專題14 三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型解讀與提分精練（全國）

專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型等腰（等邊）三角形是中學階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學的?？停⑶倚问蕉鄻?，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學們的相關能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型） 2模型2.等邊截等長模型（定角模型） 3模型3.等邊內(nèi)接等邊 4 8模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質(zhì)的應用，因為模型很像帽子，學習知識點的同時也增加了趣味性。條件：如圖，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，結(jié)論：①DF=FE；②。證明：如圖，過點D作交于H，則，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中,，∴，∴；∵，∴，∵，，∴，∴，∴．例1．（23-24八年級上·廣東中山·期末）如圖，中，，，點P從點B出發(fā)沿線段移動到點A停止，同時點Q從點C出發(fā)沿的延長線移動，并與點P同時停止．已知點P，Q移動的速度相同，連接與線段相交于點D(不考慮點P與點A，B重合時的情況)．(1)求證:；(2)求證:；(3)如圖，過點P作于點E，在點P，Q移動的過程中，線段的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由．例2．（24-25九年級上·山西臨汾·階段練習）綜合與探究問題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)，所在直線交直線于點M．猜想判斷：（1）當點D在邊的延長線上，點E在邊上時，過點E作交于點F，如圖①．若，則線段、的大小關系為_______．深入探究：（2）當點D在邊的延長線上，點E在邊的延長線上時，如圖②．若，判斷線段、的大小關系，并加以證明．拓展應用：（3）當點D在邊上（點D不與、重合），點E在邊的延長線上時，如圖③．若，，，求的長．例3．（2024·貴州銅仁·模擬預測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，連PQ交AC邊于D，當PA＝CQ時，DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4例4．（2024·河南·?？家荒＃﹩栴}背景：已知在中，邊AB上的動點D由A向B運動(與A，B不重合)，同時點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求的值．（1）初步嘗試：如圖①，若是等邊三角形，，且點D?E的運動速度相等，小王同學發(fā)現(xiàn)可以過點D作交AC于點G，先證，再證，從而求得的值為________；（2）類比探究：如圖②，若中，，且點D，E的運動速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如圖③，若在中，，記，且點D?E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程)．模型2.等邊截等長模型（定角模型）條件：如圖，在等邊中，點，分別在邊，上，且，與相交于點，于點．結(jié)論：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。證明：在等邊三角形中，，，在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；．，，∴BQ=2PQ．例1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．例2．（2024八年級·重慶·培優(yōu)）如圖，為等邊三角形，且與相交于點，則（

）．A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不確定例3．（23-24八年級·廣東中山·期中）如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與相交于點，于點．(1)求證：；(2)若，求的長．

例4．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在等邊三角形的，邊上各取一點，（均不與端點重合），且，，相交于點，下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．若，，則D．若，，則模型3.等邊內(nèi)接等邊圖1圖21）等邊內(nèi)接等邊（截取型）條件：如圖1，等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運動，且滿足AD=BE=CF；結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．在和中，∴（），∴．同理，∴，∴是等邊三角形．2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）條件：如圖，點、、分別在等邊的各邊上，且于點，于點，于點，結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，例1．（2024七年級下·成都·專題練習）如圖，過等邊三角形的頂點、、依次作、、的垂線、，三條垂線圍成，若，則的周長為（）A．12 B．18 C．20 D．24例2．（24-25九年級上·四川成都·階段練習）如圖，已知等邊三角形，點，，分別為邊上的黃金分割點（，，），連接，，，我們稱為的“內(nèi)含黃金三角形”，若在中任意取點，則該點落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是．例3．（23-24八年級下·廣東云浮·期中）如圖，點P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點P，于點M，于點N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．

例4．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運動，滿足．(1)求證：；(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．

1．（23-24九年級上·山西晉中·階段練習）如圖，是等邊三角形，點D，E分別在，上，且，，與相交于點F，則下列結(jié)論：①，②，③．其中正確的有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．（2024廣東九年級二模）如圖，在等邊三角形ABC中，點P，Q分別是AC，BC邊上的動點（都不與線段端點重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點O．下列四個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OP?AQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③3．（2024·廣西·一模）如圖，在等邊中，，點，分別在邊，上，且，連接，交于點，在點D從點B運動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）A． B． C． D．4．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接并延長交的延長線于點，連接，且，過點作于點交于點，過點作交的延長線于點，以下四個結(jié)論中：；；當時，；．正確的有（

）個．A． B． C． D．5．（2023·福建莆田·一模）如圖，和都是等邊三角形，將先向右平移得到，再繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)使得點，分別在邊和上．現(xiàn)給出以下兩個結(jié)論：①僅已知的周長，就可求五邊形的周長；②僅已知的面積，就可求五邊形的面積．下列說法正確的是（）A．①正確，②錯誤B．①錯誤，②正確C．①②均正確D．①②均錯誤6．（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點，且，連接，相交于點F，則下列說法正確的是（

