專(zhuān)題25 相似模型之母子型（共邊共角）模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專(zhuān)題25相似模型之母子型（共邊共角）模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專(zhuān)題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“母子型”模型（共邊共角模型） 1 6【知識(shí)儲(chǔ)備】母子型相似證明題一般思路方法:①由線(xiàn)段乘積相等轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線(xiàn)段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線(xiàn)段比例式中的個(gè)別線(xiàn)段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子型”模型（共邊共角模型）“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似。圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.證明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.證明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB.同理可證：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA4）共邊模型條件：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，，結(jié)論：；證明：∵對(duì)角線(xiàn)平分，∴∠ABD=∠CBC，∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴例1．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線(xiàn)，，，，則長(zhǎng)為（

）A． B．3 C．9 D．例2．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見(jiàn)，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形稱(chēng)為“黃金三角形”．(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形為“黃金三角形”，，，為的平分線(xiàn)．求證：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．(3)如圖3中，，，平分交于F，取的中點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

例3．（22-23八年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，已知，，則矩形的周長(zhǎng)為

例4．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問(wèn)題．射影定理，又稱(chēng)“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．例5．（2023·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，連接，，使，且．(1)請(qǐng)判定的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的面積．

例6．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在銳角三角形中，．以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接，若平分．(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的值．例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P是的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角．（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡點(diǎn)，且．①請(qǐng)找出圖中的一對(duì)相似三角形，并給出證明；②若的面積為，求的面積．例8．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．(1)初步探究：如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用：如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升：如圖4，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．1．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線(xiàn)分別交，于點(diǎn)．以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連結(jié)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．2．（2024·河北張家口·一模）如圖，點(diǎn)D在的邊上，添加一個(gè)條件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列說(shuō)法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件．證明：∵，．∴（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件．證明：∵,．∴（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題 B．往琛的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題C．天翼的做法添加的條件沒(méi)有問(wèn)題 D．往琛的做法添加的條件有問(wèn)題3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上(不與點(diǎn)，點(diǎn)重合)，，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是．

5．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線(xiàn)，為中點(diǎn)，連接．若，，則．

6．（23-24九年級(jí)下·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在中，．以點(diǎn)A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)D．分別以點(diǎn)D，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)交于點(diǎn)E，則的值為．7．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）如圖，點(diǎn)、在線(xiàn)段上，且是等腰直角的底邊．當(dāng)時(shí)（與、與分別為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），．

8．（2024·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離為_(kāi)_____．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．9．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．10．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線(xiàn)，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

11．（2024·湖北黃石·三模）已知菱形中，點(diǎn)E、G分別為邊、上一點(diǎn)，連接、．若，，，則的長(zhǎng)

12．（2024·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線(xiàn)段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時(shí)，試求CD的值．13．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求證：．15．（2024·四川南充·二模）在矩形中，，在邊上截取，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，證明．(3)如圖2，若，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，求的最小值及矩形的面積．16．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱(chēng)三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“2倍角三角形”，小康通過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對(duì)的邊分別為，若，則．下面是小康對(duì)“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過(guò)程：證法1：如圖1，作的平分線(xiàn)，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，……任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造出__________三角形來(lái)加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請(qǐng)補(bǔ)全證法2剩余的部分．17．（23-24九年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，．(1)求證：；(2)求的值．

18．（2023·廣東深圳·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角中，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)E，則有下列命題：①；②；③；請(qǐng)你從中選擇一個(gè)命題證明其真假，并寫(xiě)出證明過(guò)程；【類(lèi)比遷移】（2）如圖②所示，在等腰中，，，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)E，若，求的值；【拓展應(yīng)用】（3）在等腰中，，，，點(diǎn)D，O分別為射線(xiàn)，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)E，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用a，b表示）．19．（2024·遼寧大連·三模）【課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開(kāi)放探索”為主題，開(kāi)展了一節(jié)“綜合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課．課堂上，王老師給出了這樣一個(gè)圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維．【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：“如圖1，已知中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，連接．此時(shí)我們假設(shè)這個(gè)幾何圖形滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系．”【提出問(wèn)題】擅長(zhǎng)幾何的小胖同學(xué)經(jīng)過(guò)思索后，為題目增加如下條件，請(qǐng)你幫他作答．（1）“若，，再給出和的長(zhǎng)度，可以求出的長(zhǎng)度．”為了簡(jiǎn)化計(jì)算，王老師提出令，，，求的長(zhǎng)（結(jié)果無(wú)需化簡(jiǎn)）；（2）在小胖的啟發(fā)下，同學(xué)們紛紛開(kāi)始積極地進(jìn)行討論．后來(lái)，小明與他的小組更改了題目的部分信息，令點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，將條件“”改為了“”，其他條件不變，想要探究邊的關(guān)系．王老師根據(jù)他們關(guān)于題目的修改，提出問(wèn)題，請(qǐng)你解答．【拓展探索】“如圖2，已知中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，，若，探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)