計算這些點的坐標來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。方法2.

“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。若是“兩個動點一個定點”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩圓一線”確定符合等腰三角形的點可能有幾個及這些點的大致位置。例1．（2024·山東·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，若為軸上一點，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例2．（2023·福建南平·八年級校考期中）已知△ABC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關于點B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．例3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

例4．（2023春·四川達州·八年級校考期中）在直角坐標系中，O為坐標原點，已知點A（1，2），點P是y軸正半軸上的一點，且△AOP為等腰三角形，則點P的坐標為．例5．（2024·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖1，中，于D，且，(1)試說明是等腰三角形；(2)已知，如圖2，動點M從點B出發(fā)以每秒的速度沿線段向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設點M運動的時間為t（秒），①若的邊與平行，求t的值；②若點E是邊的中點，問在點M運動的過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．例6．（2024·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經(jīng)過的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點，直線交x軸負半軸于點D，若的面積為

(1)求直線的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段上（不與點重合），過點P作x軸的平行線交于點E，設的長為，求y與m之間的函數(shù)關系式并直接寫出相應的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型若直角三角形沒有明確誰直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進行討論。例1．（2024·浙江嘉興·三模）已知直角三角形兩邊長為3，4，則該直角三角形斜邊上的中線長為（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或例2．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當為直角三角形時，則的度數(shù)為．例3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在中，，，，點D是的中點，點E是斜邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點F，若為直角三角形，則的長為．

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型直角三角形存在性的問題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點是否確定。若不確定，則需要進行分類討論，如下面模型構建。直角三角形存在性的問題常考背景有翻折（折疊）、動點、旋轉等。“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見與坐標系綜合、或結合翻折（折疊）、動點、旋轉等）。問題：已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為直角三角形．分三種情況，如圖：①以A為直角頂點，即∠BAP＝90°：過點A作AB的垂線，與已知直線l的交點P1即為所求；②以B為直角頂點，即∠ABP＝90°：過點B作AB的垂線，與已知直線l的交點P2即為所求；③以P為直角頂點，即∠APB＝90°：以AB的中點Q為圓心，QA的長為半徑畫圓，與已知直線l的交點P3，P4即為所求．代數(shù)法計算：分別表示出點A，B，P的坐標，再分別表示出AB，AP和BP的長，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分別列方程求解．若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況不存在。幾何法計算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過添加輔助線構造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解．例1．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖，已知，C為坐標軸上一點，且是直角三角形，則滿足條件的C點有(

)個．A．6 B．7 C．8 D．9例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點的坐標為．

例3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖所示，在中，，點是射線上的一個動點．（1）當為直角三角形時，的長為．（2）若點在邊的下方，當為直角三角形時，的長為．例4．（23-24九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，等邊的邊長為，點Q是的中點，若動點P以的速度從點A出發(fā)沿方向運動，設運動時間為t秒，連接，當是直角三角形時，則t的值為秒．例5．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(0，2)，△ABO為等邊三角形，P是x軸上的一個動點（不與O點重合），將線段AP繞A點按逆時針旋轉60°，P點的對應點為點Q，連接OQ，BQ。(1)點B的坐標為；(2)①如圖①，當點P在x軸負半軸運動時，求證：∠ABQ=90°；②當點P在x軸正半軸運動時，①中的結論是否仍然成立？請補全圖②，并作出判斷（不需要說明理由）；(3)在點P運動的過程中，若△OBQ是直角三角形，直接寫出點P的坐標.例6．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【模型構建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學解題中被廣泛使用．【模型應用】(1)如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若，則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直線繞點A逆時針旋轉得到直線l，求直線l對應的函數(shù)表達式；【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負半軸上，，過點A作軸交直線于點B，P是直線上的動點，Q是y軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

1．（2023秋·廣東八年級課時練習）若是等腰三角形，，則的度數(shù)是（

）A．或B．或C．或D．或或2．（2024·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點關于軸的對稱點，點是軸上的一個動點，當是等腰三角形時，值個數(shù)是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）在平面直角坐標系中，過原點及點、作長方形，的平分線交于點.點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動；同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設移動時間為秒，當為直角三角形時為（

）A．2或B．2或C．或D．2或或4．（23-24八年級下·江西九江·期末）如圖，在中，，將一塊足夠大的直角三角尺（，）按如圖放置，頂點P在邊AC上滑動，三角尺的直角邊始終經(jīng)過點B，斜邊交于點D，若點P在滑動中恰能使與均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為．5．（2023春·湖北襄陽·九年級校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角的度數(shù)是．6．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在中，，點分別是的中點，在射線上有一動點，若是直角三角形，則的長為．

7．（2024·河南鄭州·三模）在矩形中，，為CD的中點，取的中點，連接，當為直角三角形時，的長為．8．（2024·浙江杭州·模擬預測）如圖，在中，，，，點是的中點，點是邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點，若為直角三角形，則的長為．9.（2024·江西南昌·模擬預測）在中，，，，點為平行四邊形邊上的動點，且滿足是直角三角形，則的長度是．10．（2024·江西南昌·模擬預測）在平面直角坐標系中，的頂點，的坐標分別為，，點繞點順時針旋轉到點，連接，，若為直角三角形，則點到軸的距離為．11．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，已知在矩形紙片中，，，點是的中點，點是邊上的一個動點，將沿所在直線翻折，得到，連接，，則當是等腰三角形時，的長是．12．（2023春·河南開封·八年級校考期中）有一面積為的等腰三角形，它的一個內角是，則以它的腰長為邊的正方形的面積為．13．（2023·安徽·九年級專題練習）在矩形中，，，點，分別為，上的兩個動點，將沿折疊，點的對應點為，若點落在射線上，且恰為直角三角形，則線段的長為．14．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，點在邊上，，點為邊上一動點，連接，與關于所在的直線對稱，點，分別為，的中點，連接并延長交所在直線于點，連接，當為直角三角形時，的長為15．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖1，是的“雙等腰線”，、是的“三等腰線”．(1)請在圖2三個圖中，分別畫出的“雙等腰線”，并做必要的標注或說明．①；②，；③，(2)如果一個等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)