）①；

②；③；④若，則A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④7．（23-24九年級上·四川達州·期末）如圖，ΔABC是等邊三角形，點分別在邊上，且與相交于點．若，則ΔABC的邊長等于（

）A．B．C．D．8．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）如圖所示，過等邊的頂點A，B，C依次作的垂線三條垂線圍成，已知，則的周長是．9．（23-24天津九年級上期中）如圖，點分別在正三角形的三邊上，且也是正三角形.若的邊長為，的邊長為，則的內(nèi)切圓半徑為．10．（2024·甘肅金昌·模擬預測）如圖，在等腰直角中，為的中點，為上一點，連接并延長，交的延長線于點，若，則的長為．11．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，過邊長為a的等邊的邊上一點P，作于E，Q為延長線上一點，當時，連交邊于D，則的長為．

12．（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O．若BO=6，PO=2，則AP的長，AO的長分別為．

13．（23-24八年級上·上海浦東新·期末）如圖，在等邊的，上各取一點D，E，使，，相交于點M，過點B作直線的垂線，垂足為H．若，則的長為．

14．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖，在三角形中，，，，與相交于點F，若，則E到的距離為．15．（23-24九年級下·河南商丘·階段練習）【問題提出】數(shù)學課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1，在等邊三角形中，點，分別在，邊上，，交于點，且．（1）線段，的數(shù)量關系為______，的度數(shù)為______．【類比探究】老師繼續(xù)提出問題，若改變的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？同學們根據(jù)老師的提問畫出圖形，如圖2，是等腰直角三角形，，點，分別在，邊上，，交于點，同學們發(fā)現(xiàn)，想要類比（1）中的探究過程得出結(jié)論，還需要確定線段，的數(shù)量關系．（2）請先將條件補充完整：線段，的數(shù)量關系為______；再根據(jù)圖2寫出線段，的數(shù)量關系和的度數(shù)，并說明理由．【拓展探究】（3）如圖3，是等腰直角三角形，，若點沿邊上一動點，點是射線上一動點，直線，交于點，在（2）的條件下，當動點沿邊從點移動到點（與點重合）時，請直接寫出運動過程中長的最大值和最小值．16．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連結(jié)，交于點．(1)求證：；(2)連接，若時，①求的值；②設的面積為，四邊形的面積為，求的值．17．（23-24九年級下·上海寶山·階段練習）如圖（1），已知是等邊三角形，點D、E、F分別在邊、、上，且．(1)試說明是等邊三角形的理由．(2)分別連接與相交于O點（如圖（2）），求的大小．(3)將繞F點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到圖（3），與平行嗎？說明理由．18．（23-24八年級下·遼寧沈陽·開學考試）中，點D是邊中點，過點D的直線交邊于點M，交邊的延長線于點N，且．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，請直接寫出線段的數(shù)量關系．19．（2024·廣西南寧·模擬預測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊上運動，滿足．(1)求證：；(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．20．（23-24山東八年級上期中）問題背景：課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：①如圖（1），在正△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖（2），在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運用類似的思想提出了如下命題：③如圖（3），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務要求：（1）請你從①②③三個命題中選擇一個進行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索；①在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當∠BON等于多少度時，結(jié)論BM＝CN成立（不要求證明）；②如圖（4），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，∠BON＝108°時，試問結(jié)論BM＝CN是否成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．21．（23-24九年級·四川綿陽·期末）小明在學習過程中，對教材的一個習題做如下探究：【習題回顧】：如圖，在等邊三角形的邊上各取一點P，Q使，AQ，BP相交于點O，求的度數(shù)．請你解答該習題．【拓展延伸】：（1）如圖1，在等腰的邊上各取一點P，Q，使，平分，，，求的長．小明的思路：過點A作交延長線于點G，證明，…（2）如圖2，在的邊上各取一點P、Q，使，平分，，，求的數(shù)量關系，請你解答小明提出的問題．22．（23-24八年級上·福建福州·階段練習）如圖：是邊長為的等邊三角形，是邊上一動點，由點向點運動（與點、不重合），點同時以點相同的速度，由點向延長線方向運動（點不與點重合），過點作于點，連接交于點．

(1)若設的長為，則______，______；(2)當時，求的長；(3)點，在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？請說明理由．23．（2023·河南開封·一模）教材呈現(xiàn)：如下為華師版八年級上冊數(shù)學教材第65頁的部分類容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎?此時，符合條件的角形有多少種？(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時（即“邊邊角”對應相等）的兩個三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）(2)【探究證明】已知：如圖2，在和中，，，．求證：．證明：在上取一點，使．請補全完整證明過程：(3)【拓展應用】在中，，點在射線上，點在的延長線上，且，連接DE，DE與邊所在的直線交于點．過點作交直線于點，若，，則_________．（直接寫出答案）

24．（2023九年級上·江蘇·專題練習）已知，如圖1，在等腰中，，點E是射線上的動點，點D是邊上的動點，且，射線交射線于點F．(1)求證：；(2)連接，如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；(3)如圖2，